ریاضیات

قضیه موررا: اگر f (z) پیوسته باشد و برای هر کانتور بسته در یک ناحیه به سادگی متصل باشد، آنگاه f (z) در این ناحیه تحلیلی است. 11

بخوانید: فصل 6: 3 -4 تکلیف: 6. 4. 1، 6. 4. 3، 6. 4. 4 موعد: 14 اکتبر 12

اصل انعکاس شوارتز: اگر f (z) 1) تحلیلی بر روی یک منطقه شامل محور واقعی، و 2) واقعی است زمانی که z واقعی است، پس مثال: اکثر توابع ابتدایی. 14

ادامه تحلیلی: فرض کنید f (z) حول z = z 0 تحلیلی است، می‌توانیم آن را حدود z = z 0 در یک سری تیلور بسط دهیم: این سری در داخل دایره‌ای با شعاع همگرایی همگرا می‌شود، جایی که 0 نزدیک‌ترین تکینگی از z = z 0. همچنین می توانیم f (z) را در مورد نقطه دیگری z = z 1 در دایره R 0 گسترش دهیم: . به طور کلی، دایره جدید دارای شعاع همگرایی است که در دایره اول نیست. a 0 R 0 z 1 a 1 R 1 و حاوی نقاطی است پیامدها: 1) f (z) را می توان به صورت تحلیلی بر روی صفحه مختلط ادامه داد، به استثنای تکینگی ها. 2) اگر f (z) تحلیلی باشد، مقادیر آن در یک منطقه مقادیر آن را در همه جا تعیین می کند. 15

بخوانید: فصل 6: 5 تکالیف: 6. 5. 2، 6. 5. 5 موعد: 21 اکتبر 16

مسئله  بسط لران : بسط تابع f (z) که در ناحیه حلقوی (بین r و R) تحلیلی است. L 2 L 1 C هر کانتوری است که z 0 را در بر می گیرد و بین r و R قرار می گیرد (قضیه تغییر شکل). 17

بسط لوران: 1) نقاط مفرد انتگرال. برای n < 0، نقاط مفرد با f (z) تعیین می شوند. برای n ≥ 0، نقاط مفرد با هر دو f (z) و 1/(z'-z 0)n+1 تعیین می شوند. 2) اگر f (z) در داخل C تحلیلی باشد، آنگاه سری لورن به یک سری تیلور کاهش می یابد: 3) اگرچه an یک شکل انتگرال خطوط کلی دارد، در بیشتر مواقع ما نیاز داریم که از جبر مختلط مستقیم به جلو برای یافتن an استفاده کنیم. 18