ریاضیات

برای تعیین بردارهای ویژه یک ماتریس، ابتدا باید مقادیر ویژه را تعیین کنید. یک مقدار ویژه λ را در معادله 

A x = λ x 

یا به طور معادل، در

( A − λ I ) x = 0

جایگزین کنید و x را حل کنید . حل های غیرصفر حاصل ، مجموعه بردارهای ویژه A را تشکیل می دهند که مربوط به مقدار ویژه انتخاب شده است. سپس این فرآیند برای هر یک از مقادیر ویژه باقیمانده تکرار می شود.

مثال 1 : بردارهای ویژه ماتریس را تعیین کنید

در مثال 1، مقادیر ویژه این ماتریس λ = -1 و λ = -2 یافت شد. بنابراین، بردارهای غیرصفر x وجود دارند به طوری که A x = x (بردارهای ویژه مربوط به مقدار ویژه λ = -1)، و بردارهای غیرصفر x وجود دارند به طوری که A x = -2 x (بردارهای ویژه مربوط به مقدار ویژه

λ = - 2). بردارهای ویژه متناظر با مقدار ویژه λ = -1 راه حل های معادله A x = −x هستند :

این معادل جفت معادله است

که ساده می کند

[توجه داشته باشید که این معادلات مستقل نیستند. اگر آنها مستقل بودند ، فقط

( x 1 ، x 2 ) T = (0، 0) T 

آنها را راضی می کرد. این نشان می دهد که در تعیین مقادیر ویژه خطایی رخ داده است. اگر مقادیر ویژه به درستی محاسبه شوند ، باید برای هر سیستم جواب های غیر صفر وجود داشته باشد . _ _ _ . هر بردار از این قبیل دارای شکل ( x 1 , x 2 ) T است . و بنابراین مضرب بردار (1، 1) T است. در نتیجه، بردارهای ویژه A مربوط به مقدار ویژه λ = -1 دقیقاً بردارها هستند.

که در آن t هر اسکالر غیر صفر است.

بردارهای ویژه مربوط به مقدار ویژه λ = -2 راه حل های معادله A x = -2 x هستند :

این معادل "جفت" معادلات است

باز هم توجه داشته باشید که این معادلات مستقل نیستند. آنها با هر بردار

 x = ( x 1 , x 2 ) T 

که مضرب بردار (2، 3) T باشد ارضا می شوند . یعنی بردارهای ویژه A مربوط به مقدار ویژه λ = -2 بردارها هستند

که در آن t هر اسکالر غیر صفر است.

مثال 2 : ماتریس کلی 2 x 2 را در نظر بگیرید

مقادیر ویژه A را بر حسب a، b، c و d بیان کنید. اگر b = c (یعنی اگر ماتریس A متقارن باشد) در مورد مقادیر ویژه چه می توانید بگویید ؟

بررسی کنید که مجموع مقادیر ویژه برابر با مجموع ورودی های مورب در A است.

بررسی کنید که حاصل ضرب مقادیر ویژه برابر با تعیین کننده A باشد.

اگر یکی از مقادیر ویژه ماتریس 0 باشد، در مورد ماتریس A چه می توانید بگویید؟

راه حل ها به شرح زیر است:

مقادیر ویژه A با حل معادله مشخصه، det ( A - λ I ) = 0 پیدا می شود:

جواب های این معادله - که مقادیر ویژه A هستند - با استفاده از فرمول درجه دوم بدست می آیند:

تمایز در (**) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

بنابراین، اگر b = c ، ممیز ( a - d ) 2 + 4 b 2 = ( a - d ) 2 + (2 b ) 2 می شود. از مجموع دو مربع، این عبارت غیرمنفی است، بنابراین (**) نشان می دهد که مقادیر ویژه واقعی هستند. در واقع می توان نشان داد که مقادیر ویژه هر ماتریس واقعی متقارن واقعی است.

مجموع مقادیر ویژه را می توان با اضافه کردن دو مقدار بیان شده در (**) بالا پیدا کرد: 

که در واقع با مجموع ورودی های مورب A برابر است. (مجموع ورودی های مورب هر ماتریس مربع را رد ماتریس می گویند.) روش دیگر برای تعیین مجموع مقادیر ویژه و روشی که برای هر ماتریس اندازه کار می کند، بررسی معادله مشخصه است. از نظریه معادلات چند جمله ای مشخص می شود که اگر p (λ) یک چند جمله ای مونی با درجه n باشد ، مجموع ریشه های معادله p (λ) = 0 مخالف ضریب λ n- است . 1 جمله در p (λ). بنابراین مجموع ریشه های معادله (*) −[−( a + d )]= a است.+ d ، به دلخواه. از این روش دوم می توان برای اثبات اینکه مجموع مقادیر ویژه هر ماتریس (مربع) برابر با ردیابی ماتریس است استفاده کرد.

حاصل ضرب مقادیر ویژه را می توان با ضرب دو مقدار بیان شده در (**) بالا یافت: 

که در واقع برابر با تعیین کننده A است. دلیل دیگری مبنی بر اینکه حاصل ضرب مقادیر ویژه هر ماتریس (مربع) برابر با تعیین کننده آن است، به شرح زیر است. اگر A یک ماتریس nxn باشد، آنگاه چند جمله ای مشخصه آن، p (λ)، مونیکی درجه n است. بنابراین، معادله p (λ) = 0 دارای n ریشه است: λ 1 ، λ 2 ، ...، λ n (که ممکن است متمایز نباشد). اینها مقادیر ویژه هستند. در نتیجه، چند جمله‌ای p (λ) = det ( A - λI ) را می‌توان به صورت فاکتورگیری شده به صورت زیر بیان کرد:

جایگزین کردن λ = 0 در این هویت نتیجه مطلوب را به دست می دهد: det A =λ 1 , λ 2 ... λ n .

اگر 0 مقدار ویژه ماتریس A باشد ، معادله A x = λ x = 0 x = 0 باید راه حل های غیرصفری داشته باشد، که بردارهای ویژه مرتبط با λ = 0 هستند. اما اگر A مربع باشد و A x = 0 غیر صفر باشد. راه حل ها، پس A باید مفرد باشد، یعنی det A باید 0 باشد. این مشاهدات واقعیت زیر را ثابت می کند: صفر مقدار ویژه یک ماتریس است اگر و فقط اگر ماتریس مفرد باشد.

مثال 3 : مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس هویت I را بدون محاسبه معادله مشخصه آن تعیین کنید.

معادله A x = λ x مقادیر ویژه و بردارهای ویژه مربوط به هر ماتریس A را مشخص می کند. اگر A = I , این معادله x = λ x می شود . از آنجایی که x ≠ 0 , این معادله به معنای λ = 1 است. سپس، از x = 1 x ، هر بردار (غیر صفر) بردار ویژه I است. این تعریف را به خاطر بسپارید: x بردار ویژه ماتریس A است اگر A x مضربی از x و x ≠ 0 باشد. از آنجایی که ضرب در I x را باقی می گذاردبدون تغییر، هر بردار (غیر صفر) باید بردار ویژه I باشد و تنها مضرب اسکالر ممکن - مقدار ویژه - 1 است.

مثال 4 : قضیه کیلی-همیلتون بیان می کند که هر ماتریس مربع معادله مشخصه خود را برآورده می کند. یعنی اگر A دارای چند جمله‌ای مشخصه p (λ) باشد، p(A) = 0 است. برای نشان دادن، ماتریس را در نظر بگیریداز مثال 1. از آنجایی که چند جمله ای مشخصه آن p (λ) = λ 2 + 3λ + 2 است، قضیه کیلی - همیلتون بیان می کند که p(A) باید برابر با ماتریس صفر، 0 باشد. این به شرح زیر تأیید می شود: 

اگر A یک ماتریس n در n باشد، چند جمله ای مشخصه آن دارای درجه n است. سپس قضیه کیلی-همیلتون راهی برای بیان هر عدد صحیح A k بر حسب یک چند جمله ای در A با درجه کمتر از n ارائه می دهد. به عنوان مثال، برای ماتریس 2 x 2 بالا، این واقعیت که A 2 + 3 A + 2 I = 0 به معنای A 2 = -3 A - 2 I است. بنابراین، A 2 بر حسب یک چند جمله ای درجه 1 در A بیان می شود. اکنون، با اعمال مکرر، هر عدد صحیح مثبت این ماتریس 2 در 2 A را می توان به صورت چند جمله ای با درجه کمتر از 2 بیان کرد. برای نشان دادن، به محاسبه زیر برای بیان A 5 بر حسب یک چند جمله ای خطی در A توجه کنید . نکته کلیدی این است که به طور مداوم A 2 را با -3 A - 2 I جایگزین کنید و ساده کنید:

این نتیجه حاصل می شود

محاسبه ای که می توانید تأیید کنید که ضرب های مکرر را انجام می دهد

قضیه Cayley-Hamilton همچنین می تواند برای بیان معکوس یک ماتریس معکوس A به عنوان یک چند جمله ای در A استفاده شود. به عنوان مثال، برای ماتریس 2 در 2 A در بالا،

این نتیجه را می توان به راحتی تأیید کرد. معکوس یک ماتریس معکوس 2 در 2 با مبادله ورودی های روی قطر، سپس گرفتن عکس هر ورودی خارج از مورب، و در نهایت، تقسیم بر تعیین کننده A یافت می شود. از آنجایی که det A = 2،

ولی 

اعتبار عبارت در (*) برای A -1 . همان ایده هایی که برای بیان هر عدد صحیح مثبت یک n با n ماتریس A بر حسب چند جمله ای درجه کمتر از n استفاده می شود، می تواند برای بیان هر عدد صحیح منفی (یک ماتریس معکوس) A بر حسب چنین چند جمله ای نیز استفاده شود. .

مثال 5 : فرض کنید A یک ماتریس مربع باشد. مقادیر ویژه و بردارهای ویژه مربوط به A 2 چگونه با A مقایسه می شوند ؟ با فرض اینکه A معکوس است، مقادیر ویژه و بردارهای ویژه مربوط به A -1 چگونه با مقادیر ویژه A مقایسه می شوند ؟

فرض کنید λ یک مقدار ویژه از ماتریس A باشد و x یک بردار ویژه مربوطه باشد. سپس A x = λ x ، و از این معادله نتیجه می شود که

بنابراین، λ 2 یک مقدار ویژه از A 2 است، و x بردار ویژه مربوطه است. حال، اگر A معکوس باشد، A هیچ مقدار ویژه ای ندارد و محاسبات زیر توجیه می شوند:

بنابراین λ -1 یک مقدار ویژه از A -1 با بردار ویژه x مربوطه است.

https://www.cliffsnotes.com/study-guides/algebra/linear-algebra/eigenvalues-and-eigenvectors/determining-the-eigenvectors-of-a-matrix