​

مقایسه با نظریه پائولی [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: معادله پائولی

ضرورت معرفی اسپین نیمه صحیح به صورت تجربی به نتایج آزمایش استرن-گرلاخ برمی گردد . یک پرتو از اتم ها از طریق یک میدان مغناطیسی ناهمگن قوی عبور می کند ، که سپس بسته به تکانه زاویه ای ذاتی اتم ها به N قسمت تقسیم می شود. مشخص شد که برای اتم‌های نقره ، پرتو به دو قسمت تقسیم شده است - بنابراین حالت پایه نمی‌تواند عدد صحیح باشد ، زیرا حتی اگر تکانه زاویه‌ای ذاتی اتم‌ها تا حد امکان کوچک باشد، 1، پرتو به سه قسمت تقسیم می‌شود. ، مربوط به اتم های با L z = -1، 0، +1. نتیجه این است که اتم های نقره دارای تکانه زاویه ای خالص 1/2 هستند . پائولی نظریه ای را ارائه داد که این تقسیم را با معرفی یک تابع موج دو جزئی و یک عبارت تصحیح متناظر در همیلتونی توضیح داد که نشان دهنده یک جفت نیمه کلاسیک این تابع موج با یک میدان مغناطیسی کاربردی است، همانطور که در واحدهای SI نیز وجود دارد : که کاراکترهای پررنگ دلالت بر بردارهای اقلیدسی در 3  بعد دارند ، در حالی که مینکوفسکی چهار بردار A μ را می توان به صورت تعریف کرد. {\displaystyle A_{\mu }=(\phi /c,-\mathbf {A} )}.)

{\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\right)^ {2}+e\phi ~.}

در اینجا A و\phiمؤلفه های چهار پتانسیل الکترومغناطیسی را در واحدهای SI استاندارد آنها نشان می دهد و سه سیگما ماتریس های پائولی هستند . با مجذور کردن عبارت اول، یک برهمکنش باقیمانده با میدان مغناطیسی، همراه با همیلتونین کلاسیک معمول یک ذره باردار که با یک میدان اعمال شده در واحدهای SI برهمکنش می‌کند، پیدا می‌شود :

{\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)^{2}+e\phi -{\frac {e\hbar } {2m}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} ~.}

این همیلتون اکنون یک ماتریس 2×2 است، بنابراین معادله شرودینگر بر اساس آن باید از یک تابع موج دو جزئی استفاده کند. با وارد کردن پتانسیل 4 بردار الکترومغناطیسی خارجی در معادله دیراک به روشی مشابه که به عنوان جفت حداقل شناخته می شود ، به شکل زیر در می آید:

{\displaystyle \left(\gamma ^{\mu }(i\hbar \partial _{\mu }-eA_{\mu })-mc\right)\psi =0~.}

کاربرد دوم عملگر دیراک اکنون عبارت پائولی را دقیقاً مانند قبل بازتولید می‌کند، زیرا ماتریس‌های دیراک فضایی ضرب در i ، همان ویژگی‌های مربع‌سازی و کموتاسیون ماتریس‌های پائولی را دارند. علاوه بر این، ارزش نسبت ژیرو مغناطیسی الکترون که در مقابل اصطلاح جدید پائولی قرار دارد، از اصول اولیه توضیح داده شده است. این یک دستاورد بزرگ معادله دیراک بود و به فیزیکدانان ایمان زیادی به صحت کلی آن داد. با این حال بیشتر وجود دارد. نظریه پائولی را می توان به عنوان حد انرژی پایین نظریه دیراک به شکل زیر در نظر گرفت. ابتدا معادله به شکل معادلات جفت شده برای 2 اسپینور با واحدهای SI بازیابی شده نوشته می شود:

{\displaystyle {\begin{pmatrix}mc^{2}-E+e\phi &c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\ \-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)&mc^{2}+Ee\phi \end{pmatrix}}{\begin{ pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}~.}

بنابراین

{\displaystyle {\begin{aligned}(Ee\phi )\psi _{+}-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right) \psi _{-}&=mc^{2}\psi _{+}\\-(Ee\phi )\psi _{-}+c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\psi _{+}&=mc^{2}\psi _{-}\end{تراز شده}}}

با فرض اینکه میدان ضعیف باشد و حرکت الکترون غیر نسبیتی باشد، انرژی کل الکترون تقریباً برابر با انرژی سکون آن است و تکانه به مقدار کلاسیک می رسد.

{\displaystyle {\begin{aligned}Ee\phi &\approx mc^{2}\\\mathbf {p} &\approx m\mathbf {v} \end{aligned}}}

و بنابراین معادله دوم ممکن است نوشته شود

{\displaystyle \psi _{-}\approx {\frac {1}{2mc}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\ psi _{+}}

که نظم داردv/ج- بنابراین در انرژی‌ها و سرعت‌های معمولی، اجزای پایینی اسپینور دیراک در نمایش استاندارد در مقایسه با اجزای بالایی بسیار سرکوب می‌شوند. جایگزینی این عبارت در معادله اول پس از مقداری بازآرایی به دست می آید

{\displaystyle \left(E-mc^{2}\right)\psi _{+}={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\ mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\right]^{2}\psi _{+}+e\phi \psi _{+}}

عملگر سمت چپ انرژی ذره ای را نشان می دهد که با انرژی استراحت آن کاهش می یابد، که فقط انرژی کلاسیک است، بنابراین اگر 2 اسپینر او را با اجزای بالای اسپینور دیراک در تقریب غیر نسبیتی شناسایی کنیم، نظریه پائولی را بازیابی می کنیم. یک تقریب بیشتر معادله شرودینگر را به عنوان حد نظریه پائولی نشان می دهد. بنابراین، معادله شرودینگر ممکن است به عنوان تقریب غیر نسبیتی بسیار معادله دیراک دیده شود، زمانی که ممکن است از چرخش غفلت شود و فقط در انرژی ها و سرعت های پایین کار کند. این همچنین یک پیروزی بزرگ برای معادله جدید بود، زیرا i مرموز را ردیابی کردکه در آن ظاهر می شود، و لزوم یک تابع موج پیچیده، به هندسه فضازمان از طریق جبر دیراک بازمی گردد. همچنین نشان می‌دهد که چرا معادله شرودینگر، اگرچه به صورت سطحی به شکل یک معادله انتشار است ، اما در واقع انتشار امواج را نشان می‌دهد.

باید به شدت تاکید کرد که این جداسازی اسپینور دیراک به اجزای بزرگ و کوچک به طور واضح به یک تقریب کم انرژی بستگی دارد. کل اسپینور دیراک نمایانگر یک کل تقلیل ناپذیر است، و اجزایی که ما به تازگی از رسیدن به نظریه پائولی غفلت کرده‌ایم، پدیده‌های جدیدی را در رژیم نسبیتی به ارمغان می‌آورند - ضد ماده و ایده ایجاد و نابودی ذرات.

مقایسه با نظریه ویل [ ویرایش ]

در حد m → 0 ، معادله دیراک به معادله ویل کاهش می‌یابد، که ذرات نسبیتی بدون جرم اسپین 1 ⁄ 2 را توصیف می‌کند. [7]

دیراک لاگرانژیان [ ویرایش ]

هم معادله دیراک و هم معادله دیراک الحاقی را می توان از (تغییر) کنش با چگالی لاگرانژی خاص به دست آورد که به وسیله:

{\mathcal {L}}=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }} \psi

اگر این مقدار را نسبت به ψ تغییر دهیم، معادله دیراک الحاقی به دست می آید. در همین حال، اگر این را نسبت به ψ تغییر دهیم، معادله دیراک به دست می آید.

تفسیر فیزیکی [ ویرایش ]

شناسایی قابل مشاهده ها [ ویرایش ]

سوال فیزیکی حیاتی در یک نظریه کوانتومی این است: کمیت های قابل مشاهده فیزیکی که توسط این نظریه تعریف شده است چیست؟ طبق فرضیه های مکانیک کوانتومی، چنین کمیت هایی توسط عملگرهای هرمیتی تعریف می شوند که در فضای هیلبرت حالت های ممکن یک سیستم عمل می کنند. سپس مقادیر ویژه این عملگرها نتایج احتمالی اندازه گیری کمیت فیزیکی متناظر هستند. در تئوری شرودینگر، ساده‌ترین شیء همیلتونی کلی است که انرژی کل سیستم را نشان می‌دهد. اگر بخواهیم این تفسیر را در گذر به نظریه دیراک حفظ کنیم، باید همیلتونی را به عنوان

{\displaystyle H=\gamma ^{0}\left[mc^{2}+c\gamma ^{k}\left(p_{k}-qA_{k}\right)\right]+cqA^{0 }.}

جایی که، مثل همیشه، یک جمع ضمنی بر روی شاخص دو بار تکرار شده k = 1، 2، 3 وجود دارد. این امیدوار کننده به نظر می رسد، زیرا ما با بررسی انرژی استراحت ذره و در مورد A = 0 ، انرژی باری که در پتانسیل الکتریکی cqA 0 قرار می گیرد، می بینیم . در مورد اصطلاح مربوط به پتانسیل برداری چطور؟ در الکترودینامیک کلاسیک، انرژی باری که در یک پتانسیل اعمال شده حرکت می کند، می باشد

{\displaystyle H=c{\sqrt {\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)^{2}+m^{2}c^{2}}}+qA^{0 }.}

بنابراین، دیراک همیلتونین اساساً از همتای کلاسیک خود متمایز است، و ما باید دقت زیادی داشته باشیم تا آنچه را که در این نظریه قابل مشاهده است به درستی شناسایی کنیم. بسیاری از رفتارهای به ظاهر متناقض که معادله دیراک بیان می‌کند، به معنای شناسایی نادرست این مشاهدات است. [ نیازمند منبع ]

نظریه حفره [ ویرایش ]

راه حل های E منفی معادله مشکل ساز هستند، زیرا فرض می شد که ذره دارای انرژی مثبت است. با این حال، از نظر ریاضی، به نظر می رسد دلیلی برای رد راه حل های انرژی منفی وجود ندارد. از آنجایی که آنها وجود دارند، نمی‌توانیم به سادگی آنها را نادیده بگیریم، زیرا به محض اینکه تعامل بین الکترون و میدان الکترومغناطیسی را در نظر بگیریم، هر الکترونی که در یک حالت ویژه انرژی مثبت قرار می‌گیرد به حالت‌های ویژه انرژی منفی با انرژی متوالی کمتر تجزیه می‌شود. واضح است که الکترون‌های واقعی به این شکل رفتار نمی‌کنند، وگرنه با انتشار انرژی به شکل فوتون ناپدید می‌شوند .

دیراک برای رویارویی با این مشکل، این فرضیه را مطرح کرد که به نظریه حفره معروف است ، که خلاء حالت کوانتومی چند جسمی است که در آن تمام حالت های ویژه الکترون با انرژی منفی اشغال شده است. این توصیف از خلاء به عنوان "دریایی" از الکترون ها، دریای دیراک نامیده می شود . از آنجایی که اصل طرد پاولی ، الکترون‌ها را از اشغال یک حالت منع می‌کند، هر الکترون اضافی مجبور می‌شود یک حالت ویژه با انرژی مثبت را اشغال کند، و الکترون‌های انرژی مثبت از واپاشی به حالت‌های ویژه انرژی منفی منع می‌شوند.

اگر الکترون از اشغال همزمان حالت‌های ویژه با انرژی مثبت و انرژی منفی منع شود، ویژگی شناخته شده به عنوان Zitterbewegungکه از تداخل حالت‌های انرژی مثبت و انرژی منفی ناشی می‌شود، باید به عنوان یک پیش‌بینی غیرفیزیکی نظریه دیراک وابسته به زمان در نظر گرفته شود. این نتیجه را می توان از توضیح نظریه حفره که در پاراگراف قبل ارائه شد استنباط کرد. نتایج اخیر در Nature [R. Gerritsma, G. Kirchmair, F. Zaehringer, E. Solano, R. Blatt, and C. Roos, Nature 463, 68-71 (2010)] که در آن ویژگی Zitterbewegung در یک آزمایش یون به دام افتاده شبیه سازی شد. این آزمایش بر تفسیر حفره تأثیر می گذارد اگر استنباط کنیم که آزمایش فیزیک-آزمایشگاه صرفاً بررسی درستی ریاضی یک راه حل معادله دیراک نیست، بلکه اندازه گیری یک اثر واقعی است که قابلیت تشخیص آن در فیزیک الکترون هنوز از دسترس خارج است.

دیراک همچنین استدلال کرد که اگر حالت های ویژه انرژی منفی به طور ناقص پر شوند، هر حالت ویژه اشغال نشده - که یک سوراخ نامیده می شود - مانند یک ذره با بار مثبت رفتار می کند. سوراخ دارای انرژی مثبت است زیرا برای ایجاد یک جفت ذره-حفره از خلاء به انرژی نیاز است. همانطور که در بالا ذکر شد، دیراک در ابتدا فکر می کرد که سوراخ ممکن است پروتون باشد، اما هرمان ویل اشاره کرد که حفره باید به گونه ای رفتار کند که انگار جرم یک الکترون دارد، در حالی که پروتون بیش از 1800 برابر سنگین تر است. این سوراخ در نهایت به عنوان پوزیترون شناخته شد که به طور تجربی توسط کارل اندرسون در سال 1932 کشف شد.

توصیف "خلاء" با استفاده از دریای نامتناهی از الکترون های انرژی منفی کاملاً رضایت بخش نیست. سهم منفی بی‌نهایت از دریای الکترون‌های انرژی منفی باید با یک انرژی «لخت» مثبت بی‌نهایت خنثی شود و سهم در چگالی بار و جریانی که از دریای الکترون‌های انرژی منفی می‌آید دقیقاً با یک مثبت بی‌نهایت خنثی می‌شود. پس زمینه ژله به طوری که چگالی بار الکتریکی خالص خلاء صفر باشد. در نظریه میدان کوانتومی ، تبدیل بوگولیوبوف بر روی عملگرهای ایجاد و نابودی(تبدیل یک حالت الکترونی با انرژی منفی اشغال شده به یک حالت پوزیترون انرژی مثبت اشغال نشده و یک حالت الکترون انرژی منفی اشغال نشده به یک حالت پوزیترون انرژی مثبت اشغال شده) به ما امکان می دهد فرمالیسم دریای دیراک را دور بزنیم، حتی اگر به طور رسمی، معادل آن باشد. .

با این حال، در کاربردهای خاصی از فیزیک ماده متراکم ، مفاهیم زیربنایی "نظریه حفره" معتبر هستند. دریای الکترون‌های رسانا در یک رسانای الکتریکی به نام دریای فرمی ، حاوی الکترون‌هایی با انرژی تا پتانسیل شیمیایی سیستم است. حالت پر نشده در دریای فرمی مانند یک الکترون با بار مثبت رفتار می‌کند، اگرچه به جای «پوزیترون» به آن «حفره» می‌گویند. بار منفی دریای فرمی توسط شبکه یونی با بار مثبت مواد متعادل می شود.

در نظریه میدان کوانتومی [ ویرایش ]

همچنین ببینید: میدان فرمیونی

در تئوری های میدان کوانتومی مانند الکترودینامیک کوانتومی ، میدان دیراک در معرض فرآیند کوانتیزه دوم است که برخی از ویژگی های متناقض معادله را حل می کند.

کوواریانس لورنتز معادله دیراک [ ویرایش ]

معادله دیراک کواریانت لورنتس است . بیان این نه تنها معادله دیراک، بلکه مایورانا اسپینور و الکو اسپینور را نیز روشن می کند ، که اگرچه ارتباط نزدیکی دارند، اما تفاوت های ظریف و مهمی دارند.

درک کوواریانس لورنتس با در نظر گرفتن ویژگی هندسی فرآیند ساده می شود. [8] اجازه دهیدآیک نقطه ثابت در منیفولد فضازمان باشد . مکان آن را می توان در سیستم های مختصات متعدد بیان کرد . در ادبیات فیزیک، اینها به صورت نوشته شده استایکس و x^{\prime}، با این درک که هر دو ایکس و x^{\prime}همین نکته را توصیف کنیدآ، اما در چارچوب های مرجع محلی مختلف (یک چارچوب مرجع روی یک تکه کوچک گسترده از فضازمان). می توان تصور کردآبه عنوان داشتن فیبری از قاب های مختصات مختلف در بالای آن. در اصطلاح هندسی، می‌توان گفت که فضازمان را می‌توان به‌عنوان یک بسته فیبر ، و به طور خاص، بسته‌بندی قاب توصیف کرد. تفاوت بین دو نقطهایکس و x^{\prime}در همان فیبر ترکیبی از چرخش و تقویت لورنتس است. انتخاب قاب مختصات یک بخش (محلی) از طریق آن بسته است.

همراه با بسته نرم افزاری قاب، بسته نرم افزاری دوم، بسته نرم افزاری اسپینور است . بخشی از بسته اسپینور فقط میدان ذره است (در مورد فعلی اسپینور دیراک). نقاط مختلف در فیبر اسپینور با یک جسم فیزیکی مشابه (فرمیون) مطابقت دارد، اما در فریم های مختلف لورنتس بیان می شود. بدیهی است که دسته فریم و دسته اسپینور باید به روشی ثابت به هم گره بخورند تا نتایج ثابتی به دست آید. به طور رسمی، یکی می گوید که باندل اسپینور همان بسته نرم افزاری است . آن را به یک بسته اصلی مرتبط است ، که در مورد حاضر بسته نرم افزاری فریم است. تفاوت بین نقاط روی فیبر مربوط به تقارن سیستم است. بسته نرم افزاری اسپینور دو مولد متمایز از تقارن های خود دارد:تکانه زاویه ای کل و تکانه زاویه ای ذاتی . هر دو با تبدیل های لورنتس مطابقت دارند، اما به روش های مختلف.

ارائه در اینجا از ایتزیکسون و زوبر پیروی می کند. [9] این بسیار شبیه به Bjorken و Drell است. [10] یک اشتقاق مشابه در یک محیط نسبیتی عام را می توان در واینبرگ یافت. [11] تحت تحول لورنتس {\displaystyle x\mapsto x^{\prime },} چرخش دیراک برای تبدیل به عنوان

{\displaystyle \psi ^{\prime }(x^{\prime })=S\psi (x)}

می توان نشان داد که یک عبارت صریح برای اس از رابطه زیر بدست می آید

{\displaystyle S=\exp \left({\frac {-i}{4}}\omega ^{\mu \nu }\sigma _{\mu \nu }\right)}

جایی که {\displaystyle \omega ^{\mu \nu }}تبدیل لورنتس را پارامتر می کند و{\displaystyle \sigma _{\mu \nu }}ماتریس 4×4 است

{\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }={\frac {i}{2}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]~.}

این ماتریس را می توان به عنوان تکانه زاویه ای ذاتی میدان دیراک تفسیر کرد. این که سزاوار این تفسیر است، از تقابل آن با مولد ناشی می شود{\displaystyle J_{\mu \nu }}تبدیلات لورنتز ، دارای شکل

{\displaystyle J_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\sigma _{\mu \nu }+i(x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\جزئی _{\mu })}

این را می توان به عنوان تکانه زاویه ای کل تفسیر کرد . در میدان اسپینور به عنوان عمل می کند

{\displaystyle \psi ^{\prime }(x)=\exp \left({\frac {-i}{2}}\omega ^{\mu \nu }J_{\mu \nu }\right)\ psi (x)}

توجه داشته باشید کهایکسدر بالا علامت اول وجود ندارد : موارد فوق با تبدیل به دست می آیند{\displaystyle x\mapsto x^{\prime }}به دست آوردن تغییر به{\displaystyle \psi (x)\mapsto \psi ^{\prime }(x^{\prime })}و سپس به سیستم مختصات اصلی باز می گردد{\displaystyle x^{\prime }\mapsto x}.

تفسیر هندسی موارد فوق این است که فیلد فریم افین است و منشا ترجیحی ندارد. ژنراتور{\displaystyle J_{\mu \nu }}تقارن‌های این فضا را ایجاد می‌کند: نشان‌گذاری مجدد یک نقطه ثابت را فراهم می‌کند{\displaystyle x~.}ژنراتور{\displaystyle \sigma _{\mu \nu }}حرکتی از یک نقطه در فیبر به نقطه دیگر ایجاد می کند: حرکتی از{\displaystyle x\mapsto x^{\prime }}با هر دوایکس و x^{\prime} همچنان با همان نقطه فضازمان مطابقت دارد آ. این اظهارات شاید مبهم را می توان با جبر صریح روشن کرد.

اجازه دهیدx^\prime = \لامبدا xتبدیل لورنتس باشد. معادله دیراک است

{\displaystyle i\gamma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi (x)-m\psi (x)=0}

اگر قرار است معادله دیراک کوواریانت باشد، در تمام فریم های لورنتس باید دقیقاً یک شکل باشد:

{\displaystyle i\gamma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi ^{\prime }(x^{\prime })-m\psi ^{\prime }(x^{\prime })=0}

دو اسپینور \psi و {\displaystyle \psi ^{\prime }}هر دو باید میدان فیزیکی یکسانی را توصیف کنند، و بنابراین باید با تبدیلی مرتبط شوند که هیچ گونه مشاهده‌پذیر فیزیکی (بار، جریان، جرم و غیره ) را تغییر نمی‌دهد. تبدیل باید فقط تغییر قاب مختصات را رمزگذاری کند. می توان نشان داد که چنین تبدیلی یک ماتریس واحد 4×4 است . بنابراین، ممکن است فرض شود که رابطه بین دو فریم را می توان به صورت نوشتاری نوشت

{\displaystyle \psi ^{\prime }(x^{\prime })=S(\Lambda )\psi (x)}

با وارد کردن این در معادله تبدیل شده، نتیجه می شود

{\displaystyle i\gamma ^{\mu }{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{ \nu }}}S(\Lambda )\psi (x)-S(\Lambda )\psi (x)=0}

تبدیل لورنتس است

{\displaystyle {\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}}={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }} _{\mu }}

سپس معادله دیراک اصلی دوباره بدست می آید اگر

{\displaystyle S(\Lambda )\gamma ^{\mu }S^{-1}(\Lambda )={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu }\گاما ^{\nu }}

یک عبارت صریح برایS(\Lambda)(برابر عبارت بالا) را می توان با در نظر گرفتن تبدیل لورنتس بی نهایت کوچک به دست آورد.

{\displaystyle {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }={g^{\mu }}_{\nu }+{\omega ^{\mu }}_{\nu }}

جایی که g_{\mu \nu }تانسور متریک است و\omega_{\mu\nu}ضد متقارن است پس از وصل و چنگ زدن، فرد به دست می آید

{\displaystyle S(\Lambda )=I+{\frac {-i}{4}}\omega ^{\mu \nu }\sigma _{\mu \nu }+{\mathcal {O}}\left( \لامبدا ^{2}\راست)}

که شکل (بی نهایت کوچک) برای استاسدر بالا. برای به دست آوردن برچسب آفین، بنویسید

{\displaystyle {\begin{aligned}\psi ^{\prime }(x^{\prime })&=\left(I+{\frac {-i}{4}}\omega ^{\mu \nu } \sigma _{\mu \nu }\right)\psi (x)\\&=\left(I+{\frac {-i}{4}}\omega ^{\mu \nu }\sigma _{\ mu \nu }\right)\psi (x^{\prime }+{\omega ^{\mu }}_{\nu }\,x^{\prime \,\nu })\\&=\ چپ (I+{\frac {-i}{4}}\omega ^{\mu \nu }\sigma _{\mu \nu }-x_{\mu }^{\prime }\omega ^{\mu \nu }\partial _{\nu }\right)\psi (x^{\prime })\\&=\left(I+{\frac {-i}{2}}\omega ^{\mu \nu }J_ {\mu \nu }\right)\psi (x^{\prime })\\\end{تراز شده}}}

پس از ضد تقارن مناسب، مولد تقارن ها به دست می آید{\displaystyle J_{\mu \nu }}قبلا داده شده است. بنابراین، هر دو{\displaystyle J_{\mu \nu }} و {\displaystyle \sigma _{\mu \nu }}می‌توان گفت که «مولد تبدیل‌های لورنتس» است، اما با یک تمایز ظریف: اولین مورد مربوط به علامت‌گذاری مجدد نقاط روی بسته‌بندی قاب افین است که باعث می‌شود یک ترجمه در امتداد فیبر اسپینور روی دسته چرخشی انجام شود ، در حالی که دوم مربوط به ترجمه در امتداد فیبر بسته نرم افزاری چرخشی است (که به عنوان یک حرکت گرفته می شود{\displaystyle x\mapsto x^{\prime }}در امتداد بسته نرم افزاری قاب، و همچنین یک حرکت{\displaystyle \psi \mapsto \psi ^{\prime }}در امتداد فیبر دسته اسپین.) واینبرگ استدلال های بیشتری را برای تفسیر فیزیکی آنها به عنوان تکانه زاویه ای کلی و ذاتی ارائه می کند. [12]

فرمولاسیون های دیگر [ ویرایش ]

معادله دیراک را می توان به چند روش دیگر فرموله کرد.

فضازمان منحنی [ ویرایش ]

این مقاله معادله دیراک را در فضای زمان مسطح بر اساس نسبیت خاص توسعه داده است. می توان معادله دیراک را در فضازمان منحنی فرموله کرد .

جبر فضای فیزیکی [ ویرایش ]

این مقاله معادله دیراک را با استفاده از چهار بردار و عملگرهای شرودینگر توسعه داد. معادله دیراک در جبر فضای فیزیکی از جبر کلیفورد بر روی اعداد واقعی استفاده می کند که نوعی جبر هندسی است.

همچنین مشاهده کنید [ ویرایش ]

مقالات معادله دیراک [ ویرایش ]

معادلات دیگر [ ویرایش ]

موضوعات دیگر [ ویرایش ]

 

منابع 

https://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_equation

 

​