نشان دادناستنتاج قانون هوک در سه بعد

در شکل ماتریسی، قانون هوک برای مواد همسانگرد را می توان به صورت زیر نوشت

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\ \2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\ گاما _{23}\\\گاما _{13}\\\گاما _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&- \nu &-\nu &0&0&0\\-\nu &1&-\nu &0&0&0\\-\nu &-\nu &1&0&0&0\\0&0&0&2+2\nu &0&0\\0&0&0&0&2+2\nu &0\\0&0&0&0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13} \\\sigma _{12}\end{bmatrix}}}

که γ ij = 2 ε ij کرنش برشی مهندسی است . رابطه معکوس ممکن است به صورت نوشته شود

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\ سیگما _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\ nu &\nu &0&0&0\\\nu &1-\nu &\nu &0&0&0\\\nu &\nu &1-\nu &0&0&0\\0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}&0&0\\0&0&0&0& {\frac {1-2\nu }{2}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11} \\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}

که به لطف ثابت های Lamé می توان آن را ساده کرد:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\ سیگما _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}2\mu +\lambda &\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &2\mu +\lambda &\lambda &0&0&0\ \\lambda &\lambda &2\mu +\lambda &0&0&0\\0&0&0&\mu &0&0\\0&0&0&0&\mu &0\\0&0&0&0&0&\mu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\ \varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}

در نماد برداری این می شود

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{23 }\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\,=\,2\mu {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}& \varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23} &\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}+\lambda \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\راست)}

جایی که iتانسور همانی هست.

استرس فضا

تحت شرایط تنش صفحه ، σ 31 = σ 13 = σ 32 = σ 23 = σ 33 = 0 . در آن صورت قانون هوک شکل می گیرد

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{1 -\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&{\frac {1-\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{ bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}

در نماد برداری این می شود

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}\end{bmatrix}}\,=\,{\ frac {E}{1-\nu ^{2}}}\left((1-\nu){\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{12 }&\varepsilon _{22}\end{bmatrix}}+\nu \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}\right)\right)}

رابطه معکوس معمولاً به شکل کاهش یافته نوشته می شود

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{ E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &0\\-\nu &1&0\\0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _ {22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}}

کرنش هواپیما

در شرایط کرنش صفحه ، ε 31 = ε 13 = ε 32 = ε 23 = ε 33 = 0 . در این مورد قانون هوک شکل می گیرد

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{( 1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &0\\\nu &1-\nu &0\\0&0&{\frac {1-2\nu } {2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}

مواد ناهمسانگرد

تقارن تانسور تنش کوشی ( σ ij = σ ji ) و قوانین هوک تعمیم یافته ( σ ij = c ijkl ε kl ) دلالت بر این دارد که c ijkl = c jikl . به طور مشابه، تقارن تانسور کرنش بینهایت کوچک نشان می دهد که c ijkl = c ijlk . به این تقارن ها تقارن های جزئی تانسور سختی c می گویند . این باعث کاهش تعداد ثابت های الاستیک از 81 به 36 می شود.

اگر علاوه بر این، از آنجایی که گرادیان جابجایی و تنش کوشی مزدوج کاری هستند، رابطه تنش-کرنش را می توان از تابع چگالی انرژی کرنش ( U ) به دست آورد، پس

{\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {\partial U}{\partial \varepsilon _{ij}}}\quad \implies \quad c_{ijkl}={\frac {\partial ^{2} U}{\partial \varepsilon _{ij}\partial \varepsilon _{kl}}}\,.}

دلخواه بودن ترتیب تمایز به این معناست که c ijkl = c klij . به این تقارن های اصلی تانسور سختی می گویند. این تعداد ثابت‌های الاستیک را از 36 به 21 کاهش می‌دهد. تقارن اصلی و فرعی نشان می‌دهد که تانسور سفتی تنها دارای 21 جزء مستقل است.

نمایش ماتریس (تانسور سفتی)

اغلب مفید است که شکل ناهمسانگرد قانون هوک را در نمادگذاری ماتریسی بیان کنیم که نماد Voigt نیز نامیده می شود . برای این کار از تقارن تانسورهای تنش و کرنش استفاده می کنیم و آنها را به صورت بردارهای شش بعدی در یک سیستم مختصات متعارف ( e 1 , e 2 , e 3 ) بیان می کنیم.

{\displaystyle [{\boldsymbol {\sigma }}]\,=\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma ‎ 2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,;\qquad [{\boldsymbol { \varepsilon }}]\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2 \varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\ varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}}

سپس تانسور سفتی ( c ) را می توان به صورت بیان کرد

{\displaystyle [{\mathsf {c}}]\,=\,{\begin{bmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1131}&c_{1112}\\c_ {2211}&c_{2222}&c_{2233}&c_{2223}&c_{2231}&c_{2212}\\c_{3311}&c_{3322}&c_{3333}&c_{3323}&c_{2231}&c_{331} \c_{2311}&c_{2322}&c_{2333}&c_{2323}&c_{2331}&c_{2312}\\c_{3111}&c_{3122}&c_{3133}&c_{3123}&c_{3123}&c_{231}&c_{312} }\\c_{1211}&c_{1222}&c_{1233}&c_{1223}&c_{1231}&c_{1212}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\ begin{bmatrix}C_{11}&C_ {12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13 }&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_ {15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}}

و قانون هوک به صورت نوشته شده است

{\displaystyle [{\boldsymbol {\sigma }}]=[{\mathsf {C}}][{\boldsymbol {\varepsilon }}]\qquad {\text{یا}}\qquad \sigma _{i} =C_{ij}\varepsilon _{j}\،.}

به طور مشابه، تانسور ( های ) انطباق را می توان به صورت نوشتاری نوشت

{\displaystyle [{\mathsf {s}}]\,=\,{\begin{bmatrix}s_{1111}&s_{1122}&s_{1133}&2s_{1123}&2s_{1131}&2s_{1112}\\s_ {2211}&s_{2222}&s_{2233}&2s_{2223}&2s_{2231}&2s_{2212}\\s_{3311}&s_{3322}&s_{3333}&2s_{3323}&2s_{3323}&2s_{3323}&2s_{3323} \2s_{2311}&2s_{2322}&2s_{2333}&4s_{2323}&4s_{2331}&4s_{2312}\\2s_{3111}&2s_{3122}&2s_{3133}&2s_{3133}&4s_{3133}&4s_{3133}&4s_{3133}&4s_{3133}&4s_{3133} }\\2s_{1211}&2s_{1222}&2s_{1233}&4s_{1223}&4s_{1231}&4s_{1212}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\ begin{bmatrix}S_{11} {12}&S_{13}&S_{14}&S_{15}&S_{16}\\S_{12}&S_{22}&S_{23}&S_{24}&S_{25}&S_{26}\\S_{13 }&S_{23}&S_{33}&S_{34}&S_{35}&S_{36}\\S_{14}&S_{24}&S_{34}&S_{44}&S_{45}&S_{46}\\S_ {15}&S_{25}&S_{35}&S_{45}&S_{55}&S_{56}\\S_{16}&S_{26}&S_{36}&S_{46}&S_{56}&S_{66}\end{bmatrix}}}

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Hooke%27s_law