اجازه دهید v(t)نشان دهنده سرعت در زمان تیثانیه پس از پرش از ارتفاع زیاد مردی باشد که با چتر در حال سقوط است که مجموع وزن انسان به اضافه چتر نجات 192 پوند است. مرد بعد از 10 ثانیه چتر نجات را باز می کند. قبل از اینکه لوله باز شود، مقاومت هوا با \frac{3}{4} v(t)پوند داده می شود. در حالی که چتر نجات در هوای آزاد است مقاومت با 12 ولت (t)پوند داده می شود. با فرض اینکه شتاب ناشی از گرانش 32 فوت بر ثانیه مجذور آن است، فرمول های صریح را پیدا کنید v(t). (از تقریب استفاده کنید e^{-\frac{5}{4}} = \frac{37}{128}.)

به ما داده می شود که وزن مرد به اضافه چتر نجات است میلی گرم = 192و آن g = 32. بنابراین m = 6. بنابراین، برای 0 \leq t \leq 10ما v(0) = 0و

  \شروع{تراز*} ma = mg - kv && \به معنای && 6v' &= 192 - \frac{3}{4} v \\ && \به معنای && v' + \frac{1}{8} v &= 32 \\ && \به معنای && v &= e^{-\frac{t}{8}} \int_0^te^{\frac{s}{8}} \cdot 32 \, ds &(\text{ قضیه 8.3})\\ && \به معنای && v &= e^{-\frac{t}{8}} \cdot 32 (8e^{\frac{t}{8}} - 8) \\ && \به معنای && v &= 256 (1 - e^{\frac{t}{8}}). \پایان{تراز کردن*}

اگر t > 10، پس داریم v(10) = 182و k = 12vبنابراین،

  \[ 6v' = 192 - 12v \quad \به معنای \quad v' + 2v = 32. \]

بنابراین، ما قضیه 8.3 (صفحه 310 Apostol) را با

  \[ v(10) = 182 \quad \به معنای \quad A(t) = \int_0^t 2 \، ds = 2t -20 است. \]

از این رو،

  \begin{align*} v &= 182 e^{20-2t} + e^{20-2t} \int_{10}^t 32 e^{2s-20} \, ds \\ &= 182 e^ {20-2t} + 16 - 16 e^{20-2t} \\ &= 16 + 166 e^{20-2t}. \پایان{تراز کردن*}

 

منبع

https://www.stumblingrobot.com/2016/01/31/using-differential-equations-find-a-formula-for-the-velocity-of-man-descending-with-a-parachute/