​


"منحنی هیپربولیک" به اینجا هدایت می شود. برای منحنی هندسی، Hyperbola را ببینید .

Sinh cosh tanh.svg

در ریاضیات , توابع هذلولی مشابه توابع مثلثاتی معمولی هستند , اما با استفاده از هذلولی به جای دایره تعریف می شوند . همانطور که نقاط (cost ، sin t ) دایره ای با شعاع واحد تشکیل می دهند ، نقاط (cosh t ، sinh t ) نیمه سمت راست هذلولی واحد را تشکیل می دهند. همچنین، به طور مشابه، مشتقات sin( t ) و cos( t ) cos( t ) هستند .و –sin( t ) ، مشتقات sinh( t ) و cosh( t ) cosh( t ) و +sinh( t ) هستند .

توابع هذلولی در محاسبات زوایا و فواصل در هندسه هذلولی رخ می دهند . آنها همچنین در راه حل های بسیاری از معادلات دیفرانسیل خطی (مانند معادله تعریف یک خطی )، معادلات مکعبی ، و معادله لاپلاس در مختصات دکارتی رخ می دهند. معادلات لاپلاس در بسیاری از زمینه های فیزیک از جمله نظریه الکترومغناطیسی ، انتقال حرارت ، دینامیک سیالات و نسبیت خاص مهم هستند.

توابع هذلولی اساسی عبارتند از: [1]

  • سینوس هذلولی "sinh" ( / ˈ s ɪ ŋ , ˈ s ɪ n tʃ , ˈ ʃ aɪ n / )، [2]
  • کسینوس هذلولی "cosh" ( / ˈ k ɒ ʃ , ˈ k oʊ ʃ / )، [3]

که از آن مشتق شده است: [4]

  • تانژانت هذلولی "tanh" ( / ˈ t æ ŋ , ˈ t æ n tʃ , ˈ θ æ n / )، [5]
  • کسکانت هذلولی "csch" یا "cosech" ( / ˈ k oʊ s ɛ tʃ , ˈ k oʊ ʃ ɛ k / [3] )
  • سکانت هذلولی "sech" ( / ˈ s ɛ tʃ , ˈ ʃ ɛ k / )، [6]
  • هذلولی همتنژانت "coth" ( / ˈ k ɒ θ , ˈ k oʊ θ / )، [7] [8]

مربوط به توابع مثلثاتی مشتق شده است.

توابع هذلولی معکوس عبارتند از:

  • سینوس هذلولی منطقه "arsinh" (همچنین به "sinh -1 "، "asinh" یا گاهی اوقات "arcsinh" نشان داده می شود) [9] [10] [11]
  • کسینوس هذلولی ناحیه "arcosh" (همچنین به "cosh -1 "، "acosh" یا گاهی اوقات "arccosh" نشان داده می شود)
  • و غیره

پرتویی از هذلولی واحد x 2 − y 2 = 1 در نقطه (cosh a , sinh a ) , جایی که a دو برابر مساحت بین پرتو، هذلولی و محور x است. برای نقاط روی هذلولی زیر محور x ، ناحیه منفی در نظر گرفته می شود ( نسخه متحرک با مقایسه با توابع مثلثاتی (دایره ای) را ببینید).

توابع هذلولی یک آرگومان واقعی به نام زاویه هذلولی می گیرند . اندازه یک زاویه هذلولی دو برابر مساحت بخش هذلولی آن است . توابع هذلولی ممکن است برحسب پایه های یک مثلث قائم الزاویه که این بخش را پوشش می دهد، تعریف شوند.

در تحلیل پیچیده ، توابع هذلولی به عنوان بخش های خیالی سینوس و کسینوس به وجود می آیند. سینوس هیپربولیک و کسینوس هذلولی توابع کامل هستند . در نتیجه، سایر توابع هذلولی در کل صفحه پیچیده مرومورفیک هستند.

بر اساس قضیه لیندمان – وایرشتراس ، توابع هذلولی برای هر مقدار جبری غیرصفری آرگومان، یک مقدار ماورایی دارند . [12]

توابع هیپربولیک در دهه 1760 به طور مستقل توسط وینچنزو ریکاتی و یوهان هاینریش لامبرت معرفی شدند. [13] Riccati از Sc. و رونوشت ( sinus/cosinus circulare ) اشاره به توابع حلقوی و Sh. و چ. ( سینوس/کوسینوس هیپربولیکو ) برای اشاره به توابع هذلولی. لامبرت این نام ها را پذیرفت، اما اختصارات را به نام هایی که امروزه استفاده می شود تغییر داد. [14] اختصارات sh , ch , th , cth نیز در حال حاضر بسته به ترجیح شخصی استفاده می شود.

فهرست

  • 1نشانه گذاری
  • 2تعاریف
    • 2.1تعاریف نمایی
    • 2.2تعاریف معادلات دیفرانسیل
    • 2.3تعاریف پیچیده مثلثاتی
  • 3ویژگی های مشخص کننده
    • 3.1کسینوس هیپربولیک
    • 3.2تانژانت هیپربولیک
  • 4روابط مفید
    • 4.1مجموع استدلال ها
    • 4.2فرمول های تفریق
    • 4.3فرمول های نیم آرگومان
    • 4.4فرمول های مربعی
    • 4.5نابرابری ها
  • 5توابع معکوس به عنوان لگاریتم
  • 6مشتقات
  • 7مشتقات دوم
  • 8انتگرال های استاندارد
  • 9عبارات سری تیلور
  • 10ضربهای نامتناهی و کسرهای ادامه دار
  • 11مقایسه با توابع دایره ای
  • 12رابطه با تابع نمایی
  • 13توابع هذلولی برای اعداد مختلط
  • 14همچنین ببینید
  • 15منابع
  • 16لینک های خارجی

نشانه گذاری [ ویرایش ]

مقاله اصلی: توابع مثلثاتی § نمادگذاری

تعاریف [ ویرایش ]

سین ، کوش و تن

csch ، sech و coth

روش های معادل مختلفی برای تعریف توابع هذلولی وجود دارد.

تعاریف نمایی [ ویرایش ]

sinh x نصف اختلاف e x و e - x است

cosh x میانگین e x و e - x است _

از نظر تابع نمایی : [1] [4]

  • سینوس هیپربولیک: قسمت فرد تابع نمایی، یعنی

    {\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}= {\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}.}
  • کسینوس هیپربولیک: قسمت زوج تابع نمایی، یعنی

    {\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}= {\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}.}
  • تانژانت هیپربولیک:

    {\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{- x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}.}
  • کتانژانت هیپربولیک: برای x ≠ 0 ،

    {\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{- x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}.}
  • سکانس هیپربولیک:

    {\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e ^{x}}{e^{2x}+1}}.}
  • کسکانت هذلولی: برای x ≠ 0 ،

    {\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e ^{x}}{e^{2x}-1}}.}

تعاریف معادلات دیفرانسیل [ ویرایش ]

توابع هذلولی را می توان به عنوان جواب معادلات دیفرانسیل تعریف کرد : سینوس و کسینوس هذلولی حل ( s , c ) یک سیستم هستند.

{\displaystyle {\begin{aligned}c'(x)&=s(x),\\s'(x)&=c(x),\\\end{aligned}}}با شرایط اولیه{\displaystyle s(0)=0,c(0)=1,}جلوگیری از هر جفت عملکرد{{\displaystyle (ae^{x}+be^{-x},ae^{x}-be^{-x})}راه حل باشد

sinh( x ) و cosh( x ) نیز راه‌حل منحصربه‌فرد معادله f  ″( x ) = f  ( x ) هستند، به طوری که f  (0) = 1 ، f  ′(0) = 0 برای کسینوس هذلولی، و f  (0) = 0 ، f  ′(0) = 1 برای سینوس هذلولی.

تعاریف مختلط توابع مثلثاتی [ ویرایش ]

توابع هذلولی نیز ممکن است از توابع مثلثاتی با آرگومان های مختلط استنتاج شوند:

  • سینوس هیپربولیک: [1]

    {\displaystyle \sinh x=-i\sin(ix).}
  • کسینوس هیپربولیک: [1]

    {\displaystyle \cosh x=\cos(ix).}
  • تانژانت هیپربولیک:

    {\displaystyle \tanh x=-i\tan(ix).}
  • کتانژانت هیپربولیک:

    {\displaystyle \coth x=i\cot(ix).}
  • سکانس هیپربولیک:
    {\displaystyle \operatorname {sech} x=\sec(ix).}
  • کسکانت هیپربولیک:
    {\displaystyle \operatorname {csch} x=i\csc(ix).}

جایی که i واحد موهومی با i 2 = −1 است.

تعاریف فوق به تعاریف نمایی از طریق فرمول اویلر مرتبط هستند (به § توابع هیپربولیک برای اعداد مختلط زیر مراجعه کنید).

​