خواص [ ویرایش ]

مقیاس بندی و تقارن [ ویرایش ]

تابع دلتا خاصیت مقیاس بندی زیر را برای α اسکالر غیر صفر برآورده می کند : [35]

\int _{-\infty }^{\infty }\delta (\alpha x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (u)\,{\frac {du} {|\alpha |}}={\frac {1}{|\alpha |}}

و غیره

\delta (\alpha x)={\frac {\delta (x)}{|\alpha |}}.

 

 

 

 

( 4 )

اثبات:

 

 

{\displaystyle {\begin{aligned}\delta (\alpha x)&=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{|a|{\sqrt {\pi }}}}e^{ -(\alpha x/a)^{2}}\qquad {\text{از آنجایی که }}a{\text{ یک متغیر ساختگی است، ما }}a=\alpha b\\&=\lim _{b را تنظیم کردیم \به 0}{\frac {1}{|\alpha b|{\sqrt {\pi }}}}e^{-(\alpha x/(\alpha b))^{2}}\\&= \lim _{b\to 0}{\frac {1}{|\alpha |}}{\frac {1}{|b|{\sqrt {\pi }}}}e^{-(x/b )^{2}}={\frac {1}{|\alpha |}}\delta (x)\end{تراز شده}}}

 

به طور خاص، تابع دلتا یک توزیع زوج است، به این معنا که

\delta (-x)=\delta (x)

که از درجه 1- همگن است.