ریاضیات

 نقاط انشعاب و برش شاخه ها قطب های تکینگی: در یک بسط لران آنگاه z 0 به عنوان قطبی از مرتبه n گفته می شود. به یک قطب درجه 1 قطب ساده می گویند. قطبی با نظم نامتناهی (هنگامی که در حدود z 0 منبسط شود) تکینگی اساسی نامیده می شود. رفتار یک تابع f (z) در بی‌نهایت با استفاده از رفتار f (1/t) در t = 0 تعریف می‌شود.

مثال‌ها: sinz بنابراین یک تکینگی اساسی در بی‌نهایت دارد. 

نقاط انشعاب و برش انشعاب: نقطه انشعاب: نقطه ای z 0 که تابع f (z) در اطراف آن پس از عبور از یک مدار کوچک ناپیوسته است. به عنوان مثال. ، برش شاخه: منحنی رسم شده در صفحه مختلط به گونه ای که اگر مسیری اجازه عبور از این منحنی را نداشته باشد، یک تابع چند مقدار در طول مسیر تک مقدار می شود. برش های شاخه معمولاً بین جفت نقاط انشعاب انجام می شود. به عنوان مثال. ، برای، منحنی z=1 را به هم متصل می کند و z = می تواند به عنوان یک برش شاخه عمل کند. 

نمونه هایی از نقاط انشعاب و برش شاخه ها: اگر a یک عدد گویا باشد، دور نقطه انشعاب z = 0 q بار f (z) را به مقدار اولیه خود باز می گرداند. این نقطه انشعاب را جبری می گویند و q را ترتیب نقطه انشعاب می گویند. اگر a یک عدد غیر منطقی باشد، هیچ تعداد چرخشی وجود نخواهد داشت که بتواند f (z) را به مقدار اولیه خود بازگرداند. نقطه انشعاب لگاریتمی است. 22

A می توانیم یک شاخه برش از z = -1 تا z = 1 (یا هر منحنی که این دو نقطه را به هم متصل کند) انتخاب کنیم. تابع تک مقدار خواهد بود، زیرا هر دو نقطه دایره خواهند شد. از طرف دیگر، می‌توانیم یک برش شاخه انتخاب کنیم که هر نقطه شاخه را به بی‌نهایت متصل می‌کند. تابع تک مقدار خواهد بود، زیرا هیچ یک از نقاط دایره نخواهند داشت. قابل توجه است که این دو انتخاب عملکردهای متفاوتی دارند. به عنوان مثال. ، اگر ، سپس ABB 23

 7 نقشه برداری: یک تابع مختلط را می توان به عنوان توصیف نگاشت از صفحه مختلط z به صفحه w مختلط در نظر گرفت. به طور کلی، یک نقطه در صفحه z به یک نقطه در صفحه w نگاشت می شود. یک منحنی در صفحه z به منحنی در صفحه w ترسیم می شود. یک منطقه در صفحه z به یک منطقه در صفحه w نگاشت می شود. yvw 1 z 0 w 0 zxwu نمونه هایی از نقشه برداری: ترجمه: چرخش: 25

وارونگی: در مختصات دکارتی: یک خط مستقیم به صورت دایره ترسیم می شود: 26

6. 8 نگاشت مطابق: تابع w(z) در z 0 مطابق با z 0 گفته می شود اگر زاویه بین هر دو منحنی را تا z 0 حفظ کند. اگر w(z) تحلیلی و w'(z 0) 0 باشد، پس w(z) در z 0 مطابق است. اثبات: از آنجایی که w(z) تحلیلی است و w'(z 0) 0، ما می توانیم w(z) را حول z = z 0 در یک سری تیلور گسترش دهیم: 1) در هر نقطه در جایی که w(z) مطابق است، نگاشت شامل یک چرخش و یک اتساع است. 2) مقدار موضعی چرخش و اتساع از نقطه ای به نقطه دیگر متفاوت است. بنابراین یک خط مستقیم معمولاً در یک منحنی ترسیم می شود. 3) یک سیستم مختصات متعامد منحنی به سیستم مختصات متعامد منحنی دیگر نگاشت می شود.

 27

اگر w'(z 0) = 0 چه اتفاقی می افتد؟ فرض کنید w (n)(z 0) اولین مشتق ناپدید شونده در z 0 باشد. این بدان معنی است که در z = z 0 زاویه بین هر دو منحنی با ضریب n بزرگ‌نمایی می‌شود و سپس با b چرخاند

منبع

https://slidetodoc.com/chapter-6-functions-of-a-complex-variable-i/