• ​

     قضیه [ ویرایش ]

    یک و تنها یک راه حل وجود داردu(x)که راضی می کند

    {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {L} \,u&=f\\{\vec {\operatorname {D} }}\,u&={\vec {0}}\end{تراز شده}}}

    و توسط آن داده می شود

    {\displaystyle u(x)=\int _{0}^{\ell }f(s)\,G(x,s)\,ds~,}

    جایی کهG(x,s)تابع گرین است که شرایط زیر را برآورده می کند:

     

    1. G(x,s)پیوسته در استایکسوس.
    2. برای{\displaystyle x\neq s~}،{\displaystyle \quad \operatorname {L} \,G(x,s)=0~}.
    3. برای{\displaystyle s\neq 0~}،{\displaystyle \quad {\vec {\operatorname {D} }}\,G(x,s)={\vec {0}}~}.
    4. مشتق "پرش":{\displaystyle \quad G'(s_{0+},s)-G'(s_{0-},s)=1/p(s)~}.
    5. تقارن:{\displaystyle \quad G(x,s)=G(s,x)~}.

    توابع پیشرفته و عقب افتاده گرین [ ویرایش ]

    همچنین رجوع کنید به: تابع گرین (نظریه چند بدن) و انتشار دهنده

    تابع گرین لزوماً منحصر به فرد نیست زیرا افزودن هر جوابی از معادله همگن به تابع گرین منجر به تابع گرین دیگر می شود. بنابراین اگر معادله همگن دارای راه حل های غیر بدیهی باشد، چندین تابع گرین وجود دارد. در برخی موارد، می توان یکی از توابع گرین را یافت که فقط برای آن ناپدید می شود{\displaystyle s\leq x}، که تابع گرین عقب افتاده نامیده می شود و تابع گرین دیگر که فقط برای{\displaystyle s\geq x}{\displaystyle s\geq x}که به آن تابع گرین پیشرفته می گویند. در چنین مواردی هر ترکیب خطی از دو تابع گرین نیز تابع گرین معتبر است. اصطلاحات پیشرفته و عقب افتاده به ویژه زمانی مفید است که متغیر x با زمان مطابقت داشته باشد. در چنین مواردی، راه حل ارائه شده با استفاده از تابع گرین عقب افتاده تنها به منابع گذشته بستگی دارد و علی است در حالی که راه حل ارائه شده با استفاده از تابع گرین پیشرفته تنها به منابع آینده بستگی دارد و علی است. در این مشکلات، اغلب اتفاق می افتد که راه حل علّی از نظر فیزیکی مهم است. استفاده از تابع گرین پیشرفته و عقب افتاده مخصوصاً برای تجزیه و تحلیل حل معادله موج الکترومغناطیسی ناهمگن رایج است .

    یافتن توابع گرین [ ویرایش ]

    واحدها [ ویرایش ]

    در حالی که به طور منحصر به فرد شکل تابع گرین را مشخص نمی کند، انجام یک تجزیه و تحلیل ابعادی برای یافتن واحدهایی که یک تابع گرین باید داشته باشد، یک بررسی عقلانی مهم برای هر تابع گرین است که از طریق روش های دیگر یافت می شود. بررسی سریع معادله تعریف،

    {\displaystyle LG(x,s)=\delta (xs),}

    نشان می دهد که واحدهایجینه تنها به واحدهای آن بستگی داردLبلکه بر روی تعداد و واحدهای فضایی که بردارهای موقعیت آن هاستایکسوسعناصر هستند. این منجر به رابطه می شود:

    {\displaystyle [[G]]=[[L]]^{-1}[[dx]]^{-1}،}

    جایی که{\displaystyle [[G]]}به عنوان "واحدهای فیزیکی ازجی"، و{\displaystyle dx}عنصر حجمی فضا (یا فضازمان ) است.

     

    به عنوان مثال، اگر{\displaystyle L=\جزئی _{t}^{2}}و زمان تنها متغیر است در این صورت:

    {\displaystyle [[L]]=[[{\text{time}}]]^{-2}،}

     

    {\displaystyle [[dx]]=[[{\text{time}}]]،\ {\text{و}}}

    {\displaystyle [[G]]=[[{\text{time}}]].}

    اگر{\displaystyle L=\square ={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\nabla ^{2}}، عملگر d'Alembert و فضا دارای 3 بعد است:

    {\displaystyle [[L]]=[[{\text{length}}]]^{-2}،}

    {\displaystyle [[dx]]=[[{\text{time}}]][[{\text{length}}]]^{3}،\ {\text{و}}}

    {\displaystyle [[G]]=[[{\text{time}}]]^{-1}[[{\text{length}}]]^{-1}.}

     

    بسط مقادیر ویژه [ ویرایش ]

    اگر یک عملگر دیفرانسیل L مجموعه ای از بردارهای ویژه Ψ n ( x ) را بپذیرد (یعنی مجموعه ای از توابع Ψ n و اسکالرهای λ n به طوری که L Ψ n = λ n Ψ n ) کامل باشد، در این صورت امکان ساخت یک تابع گرین از این بردارها و مقادیر ویژه .

    "کامل" به این معنی است که مجموعه توابع {Ψ n } رابطه کامل زیر را برآورده می کند .

     

    {\displaystyle \delta (xx')=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}^{\dagger }(x)\Psi _{n}(x').}

     

    سپس موارد زیر برقرار است،

    G(x, x')=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{\Psi_n^\dagger(x) \Psi_n(x')}{\lambda_n}،

    جایی که\خنجرنشان دهنده صرف پیچیده است.

    اعمال عملگر L به هر طرف این معادله منجر به رابطه کامل می شود که فرض شد.

    مطالعه کلی تابع گرین که به شکل فوق نوشته شده است، و رابطه آن با فضاهای تابعی که بردارهای ویژه تشکیل می دهند، به عنوان نظریه فردهولم شناخته می شود .

    چندین روش دیگر برای یافتن توابع گرین وجود دارد، از جمله روش تصاویر ، جداسازی متغیرها و تبدیل های لاپلاس . [1]