کاربرد برای مسائل مقدار مرزی مرتبه دوم ناهمگن [ ویرایش ]

یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم ناهمگن عمومی را در نظر بگیرید

 

{\displaystyle P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=f}

برای توابع داده شده{\displaystyle P(x)،Q(x)،R(x)،f(x)}. مانند قبل، این می تواند به فرم SL کاهش یابد{\displaystyle Ly=f}: نوشتن یک عملگر SL عمومی به صورت:

 

{\displaystyle Lu={\frac {p}{w(x)}}u''+{\frac {p'}{w(x)}}u'+{\frac {q}{w(x) }}u,}

یکی سیستم را حل می کند:

 

{\displaystyle p=Pw,\quad p'=Qw,\quad q=Rw.}

 

برای حل دو معادله اول کافی است که معادل حل 

( Pw )′ = Qw 

یا

 

{\displaystyle w'={\frac {QP'}{P}}w:=\alpha w.}

 

یک راه حل این است:

 

{\displaystyle w=\exp \left(\int \alpha \,dx\right),\quad p=P\exp \left(\int \alpha \,dx\right),\quad q=R\exp \ چپ (\int \alpha \,dx\right).}

 

با توجه به این تبدیل، یکی باقی مانده است که حل شود:

 

{\displaystyle Ly=f.}

 

به طور کلی، اگر شرایط اولیه در یک نقطه مشخص شود، برای مثال y ( a ) = 0 و y ′( a ) = 0 ، یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم را می توان با استفاده از روش های معمولی حل کرد و قضیه پیکارد-لیندلوف تضمین می کند که دیفرانسیل معادله یک راه حل منحصر به فرد در همسایگی نقطه ای دارد که شرایط اولیه مشخص شده است.

اما اگر به جای تعیین مقادیر اولیه در یک نقطه ، بخواهیم مقادیری را در دو نقطه مختلف (به اصطلاح مقادیر مرزی) مشخص کنیم، مثلاً y ( a ) = 0 و y ( b ) = 1 ، مشکل مشخص می شود. بسیار دشوارتر باشد توجه داشته باشید که با افزودن یک تابع متمایز شناخته شده مناسب به y که مقادیر آن در a و b شرایط مرزی مورد نظر را برآورده می کند و تزریق داخل معادله دیفرانسیل پیشنهادی، می توان بدون از دست دادن کلیت فرض کرد که شرایط مرزی به شکل y هستند .

 a ) = 0 وy ( b ) = 0 .

در اینجا، نظریه Sturm–Liouville وارد عمل می‌شود: در واقع، یک کلاس بزرگ از توابع f را می‌توان بر حسب یک سری توابع ویژه متعارف u i از عملگر Liouville مرتبط با مقادیر ویژه مربوطه λi گسترش داد :

 

{\displaystyle f(x)=\sum _{i}\alpha _{i}u_{i}(x),\quad \alpha _{i}\in {\mathbb {R}}.}

 

سپس یک جواب برای معادله پیشنهادی بدیهی است:

 

{\displaystyle y=\sum _{i}{\frac {\alpha _{i}}{\lambda _{i}}}u_{i}.}

 

این راه حل فقط در بازه باز a < x < b معتبر خواهد بود و ممکن است در مرزها شکست بخورد.

مثال: سری فوریه [ ویرایش ]

مسئله Sturm–Liouville را در نظر بگیرید:

 

{\displaystyle Lu=-{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=\lambda u}

 

 

 

 

( 4 )

برای مجهولات λ و u ( x ) هستند . برای شرایط مرزی، به عنوان مثال در نظر می گیریم:

 

{\displaystyle u(0)=u(\pi )=0.}

 

توجه کنید که اگر k یک عدد صحیح باشد، تابع

 

{\displaystyle u_{k}(x)=\sin kx}

راه حلی با مقدار ویژه λ = k 2 است. ما می دانیم که راه حل های یک مسئله SL یک مبنای متعامد تشکیل می دهند، و از سری فوریه می دانیم که این مجموعه از توابع سینوسی یک مبنای متعامد است. از آنجایی که پایه‌های متعامد همیشه حداکثر هستند (طبق تعریف)، نتیجه می‌گیریم که مسئله SL در این مورد هیچ بردار ویژه دیگری ندارد.

 

با توجه به موارد قبل، اجازه دهید اکنون مسئله ناهمگن را حل کنیم

 

{\displaystyle Ly=x,\qquad x\in (0,\pi )}

با همان شرایط مرزی{\displaystyle y(0)=y(\pi )=0}. در این حالت باید f ( x ) = x را به عنوان سری فوریه بسط دهیم. خواننده ممکن است با ادغام ∫ e ikx x dx یا با مراجعه به جدول تبدیل های فوریه بررسی کند که به این ترتیب به دست می آوریم

 

{\displaystyle Ly=\sum _{k=1}^{\infty }-2{\frac {\left(-1\right)^{k}}{k}}\sin kx.}

 

این سری فوریه خاص به دلیل خواص همگرایی ضعیف آن مشکل ساز است. پیش از این مشخص نیست که آیا این سری از نقطه نظر همگرا هستند یا خیر. به دلیل تجزیه و تحلیل فوریه، از آنجایی که ضرایب فوریه " مربع-مجموع " هستند، سری فوریه در L 2 همگرا می شود که تمام چیزی است که ما برای عملکرد این نظریه خاص نیاز داریم. برای خواننده علاقه مند ذکر می کنیم که در این مورد ممکن است به نتیجه ای تکیه کنیم که می گوید سری های فوریه در هر نقطه تمایزپذیری همگرا می شوند و در نقاط پرش (تابع x که به عنوان تابع تناوبی در نظر گرفته می شود دارای جهش در  π است) همگرا می شود. به میانگین حد چپ و راست (به همگرایی سری فوریه مراجعه کنید ).

بنابراین با استفاده از فرمول ( 4 ) جواب زیر را بدست می آوریم:

 

{\displaystyle y=\sum _{k=1}^{\infty }2{\frac {(-1)^{k}}{k^{3}}}\sin kx={\tfrac {1} {6}}(x^{3}-\pi ^{2}x).}

 

در این مورد، ما می‌توانستیم پاسخ را با استفاده از ضد تمایز پیدا کنیم ، اما در بیشتر موارد که معادله دیفرانسیل در بسیاری از متغیرها قرار دارد، دیگر مفید نیست.