ریاضیات

7 اکتبر قضیه کوشی 6. 3

قضیه انتگرال کوشی انتگرال کانتور: قضیه انتگرال کوشی: اگر f (z) در یک ناحیه همبند سادهR تحلیلی باشد،

[و f ′(z) در سراسر این ناحیه پیوسته است، ] برای هر مسیر بسته C در R، انتگرال خطی f (z) حول C صفر است: اثبات با استفاده از قضیه استوکس: 7

اثبات کوشی-گورسات: تداوم f '(z) ضروری نیست. z 2 نتیجه: یک انتگرال کانتور باز برای یک تابع تحلیلی مستقل از مسیر است، اگر هیچ نقطه منفردی بین مسیرها وجود نداشته باشد. z 1 قضیه تغییر شکل کانتور: کانتور یک انتگرال مختلط را می توان به طور دلخواه از طریق یک ناحیه تحلیلی بدون تغییر انتگرال تغییر شکل داد. 1) برای هر دو کانتور باز و بسته اعمال می شود. 2) حتی می توان خطوط بسته را تقسیم کرد. اثبات: کانتور را ذره ذره تغییر شکل دهید. مثال: 1) قضیه انتگرال کوشی. (اجازه دهید کانتور تا یک نقطه کوچک شود. ) 2) فرمول انتگرال کوشی. (اجازه دهید کانتور به یک دایره کوچک کوچک شود. ) z 2 "ناخن" C 2 z 1 C 1 "بندهای لاستیکی" C 2 C 1 C 3 C 1 8

6. 4 فرمول انتگرال کوشی: اگر f (z) در داخل و روی یک کانتور بسته C تحلیلی باشد، برای هر نقطه z 0 در C، L 1 z 0 L 2 C 0 C می تواند مستقیماً از قضیه تغییر شکل کانتور استفاده کند. 9

مشتقات f (z): نتیجه: اگر تابعی تحلیلی باشد، مشتقات آن از همه مرتبه ها وجود دارد. نتیجه: اگر تابعی تحلیلی باشد، می توان آن را در سری تیلور گسترش داد. نابرابری کوشی: اگر تحلیلی و محدود است، پس قضیه لیوویل: اگر تابعی در کل صفحه مختلط تحلیلی و محدود باشد، این تابع یک ثابت است. قضیه اساسی جبر: n ریشه دارد. فرض کنید P(z) هیچ ریشه ای ندارد، آنگاه 1/P(z) تحلیلی است و محدود می شود، سپس P(z) ثابت است. این مزخرف است. بنابراین P(z) حداقل یک ریشه دارد که می توانیم آن را تقسیم کنیم. 10