ریمان

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد


منابع "کوشی-ریمان" به اینجا هدایت می شود. برای منیفولدهای کوشی-ریمان، منیفولد CR را ببینید .

تصویری بصری از یک بردار X در یک دامنه که در یک عدد مختلط z ضرب می‌شود، سپس با f ترسیم می‌شود، در مقابل با f ترسیم می‌شود و سپس در z ضرب می‌شود. اگر هر دوی اینها منجر به پایان یافتن نقطه در یک مکان برای تمام X و z شود، آنگاه f شرط کوشی-ریمان را برآورده می کند.

تجزیه و تحلیل ریاضی → تجزیه و تحلیل مختلط
تحلیل مختلط
گاما abs 3D.png
اعداد مختلط
توابع مختلط
نظریه پایه
نظریه توابع هندسی
مردم

در زمینه تحلیل مختلط در ریاضیات ، معادلات کوشی-ریمان که به نام آگوستین کوشی و برنهارد ریمان نامگذاری شده اند، از سیستمی از دو معادله دیفرانسیل جزئی تشکیل شده است که همراه با معیارهای تداوم و تمایز معین، شرط لازم و کافی را برای تابع مختلط به هولومورف بودن (متمایز مختلط). این سیستم معادلات برای اولین بار در کار ژان لو روند d'Alembert ظاهر شد. [1] بعدها، لئونارد اویلر این سیستم را به توابع تحلیلی متصل کرد. [2] کوشی [3] سپس از این معادلات برای ساختن نظریه توابع خود استفاده کرد. پایان نامه ریمان در مورد نظریه توابع در سال 1851 ظاهر شد .

معادلات کوشی-ریمان روی یک جفت تابع با ارزش حقیقی دو متغیر حقیقی u ( x , y ) و v ( x , y ) دو معادله هستند:

{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}}

 

 

 

 

( 1a )

{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}

 

 

 

 

( 1b )

به طور معمول u و v به ترتیب اجزای حقیقی و موهومی یک تابع با ارزش مختلط از یک متغیر مختلط منفرد z = x + iy , f ( x + iy ) = u ( x , y ) + iv ( x , y ) در نظر گرفته می شوند. ) . فرض کنید u و v در نقطه ای از زیر مجموعه باز C قابل تمایز حقیقی هستندکه می توان آن را توابعی از R 2 تا R در نظر گرفت. این نشان می‌دهد که مشتقات جزئی u و v وجود دارند (اگرچه لازم نیست پیوسته باشند)، بنابراین می‌توانیم تغییرات کوچک f را به صورت خطی تقریبی کنیم. سپس f = u + iv مختلط قابل تفکیک است ، در آن نقطه اگر و فقط اگر مشتقات جزئی u و v معادلات کوشی-ریمان ( 1a ) و ( 1b ) را برآورده کنند.) در آن نقطه. وجود مشتقات جزئی که معادلات کوشی-ریمان را برآورده می‌کنند، تمایزپذیری مختلط را تضمین نمی‌کند: u و v باید متمایزپذیر حقیقی باشند، که شرطی قوی‌تر از وجود مشتقات جزئی است، اما به طور کلی، ضعیف‌تر از تمایزپذیری پیوسته است.

هولومورفی ویژگی یک تابع مختلط است که در هر نقطه از یک زیرمجموعه باز و متصل C قابل تمایز است (به آن دامنه در C می گویند ). در نتیجه، می‌توانیم ادعا کنیم که یک تابع مختلط f ، که بخش‌های حقیقی و موهومی آن u و v توابع قابل تمایز حقیقی هستند، اگر و فقط در صورتی که معادلات ( 1a ) و ( 1b ) در سراسر حوزه‌ای که با آن سروکار داریم ، ارضا شوند، هولومورفیک است. توابع هولومورفیک تحلیلی هستندو بالعکس. این بدان معناست که در تحلیل مختلط، تابعی که در یک حوزه کامل (هولومورفیک) قابل تمایز مختلط است، همان تابع تحلیلی است. این برای توابع متمایزپذیر حقیقی صادق نیست.

 

فهرست

مثال ساده [ ویرایش ]

فرض کنید کهz=x+iy. تابع با ارزش مختلطf(z) = z^2در هر نقطه z در صفحه مختلط قابل تمایز است.

{\displaystyle f(z)=(x+iy)^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy}

 

قسمت حقیقیu(x,y)و قسمت موهومی{\displaystyle v(x,y)}هستند

{\displaystyle {\begin{aligned}u(x,y)&=x^{2}-y^{2}\\v(x,y)&=2xy\end{aligned}}}

و مشتقات جزئی آنها هستند

{\displaystyle u_{x}=2x;\quad u_{y}=-2y;\quad v_{x}=2y;\quad v_{y}=2x}

 

می بینیم که در واقع معادلات کوشی-ریمان برآورده می شوند،{\displaystyle u_{x}=v_{y}}و{\displaystyle u_{y}=-v_{x}}.

تفسیر و بازنویسی [ ویرایش ]

معادلات یکی از راههای بررسی شرایط یک تابع به معنای قابل تفکیک بودن آنالیز مختلط هستند : به عبارت دیگر آنها مفهوم تابع یک متغیر مختلط را با استفاده از حساب دیفرانسیل معمولی در بر می گیرند . در تئوری چندین راه اصلی دیگر برای نگریستن به این مفهوم وجود دارد و اغلب به ترجمه شرط به زبان دیگر نیاز است.

نگاشت‌های منسجم [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: نقشه انطباق

اول، معادلات کوشی-ریمان ممکن است به شکل مختلط نوشته شوند

 

{\displaystyle {i{\frac {\partial f}{\partial x}}}={\frac {\partial f}{\partial y}}.}

 

 

 

 

( 2 )

در این شکل، معادلات از نظر ساختاری با شرایطی مطابقت دارند که ماتریس ژاکوبین به شکل باشد.

 

{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}},} جایی که{\displaystyle a=\partial u/\partial x=\partial v/\partial y}و{\displaystyle b=\partial v/\partial x=-\partial u/\partial y}. ماتریسی از این شکل نمایش ماتریسی یک عدد مختلط است. از نظر هندسی، چنین ماتریسی همیشه ترکیب یک چرخش با مقیاس بندی است و به ویژه زوایا را حفظ می کند. ژاکوبین یک تابع f ( z ) پاره خطهای بینهایت کوچک را در محل تلاقی دو منحنی در z می گیرد و آنها را به پاره های مربوطه در f ( z ) می چرخاند . در نتیجه، تابعی که معادلات کوشی-ریمان را برآورده می‌کند، با یک مشتق غیرصفر، زاویه بین منحنی‌ها را در صفحه حفظ می‌کند. یعنی معادلات کوشی-ریمان شرایط یک تابع است منسجم .

 

علاوه بر این، از آنجا که ترکیب یک تبدیل منسجم با یک تبدیل منسجم دیگر نیز مطابق است، ترکیب یک راه حل معادلات کوشی-ریمان با یک نقشه منسجم باید خود معادلات کوشی-ریمان را حل کند. بنابراین معادلات کوشی-ریمان به طور همسویی ثابت هستند.

تمایز مختلط [ ویرایش ]

فرض کنید که

{\displaystyle f(z)=u(z)+i\cdot v(z)}

تابعی از عدد مختلط است{\displaystyle z=x+iy}. سپس مشتق مختلط ازfدر یک نقطهz_{{0}}تعریف شده است

{\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h }}=f'(z_{0})}

به شرطی که این محدودیت وجود داشته باشد.

 

اگر این حد وجود داشته باشد، ممکن است با در نظر گرفتن حد به عنوان محاسبه شودh \ تا 0در امتداد محور حقیقی یا محور موهومی؛ در هر صورت باید همان نتیجه را بدهد. با نزدیک شدن به محور حقیقی، شخص می یابد

{\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h }}={\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0}).}

 

از سوی دیگر، نزدیک شدن در امتداد محور موهومی،

{\displaystyle \lim _{\underset {\eta \in \mathbb {R} }{\eta \to 0}}{\frac {f(z_{0}+i\eta )-f(z_{0} )}{i\eta }}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0}).}

 

برابری مشتق f گرفته شده در امتداد دو محور است

{\displaystyle i{\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})={\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0})،}

 

که معادلات کوشی-ریمان (2) در نقطه  z 0 هستند.

برعکس، اگر f  : C → C تابعی است که وقتی به عنوان تابعی در R 2 در نظر گرفته شود، قابل تفکیک است ، آنگاه f قابل تفکیک مختلط است اگر و فقط اگر معادلات کوشی-ریمان برقرار باشد. به عبارت دیگر، اگر u و v توابع متمایزپذیر حقیقی از دو متغیر حقیقی باشند، بدیهی است که u + iv یک تابع متمایز حقیقی (با ارزش مختلط) است، اما u + iv قابل تمایز مختلط است اگر و فقط اگر کوشی-ریمان باشد. معادلات برقرار است

در واقع، با پیروی از رودین، [5] فرض کنید f یک تابع مختلط است که در یک مجموعه باز Ω ⊂ C تعریف شده است. سپس، با نوشتن z = x + iy برای هر z ∈ Ω ، می توان Ω را به عنوان زیرمجموعه باز R 2 و f را تابعی از دو متغیر حقیقی x و y در نظر گرفت که Ω ⊂ R 2 را به C نشان می دهد. ما معادلات کوشی-ریمان را در z = z 0 در نظر می گیریم . بنابراین فرض کنید f قابل تفکیک در استz 0 ، به عنوان تابعی از دو متغیر حقیقی از Ωتا C. این معادل وجود تقریب خطی زیر است

 

{\displaystyle f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})=f_{x}\,\Delta x+f_{y}\,\Delta y+\eta (\Delta z)\ ,\Delta z} که در آن z = x + iy و η (Δ z ) → 0 به عنوان Δ z → 0 . از آنجا که{\displaystyle \Delta z+\Delta {\bar {z}}=2\,\Delta x}و{\displaystyle \Delta z-\Delta {\bar {z}}=2i\,\Delta y}، موارد فوق را می توان به صورت مجدد نوشت

 

 

{\displaystyle \Delta f(z_{0})={\frac {f_{x}-if_{y}}{2}}\,\Delta z+{\frac {f_{x}+if_{y}} {2}}\,\Delta {\bar {z}}+\eta (\Delta z)\,\Delta z\,}

 

تعریف دو مشتق رایتنگر به عنوان

 

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\ جزئی }{\partial y}}\right),\;\;\;{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left ({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),}

 

در حد{\displaystyle \Delta z\to 0,\Delta {\bar {z}}\to 0}برابری فوق را می توان به صورت نوشتاری

{\displaystyle \left.{\frac {df}{dz}}\right|_{z=z_{0}}=\left.{\frac {\partial f}{\partial z}}\right|_ {z=z_{0}}+\left.{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\right|_{z=z_{0}}\cdot {\frac { d{\bar {z}}}{dz}}+\eta (\Delta z),\;\;\;\;(\Delta z\neq 0).}

 

اکنون مقادیر بالقوه را در نظر بگیرید{\displaystyle d{\bar {z}}/dz}زمانی که حد در مبدأ گرفته می شود. برای z در امتداد خط حقیقی،{\displaystyle {\bar {z}}=z}به طوری که{\displaystyle d{\bar {z}}/dz=1}. به طور مشابه برای z موهومی محض داریم{\displaystyle d{\bar {z}}/dz=-1}به طوری که ارزش{\displaystyle d{\bar {z}}/dz}در مبدا به خوبی تعریف نشده است. تأیید آن آسان است{\displaystyle d{\bar {z}}/dz}در هر z مختلط به خوبی تعریف نشده است ، بنابراین f در z 0 متمایزپذیر است اگر و فقط اگر{\displaystyle \left(\partial f/\partial {\bar {z}}\right)=0}درz=z_{0}. اما این دقیقا معادلات کوشی-ریمان است، بنابراین f در z 0 قابل تفکیک است اگر و فقط اگر معادلات کوشی-ریمان روی  z 0 باشد.

استقلال مزدوج مختلط [ ویرایش ]

اثبات فوق تفسیر دیگری از معادلات کوشی-ریمان را نشان می دهد. مزدوج مختلط z نشان داده شده است{\bar {z}}، توسط تعریف شده است

{\displaystyle {\overline {x+iy}}:=x-iy}

برای x و y حقیقی سپس معادلات کوشی-ریمان را می توان به صورت یک معادله نوشت

 

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0}

 

 

 

 

( 3 )

با استفاده از مشتق رایتنگر با توجه به متغیر مزدوج . در این شکل، معادلات کوشی-ریمان را می توان به این صورت تفسیر کرد که f مستقل از متغیر است.{\bar {z}}. به این ترتیب، ما می توانیم توابع تحلیلی را به عنوان توابع حقیقی یک متغیر مختلط در مقابل توابع مختلط دو متغیر حقیقی مشاهده کنیم.