​

 ​

 چند جمله ای های متعامد [ ویرایش | ویرایش منبع ]

از آنجایی که چند جمله ای های لاگر برایn\ به \inftyو یاx\to \inftyواگرا هستند، نه فضای پیش از هیلبرت و نه فضای هیلبرت را تشکیل می دهند. بنابراین، یک تابع وزن معرفی می‌شود که جواب معادله دیفرانسیل را بدون تغییر می‌گذارد و تضمین می‌کند که چندجمله‌ای لاگر مربع انتگرال‌پذیر شوند. تحت این شرایط، توابع ویژه تشکیل می شوندلوگاریتم}یک مبنای متعارف در فضای هیلبرت{\displaystyle L^{2}([0,\infty ],w(x)\mathrm {d} x)}از توابع قابل انتگرال مربع با تابع وزن{\displaystyle w(x)=\mathrm {e}^{-x}}. بنابراین اعمال می شود

{\displaystyle \langle L_{n},L_{m}\rangle =\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}L_{n}(x)L_{m}( x)\mathrm{d}x=\delta _{nm}.}

اینجا یعنی\delta_{nm}دلتای کرونکر _

اثبات

قسمت 1: ابتدا نشان داده می شود که چند جمله ای های لاگر با وزن{\displaystyle w(x)=\mathrm {e}^{-x}}متعامد هستند، برایn\ne q mبنابراین اعمال می شود{\displaystyle \langle L_{n},L_{m}\rangle =\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}L_{n}(x)L_{m}( x)\mathrm {d} x=0.}

با اپراتور استورم-لیوویل{\displaystyle \textstyle {\mathcal {L}}=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm { e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)}نتیجه برای چند جمله ای های لاگر{\displaystyle L_{n},L_{m}}معادلات اولیه زیر:

(1) {\displaystyle \quad {\mathcal {L}}L_{n}=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x {\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}\right)=nL_{n}}

و

(2) {\displaystyle \quad {\mathcal {L}}L_{m}=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x {\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}\right)=mL_{m}}.

معادله (1) از سمت چپ باL_{m}ضرب و در معادله (2) ، که همچنین از سمت چپ بالوگاریتم}با ضرب، تفریق، دو معادله حاصل می شود:

{\displaystyle \quad L_{n}{\mathcal {L}}L_{m}-L_{m}{\mathcal {L}}L_{n}=-L_{n}\mathrm {e} ^{x }{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{m}} {\mathrm {d} x}}\right)+L_{m}\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{ \mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}\right)}

و

(4) {\displaystyle \quad L_{n}{\mathcal {L}}L_{m}-L_{m}{\mathcal {L}}L_{n}=(mn)L_{m}L_{n}}.

ابتدا معادله (3) خلاصه می شود. با قانون محصول برای مشتقات ، اصطلاح{\displaystyle \textstyle -\mathrm {e}^{x}}اگر این مورد در نظر گرفته نشود، نمایش های زیر به دست می آید

{\displaystyle \textstyle L_{n}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}L_{n}{\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}\right)-\left(x{\mathrm {e} }^{ -x}{\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}\right){\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x }}}

و

{\displaystyle \textstyle L_{m}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}L_{m}{\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}\right)-\left(x{\mathrm {e}}^{ -x}{\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}\right){\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x }}}.

به این ترتیب می توان دید که جمله دوم در هر دو مشتق یکسان است و با ایجاد تفاوت از بین می رود، یعنی:

(5) {\displaystyle {\begin{aligned}\quad L_{n}{\mathcal {L}}L_{m}-L_{m}{\mathcal {L}}L_{n}&=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}L_{n}{\frac {\mathrm { d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}\right)+\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\چپ (x{\mathrm{e}}^{-x}L_{m}{\frac {\mathrm{d} L_{n}}{\mathrm{d} x}}\راست)\\\\&= -\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}x{\mathrm {e} }^{-x}\left( L_{n}{\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}-L_{m}{\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm { d} x}}\right){\bigg )}\\\\&=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\ بزرگ (}x{\mathrm {e} }^{-x}W(L_{n},L_{m}){\bigg )}،\\\end{تراز شده}}}

به موجب آن{\displaystyle W(L_{n},L_{m})=\left|{\begin{smallmatrix}L_{n}&L_{m}\\L_{n}'&L_{m}'\end{smallmatrix} }\راست|}تعیین کننده ورونسکی توابع{\displaystyle L_{n},L_{m}}به معنای.

از معادله دیفرانسیل برای محاسبه دترمینان رونسکی با استفاده از هویت آبلی استفاده می شود{\displaystyle \textstyle {\mathcal {L}}y=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x\mathrm { e} ^{-x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)y=-xy''-\mathrm {e} ^{x}{\big (} x\mathrm {e} ^{-x}{\big )}'y'=-xy''-{\big (}1-x{\big )}y'=0}یا{\displaystyle \textstyle y''+{\frac {1-x}{x}}y'=0}در نظر گرفته شده، به طوری که یک تکینگی قابل جابجایی درx=0ناشی می شود. ماتریس ضرایب سیستم بنیادی پس از آن است{\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&-{\tfrac {1-x}{x}}\end{smallmatrix}}\right)}و ردپای آنهاست{\displaystyle \mathrm {track} {\Bigg (}\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&-{\tfrac {1-x}{x}}\end{smallmatrix}}\right){\ بزرگ )}=-{\frac {1-x}{x}}}. بنابراین هویت آبلی عبارت است از:

{\displaystyle W(L_{n},L_{m})(x)=W(L_{n},L_{m})(0)\exp \left(\int _{0}^{x}{ \bigg (}1-{\frac {1}{\xi }}{\bigg )}\mathrm {d} \xi \right)}.

آنجالوگاریتم}وL_{m}به صورت خطی مستقل هستند{\displaystyle W(L_{n},L_{m})(0)>0}- در بررسی دقیق تر این است{\displaystyle W(L_{n},L_{m})(0)=1}- و نتیجه به شرح زیر است:

{\displaystyle {\begin{aligned}W(L_{n},L_{m})(x)&=W(L_{n},L_{m})(0)\exp \left(\int _{ 0}^{x}{\bigg (}1-{\frac {1}{\xi }}{\bigg )}\mathrm {d} \xi \right)=W(L_{n}،L_{m })(0)\exp {\Bigg (}{\bigg [}\xi -\ln \xi {\bigg ]}_{0}^{x}{\Bigg )}\\&=\lim _{ \xi \to x}W(L_{n},L_{m})(0)\exp {\Big (}\xi -\ln \xi {\Big )}-\lim _{\xi \to 0 }W(L_{n}،L_{m})(0)\exp {\Big (}\xi -\ln \xi {\Big )}\\&=\lim _{\xi \to x}W (L_{n},L_{m})(0){\frac {\exp(\xi )}{\exp(\ln \xi )}}-\lim _{\xi \to 0}W(L_ {n},L_{m})(0){\frac {\exp(\xi )}{\exp(\ln \xi )}}\\&=\lim _{\xi \to x}W( L_{n}،L_{m})(0){\frac {\mathrm {e} ^{\xi }}{\xi }}+\lim _{\xi \to 0}W(L_{n} ,L_{m})(0){\frac {\mathrm {e} ^{\xi }}{\xi }}\\&=W(L_{n},L_{m})(0){\ frac {\mathrm {e} ^{x}}{x}}+\lim _{\xi \to 0}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\mathrm {e } } ^{\xi }}{\xi }}+C.\end{aligned}}}

ثابت انتگرال می شود{\displaystyle C=-\lim _{\xi \to 0}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\mathrm {e}^{\xi }}{\xi } }}انتخاب شده و معادله (5) با می شود{\displaystyle \mathrm {e}^{-x}}ضرب می شود به طوری که:

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {e} ^{-x}{\big (}L_{n}{\mathcal {L}}L_{m}-L_{m}{\mathcal {L} }L_{n}{\big )}&=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}x{\mathrm {e} }^{-x} W(L_{n}،L_{m})(0){\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x}}{\bigg )}\\&=-{\frac {\mathrm { d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}W(L_{n},L_{m})(0){\bigg )}\end{تراز شده}}}

پس از مرتب سازی مجدد و جداسازی متغیرها ، معادله اکنون به صورت زیر است:

{\displaystyle -\mathrm {e} ^{-x}{\big (}L_{n}{\mathcal {L}}L_{m}-L_{m}{\mathcal {L}}L_{n} {\big )}\mathrm {d} x=\mathrm {d} {\bigg (}W(L_{n},L_{m})(0){\bigg )}}

در هر دو طرف معادله اکنون اشکال Pfaff یک بعدی و da وجود دارد{\displaystyle W(L_{n},L_{m})(0)}یک تابع ثابت است{\displaystyle \mathrm {d} {\Big (}W(L_{n},L_{m})(0){\Big )}=0}. برای محاسبه باقیمانده فرم Pfaffian به پارامترسازی مناسب نیاز است{\displaystyle \varphi (t)=t,\varphi (t_{0})=0,\varphi (t_{1})=\infty ,{\dot {\varphi }}(t)=1}برای انتخاب انتگرال اکنون این است:

{\displaystyle \int _{\varphi }\omega =\int _{0}^{\infty }\omega _{\varphi (t)}({\dot {\varphi }}(t))\,\ mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }w{\Big (}L_{n}{\mathcal {L}}L_{m}-L_{m}{\mathcal {L}} L_{n}{\Big )}\mathrm {d} t=0}. [1]

بر این اساس، انتگرال در امتداد فاصله ناپدید می شود[0،\infty]، به طوری که با استفاده از رابطه (4) داریم:

{\displaystyle 0=(mn)\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}L_{m}L_{n}\mathrm {d} t}

این شرط تنها در صورتی قابل تحقق است که:

{\displaystyle \langle L_{n},L_{m}\rangle =\langle L_{m},L_{n}\rangle =0}.


قسمت 2: در ادامه نشان داده شده است که چند جمله ای های لاگر با وزن{\displaystyle w(x)=\mathrm {e}^{-x}} محدود هستند ، [2] برایn=mبنابراین اعمال می شود{\displaystyle \langle L_{n},L_{m}\rangle =\int \mathrm {e} ^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)\mathrm {d} x= 1}، یا به اختصار{\displaystyle \langle L_{n},L_{n}\rangle =1}.

از یک طرف، نمایش سری برای اثبات استفاده می شود{\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}}و از طرف دیگر فرمول رودریگز{\displaystyle L_{n}(x)={\frac {\mathrm {e} ^{x}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}}استفاده شده. موارد زیر اعمال می شود:

{\displaystyle \langle L_{n},L_{n}\rangle =\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}\sum _{k=0}^{n} {\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}{\frac {\mathrm {e} ^{x}}{n!}}{\frac {\mathrm {d } ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x =\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\int _{0}^{\infty }x^{k}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x} x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x}.

برایn=0با{\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} ^{n=0}}{\mathrm {d} x^{n=0}}}{\big (}\mathrm {e} ^{-x }x^{0}{\big )}=\mathrm {e} ^{-x}x^{0}}تسلیم شد:

{\displaystyle \langle L_{n},L_{n}\rangle =\int _{0}^{\infty }x^{0}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^ {0}{\bigg )}\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}\mathrm {d} x=-{\bigg [}\ ریاضی {e} ^{-x}{\bigg ]}_{0}^{\infty }=1}.

اکنون برایn>0چند جمله ای لاگر را به صورت زیر تجزیه می کند:

{\displaystyle \langle L_{n},L_{n}\rangle =\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\ int _{0}^{\infty }x^{k}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n }}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x+{\frac {(-1)^{n}}{n! }}\int _{0}^{\infty }x^{n}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x ^{n}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x.}

از طریق این تجزیه، درجه چندجمله ای در مجموع 1 کاهش می یابد و موارد زیر اعمال می شود.{\displaystyle \langle L_{(n-1)},L_{n}\rangle =0}همانطور که در قسمت 1 نشان داده شده است. فقط عبارت دوم باقی می ماند که با انتگرال جزئی محاسبه می شود ، یعنی:

{\displaystyle {\begin{aligned}\langle L_{n},L_{n}\rangle &={\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{0}^{ \infty }x^{n}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg ( }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x\\&={\frac {(-1)^{n}}{n!}}{ \bigg [}x^{n}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{(n-1)}}{\mathrm {d} x^{(n- 1)}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}{\bigg ]}_{0}^{\infty }-n{\frac { (-1)^{n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }x^{(n-1)}{\frac {1}{n!}}{\frac {\ mathrm {d} ^{(n-1)}}{\mathrm {d} x^{(n-1)}}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n} {\bigg )}\mathrm {d} x\end{تراز شده}}}

پاد مشتق با استفاده از قانون محصول محاسبه شد و به حد منجر می شود{\displaystyle \textstyle \lim _{x\to 0}x^{n}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{(n-1)}}}{ \ mathrm {d} x^{(n-1)}}}{\big (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\big )}=\sum _{k=0} ^ {n-1}\lim _{x\to 0}x^{n}{\frac {1}{n!}}{\binom {n}{k}}{\big (}\mathrm {e } ^{-x}{\big )}^{k}{\big (}x^{n}{\big )}^{(nk)}=0}. همین نتیجه در حد به دست می آید{\displaystyle \textstyle \lim _{x\to \infty }}به دست آوردن. زیرا این نتیجه برای همه استnانتگرال توسط قطعات، به شرح زیر است:

{\displaystyle {\begin{aligned}\langle L_{n},L_{n}\rangle &=(-1)^{1}n{\frac {(-1)^{n}}{n!} }\int _{0}^{\infty }x^{(n-1)}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{(n-1)}} {\mathrm {d} x^{(n-1)}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x\\ &=(-1)^{2}n(n-1){\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }x^{(n -2)}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{(n-2)}}{\mathrm {d} x^{(n-2)}}} {\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x\\&\;\;\vdots \\&=(-1)^{ n}n!{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }x^{(nn)}{\frac {1}{n!} }{\frac {\mathrm {d} ^{(nn)}}{\mathrm {d} x^{(nn)}}}}{\bigg (}\mathrm {e} ^{-x}x^{ n}{\bigg )}\mathrm {d} x\\&={\frac {(-1)^{2n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }\mathrm {e } ^{-x}x^{n}\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{n!}}\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{ -x}x^{n}\mathrm {d} x\end{تراز شده}}}

به وسیله دیگرانnجدول انتگرال جزئی یا انتگرال تا کنید{\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}\mathrm {d} x=n!}و بنابراین:

{\displaystyle \langle L_{n},L_{n}\rangle =1}.

قسمت 1 و قسمت 2 نتیجه می شود :

{\displaystyle \langle L_{n},L_{m}\rangle =\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}L_{n}(x)L_{m}( x)\mathrm{d}x=\delta _{nm}.}

 

 

​

​