تعاریف [ ویرایش ]

از آنجا که این یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم است، باید دو راه حل مستقل خطی وجود داشته باشد. با این حال، بسته به شرایط، فرمول های مختلف این محلول ها مناسب هستند. تغییرات مختلف در جدول زیر خلاصه شده و در بخش های زیر توضیح داده شده است.

تایپ کنیدنوع اولنوع دوم
توابع بسلJ αY α
توابع بسل اصلاح شدهiαK α
توابع هانکلh(1)
α= J α + iY α		h(2)
α= J α - iY α
توابع بسل کرویj ny n
توابع کروی هانکلساعت(1)
n= j n + iy n		ساعت(2)
n= j n − iy n

توابع بسل نوع دوم و توابع بسل کروی نوع دوم گاهی به ترتیب با N n و n n به جای Y n و y n نشان داده می شوند. [1] [2]

توابع بسل از نوع اول: J α [ ویرایش ]

توابع بسل از نوع اول، که با Jα ( x ) نشان داده می شوند، راه حل های معادله دیفرانسیل بسل هستند. برای عدد صحیح یا مثبت  α ، توابع بسل از نوع اول در مبدا متناهی هستند ( x = 0 ). در حالی که برای  α غیرصحیح منفی ، توابع بسل از نوع اول با نزدیک شدن x به صفر واگرا می شوند. می توان تابع را با بسط سری آن حول x = 0 تعریف کرد که با اعمال روش فروبنیوس در معادله بسل می توان آن را پیدا کرد: [3]

 

{\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\Gamma (m+\alpha +1) }}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha },}

که در آن Γ( z ) تابع گاما است ، تعمیم تابع فاکتوریل به مقادیر غیر صحیح. تابع بسل نوع اول اگر α یک عدد صحیح باشد یک تابع کامل است، در غیر این صورت یک تابع چند ارزشی با تکینگی در صفر است. نمودارهای توابع بسل تقریباً شبیه توابع سینوس یا کسینوس نوسانی هستند که متناسب با آن فروپاشی می کنند.{\displaystyle x^{-{\frac {1}{2}}}}(همچنین به شکل مجانبی آنها در زیر نگاه کنید)، اگرچه ریشه آنها به طور کلی تناوبی نیست، به جز مجانبی x بزرگ . (سری نشان می دهد که - J 1 ( x ) مشتق J 0 ( x ) است ، بسیار شبیه −sin x مشتق cos x است ؛ به طور کلی تر ، مشتق J n ( x ) را می توان بر حسب بیان کرد J n ± 1 ( x ) با هویت های زیر .)

 

نمودار تابع بسل از نوع اول، J α ( x ) برای مرتبه های صحیح α = 0، 1، 2

برای α غیر صحیح ، توابع J α ( x ) و J − α ( x ) به صورت خطی مستقل هستند و بنابراین دو راه حل معادله دیفرانسیل هستند. از سوی دیگر، برای مرتبه صحیح n رابطه زیر معتبر است (تابع گاما دارای قطب های ساده در هر یک از اعداد صحیح غیر مثبت است): [4]

 

{\displaystyle J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x).}

 

این بدان معنی است که این دو راه حل دیگر مستقل خطی نیستند. در این مورد، دومین راه حل مستقل خطی، تابع بسل نوع دوم است، همانطور که در زیر بحث شده است.

انتگرال های بسل [ ویرایش ]

تعریف دیگری از تابع بسل، برای مقادیر صحیح n ، با استفاده از یک نمایش انتگرال ممکن است: [5]

 

{\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(n\tau -x\sin \tau )\,d\ tau ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{i(n\tau -x\sin \tau )}\,d\tau .}

 

این رویکردی بود که بسل استفاده کرد و از این تعریف چندین ویژگی تابع را استخراج کرد. این تعریف ممکن است توسط یکی از انتگرال های شلافلی به ترتیبات غیر صحیح تعمیم داده شود، برای Re( x ) > 0 : [5] [6] [7] [8] [9]

 

 

{\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )\, d\tau -{\frac {\sin \alpha \pi }{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\sinh t-\alpha t}\,dt.}

 

ارتباط با سری های فرا هندسی [ ویرایش ]

توابع بسل را می توان بر حسب سری های فرا هندسی تعمیم یافته به صورت [10] بیان کرد.

 

 

{\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\ ;_{0}F_{1}\left(\alpha +1;-{\frac {x^{2}}{4}}\right).}

 

این عبارت مربوط به توسعه توابع بسل از نظر تابع بسل-کلیفورد است .

رابطه با چند جمله ای های لاگر [ ویرایش ]

بر حسب چند جمله‌ای لاگر L k و پارامتر t دلخواه انتخاب شده ، تابع بسل را می‌توان به صورت [11] بیان کرد.

 

{\displaystyle {\frac {J_{\alpha }(x)}{\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}}={\frac {e^{-t }}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {L_{k}^{(\alpha )}\left({\frac {x^ {2}}{4t}}\right)}{\binom {k+\alpha }{k}}}{\frac {t^{k}}{k!}}.}