کاربرد در معادلات دیفرانسیل جزئی [ ویرایش ]

حالت های عادی [ ویرایش ]

برخی معادلات دیفرانسیل جزئی را می توان با کمک تئوری SL حل کرد. فرض کنید ما به حالت‌های ارتعاشی یک غشای نازک علاقه‌مندیم که در یک قاب مستطیل شکل نگه داشته شده است، 0 ≤ x ≤ L 1 , 0 ≤ y ≤ L 2 . معادله حرکت برای جابجایی غشاء عمودی، W ( x ، y ، t ) با معادله موج به دست می‌آید :

 

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}W}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}W}{\partial y^{2}}}={ \frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}W}{\partial t^{2}}}.}

 

روش جداسازی متغیرها پیشنهاد می کند که ابتدا به دنبال راه حل هایی با شکل ساده W = X ( x ) × Y ( y ) × T ( t ) باشید . برای چنین تابع W معادله دیفرانسیل جزئی تبدیل می شودX ″/ایکس+Y ″/Y=1/ج 2 T ″/تی. از آنجایی که سه عبارت این معادله به طور جداگانه تابعی از x , y , t هستند، باید ثابت باشند. برای مثال، جمله اول X ″ = λX را برای ثابت  λ می دهد. شرایط مرزی ("در یک قاب مستطیلی") W = 0 در زمانی که x = 0 ، L 1 یا y = 0 ، L 2 است و ساده ترین مسائل مقدار ویژه SL را مانند مثال تعریف می کند، و "راه حل های حالت عادی" را به دست می دهد. برای W با وابستگی به زمان هارمونیک،

 

{\displaystyle W_{mn}(x,y,t)=A_{mn}\sin \left({\frac {m\pi x}{L_{1}}}\right)\sin \left({\ frac {n\pi y}{L_{2}}}\right)\cos \left(\omega _{mn}t\right)}

که در آن m و n اعداد صحیح غیر صفر هستند ، A mn ثابت دلخواه هستند و

 

{\displaystyle \omega _{mn}^{2}=c^{2}\left({\frac {m^{2}\pi ^{2}}{L_{1}^{2}}}+ {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L_{2}^{2}}}\راست).}

 

توابع W mn مبنایی را برای فضای هیلبرت از راه حل های (تعمیم یافته) معادله موج تشکیل می دهند. یعنی یک راه حل دلخواه W را می توان به مجموع این حالت ها تجزیه کرد، که در فرکانس های فردی خود ω mn ارتعاش می کنند . این نمایش ممکن است به یک مجموع بی نهایت همگرا نیاز داشته باشد.

معادله خطی مرتبه دوم [ ویرایش ]

برای مرتبه دوم خطی در یک بعد فضایی و مرتبه اول در زمان شکل:

 

{\displaystyle f(x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+g(x){\frac {\partial u}{\partial x}}+h (x)u={\frac {\partial u}{\partial t}}+k(t)u,}

 

{\displaystyle u(a,t)=u(b,t)=0,\qquad u(x,0)=s(x).}

 

با جداسازی متغیرها، فرض می کنیم که

 

{\displaystyle u(x,t)=X(x)T(t).}

سپس معادله دیفرانسیل جزئی فوق ما ممکن است به صورت زیر نوشته شود:

 

{\displaystyle {\frac {{\hat {L}}X(x)}{X(x)}}={\frac {{\hat {M}}T(t)}{T(t)}} }

جایی که

 

{\displaystyle {\hat {L}}=f(x){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+g(x){\frac {d}{dx}}+h (x)،\qquad {\hat {M}}={\frac {d}{dt}}+k(t).}

 

از آنجایی که طبق تعریف، L̂ و X ( x ) مستقل از زمان t و M̂ و T ( t ) مستقل از موقعیت x هستند، پس هر دو طرف معادله فوق باید برابر با یک ثابت باشند:

 

{\displaystyle {\hat {L}}X(x)=\lambda X(x),\qquad X(a)=X(b)=0,\qquad {\hat {M}}T(t)= \lambda T(t).}

 

اولین مورد از این معادلات باید به عنوان یک مسئله Sturm-Liouville بر حسب توابع ویژه X n ( x ) و مقادیر ویژه λ n حل شود. دومین مورد از این معادلات را می توان با مشخص شدن مقادیر ویژه به صورت تحلیلی حل کرد.

 

 

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}T_{n}(t)={\bigl (}\lambda _{n}-k(t){\bigr )}T_{n}(t)}

 

{\displaystyle T_{n}(t)=a_{n}\exp \left(\lambda _{n}t-\int _{0}^{t}k(\tau )\,d\tau \right )}

 

{\displaystyle u(x,t)=\sum _{n}a_{n}X_{n}(x)\exp \left(\lambda _{n}t-\int _{0}^{t} k(\tau )\,d\tau \راست)}

 

{\displaystyle a_{n}={\frac {{\bigl \langle }X_{n}(x),s(x){\bigr \rangle }}{{\bigl \langle }X_{n}(x ),X_{n}(x){\bigr \rangle }}}}

 

جایی که

 

{\displaystyle {\bigl \langle }y(x),z(x){\bigr \rangle }=\int _{a}^{b}y(x)z(x)w(x)\,dx ،}

 

{\displaystyle w(x)={\frac {\exp \left(\int {\frac {g(x)}{f(x)}}\,dx\right)}{f(x)}}. }

 

نمایش راه حل ها و محاسبه عددی [ ویرایش ]

معادله دیفرانسیل Sturm-Liouville ( 1 ) با شرایط مرزی ممکن است به صورت تحلیلی حل شود، که می تواند دقیق یا تقریبی باشد، با روش Rayleigh-Ritz ، یا با روش ماتریس-تغییر از Gerck و همکاران. [1] [2] [3]

از نظر عددی، روش های مختلفی نیز موجود است. در موارد دشوار، ممکن است نیاز باشد که محاسبات میانی را تا چند صد رقم اعشار با دقت انجام دهیم تا مقادیر ویژه را به درستی تا چند رقم اعشار بدست آوریم.

روش های تیراندازی [ ویرایش ]

روش های تیراندازی با حدس زدن مقدار λ ، حل یک مسئله مقدار اولیه تعریف شده توسط شرایط مرزی در یک نقطه پایانی، مثلاً a ، بازه [ a , b ] ، و مقایسه مقداری که این راه حل در نقطه پایانی دیگر b می گیرد با دیگر شرایط مرزی مورد نظر، و در نهایت افزایش یا کاهش λ در صورت لزوم برای اصلاح مقدار اصلی. این استراتژی برای مکان یابی مقادیر ویژه پیچیده قابل اجرا نیست. [ توضیح لازم است ]

روش سری توان پارامترهای طیفی [ ویرایش ]

روش سری توان پارامترهای طیفی (SPPS) از تعمیم واقعیت زیر در مورد معادلات دیفرانسیل معمولی خطی مرتبه دوم همگن استفاده می کند: اگر y جوابی از معادله ( 1 ) باشد که در هیچ نقطه ای از [ a , b ناپدید نمی شود. ] ، سپس تابع

 

{\displaystyle y(x)\int _{a}^{x}{\frac {dt}{p(t)y(t)^{2}}}}

جوابی برای همان معادله است و به صورت خطی مستقل از y است. علاوه بر این، همه راه حل ها ترکیبی خطی از این دو راه حل هستند. در الگوریتم SPPS، باید با مقدار دلخواه λ شروع شود∗
0(اغلب λ∗
0= 0 ; لازم نیست یک مقدار ویژه باشد) و هر راه حل y 0 از ( 1 ) با λ = λ∗
0که در [ a , b ] محو نمی شود . (بحث زیر در مورد راههای یافتن y 0 و λ مناسب∗
0.) دو دنباله از توابع X ( n ) ( t ) ، X̃ ( n ) ( t ) در [ a ، b ] ، که به عنوان انتگرال های تکراری شناخته می شوند، به صورت بازگشتی به صورت زیر تعریف می شوند. ابتدا وقتی n = 0 باشد، آنها به طور یکسان برابر با 1 در [ a , b ] در نظر گرفته می شوند . برای به دست آوردن توابع بعدی آنها به طور متناوب در ضرب می شوند1/py2
0و وای2
0و به طور خاص برای n > 0 ادغام شده است :

 

 

{\displaystyle X^{(n)}(t)={\begin{cases}\displaystyle -\int _{a}^{x}X^{(n-1)}(t)p(t)^ {-1}y_{0}(t)^{-2}\,dt&n{\text{ odd}},\\[6pt]\displaystyle \quad \int _{a}^{x}X^{( n-1)}(t)y_{0}(t)^{2}w(t)\,dt&n{\text{ even}}\end{موارد}}}

 

 

 

 

( 5 )

 

{\displaystyle {\tilde {X}}^{(n)}(t)={\begin{cases}\displaystyle \quad \int _{a}^{x}{\tilde {X}}^{( n-1)}(t)y_{0}(t)^{2}w(t)\,dt&n{\text{ odd}},\\[6pt]\displaystyle -\int _{a}^{ x}{\tilde {X}}^{(n-1)}(t)p(t)^{-1}y_{0}(t)^{-2}\,dt&n{\text{ حتی. }}\end{موارد}}}

 

 

 

 

( 6 )

انتگرال های تکرار شده به دست آمده اکنون به عنوان ضرایب در دو سری توان زیر در  λ اعمال می شوند :

 

{\displaystyle u_{0}=y_{0}\sum _{k=0}^{\infty }\left(\lambda -\lambda _{0}^{*}\right)^{k}{\ tilde {X}}^{(2k)}،}

 

{\displaystyle u_{1}=y_{0}\sum _{k=0}^{\infty }\left(\lambda -\lambda _{0}^{*}\right)^{k}X^ {(2k+1)}.}

سپس برای هر λ (واقعی یا مختلط)، u 0 و u 1 راه حل های مستقل خطی معادله مربوطه هستند ( 1 ). (توابع p ( x ) و q ( x ) از طریق تأثیر آنها بر انتخاب y 0 در این ساختار شرکت می کنند .)

 

بعدی ضرایب c 0 و c 1 را انتخاب می کند تا ترکیب y = c 0 u 0 + c 1 u 1 اولین شرط مرزی ( 2 ) را برآورده کند. انجام این کار ساده است زیرا X ( n ) ( a ) = 0 و X̃ ( n ) ( a ) = 0 ، برای n > 0 . مقادیر X ( n ) ( b ) و X̃( n ) ( b )مقادیر u 0 ( b )و u 1 ( b )و مشتقات u ′ 0 ( b )و u 0 ( b )را ارائهدهید، بنابراین شرط مرزی دوم ( 3 ) تبدیل به یک معادله در یک سری توان در λ. برای کار عددی، می‌توان این سری را به تعداد متناهی از عبارت‌ها کوتاه کرد و یک چند جمله‌ای قابل محاسبه درλکه ریشه‌های آن تقریبی از مقادیر ویژه جستجو شده است.

وقتی λ = λ 0 ، این به ساختار اصلی توضیح داده شده در بالا برای یک راه حل مستقل خطی از یک معین کاهش می یابد. بازنمایی های ( 5 ) و ( 6 ) همچنین کاربردهای نظری در نظریه Sturm–Liouville دارند. [6]

ساخت یک راه حل غیر محو [ ویرایش ]

روش SPPS به خودی خود می تواند برای یافتن راه حل شروع y 0 استفاده شود. معادله ( py ′)′ = μqy را در نظر بگیرید . به عنوان مثال، q ، w و λ در ( 1 ) به ترتیب با 0، - q و μ جایگزین می شوند. سپس تابع ثابت 1 یک راه حل ناپدید کننده مربوط به مقدار ویژه μ 0 = 0 است. در حالی که هیچ تضمینی وجود ندارد که u 0 یا u 1 ناپدید نشوند، تابع مختلط y 0 = u 0 +iu 1 هرگز ناپدید نمی شود زیرا دو راه حل مستقل خطی یک معادله SL منظم نمی توانند به طور همزمان در نتیجه قضیه جدایی استورم ناپدید شوند . این ترفند یک راه حل y 0 از ( 1 ) برای مقدار λ 0 = 0 می دهد. در عمل اگر ( 1 ) دارای ضرایب واقعی باشد، راه حل های مبتنی بر y 0 دارای بخش های خیالی بسیار کوچکی خواهند بود که باید کنار گذاشته شوند.

همچنین مشاهده کنید [ ویرایش ]

منبع 

https://en.wikipedia.org/wiki/Sturm%E2%80%93Liouville_theory