ریاضیات

در توپولوژی، فضای توپولوژیکی به سادگی متصل (یا 1-متصل) نامیده می شود که به مسیر متصل باشد و هر مسیر بین دو نقطه بتواند به طور پیوسته تبدیل شود، در داخل فضا بماند، به هر مسیر دیگری از این قبیل در حالی که دو نقطه پایانی را حفظ کند. سوال (برای یک بحث غیررسمی به زیر مراجعه کنید). اگر یک فضا به سادگی متصل نباشد، اندازه گیری میزان عدم اتصال آن به سادگی آسان است. این کار توسط گروه بنیادی انجام می شود. از نظر آموزشی، گروه بنیادی نحوه رفتار سوراخ ها را در یک فضا اندازه گیری می کند. اگر هیچ سوراخی وجود نداشته باشد، گروه اساسی بی اهمیت است - به طور معادل، فضا به سادگی به هم متصل می شود. 1 بحث غیررسمی به طور غیررسمی، یک جسم ضخیم در فضای ما به سادگی به هم متصل می شود اگر از یک تکه تشکیل شده باشد و هیچ "سوراخ" ای نداشته باشد که تمام مسیر از آن عبور کند. به عنوان مثال، نه یک دونات و نه یک فنجان قهوه (دارای دسته) به سادگی وصل می شود، اما یک توپ لاستیکی توخالی به سادگی متصل می شود. در دو بعد، یک دایره به سادگی متصل نیست، بلکه یک دیسک و یک خط هستند. فضاهایی که به هم متصل هستند اما به سادگی به هم متصل نیستند، غیرساده متصل یا در اصطلاح قدیمی، چند برابر متصل نامیده می شوند. یک کره به سادگی متصل است، زیرا هر حلقه را می توان (روی سطح) به یک نقطه منقبض کرد. برای نشان دادن مفهوم اتصال ساده، فرض کنید یک شی را در سه بعد در نظر می گیریم. به عنوان مثال، یک شی به شکل جعبه، یک دونات، یا یک پیچ چوب پنبه. جسم را به عنوان یک آکواریوم با شکل عجیب و غریب پر از آب، با دو طرف سفت و سخت در نظر بگیرید. حالا غواصی را در نظر بگیرید که یک ریسمان بلند را برداشته و به هر شکلی که دوست دارد آن را در آب داخل آکواریوم رد می کند و سپس دو سر رشته را به هم متصل می کند تا یک حلقه بسته تشکیل شود. اکنون حلقه شروع به انقباض روی خود می کند و کوچکتر و کوچکتر می شود. (فرض کنید که حلقه به طور جادویی بهترین راه انقباض را می شناسد و اگر بتواند از لبه های ناهموار جلوگیری کند، گیر نمی کند.) اگر حلقه همیشه می تواند تا یک نقطه منقبض شود، پس فضای داخلی آکواریوم به سادگی است. متصل.

. اگر گاهی اوقات حلقه گرفتار می شود - به عنوان مثال، در اطراف سوراخ مرکزی در دونات - آنگاه جسم به سادگی متصل نمی شود. توجه داشته باشید که این تعریف تنها حفره‌های «دسته‌شکل» را رد می‌کند. یک کره (یا به طور معادل، یک توپ لاستیکی با مرکز توخالی) به سادگی متصل می شود، زیرا هر حلقه روی سطح یک کره می تواند تا یک نقطه منقبض شود، حتی اگر یک "سوراخ" در مرکز توخالی داشته باشد. شرط قوی تر، که جسم هیچ سوراخی از هر بعد نداشته باشد، انقباض پذیری نامیده می شود. 2 تعریف رسمی و فرمولاسیون معادل این مجموعه به سادگی متصل نیست زیرا دارای سه سوراخ است. یک فضای توپولوژیکی X اگر به مسیر متصل باشد، به سادگی متصل نامیده می شود و هر نقشه پیوسته f: S1 → X (که در آن S1 واحد دایره در فضای اقلیدسی 2 را نشان می دهد) را می توان به یک نقطه به معنای زیر منقبض کرد: وجود دارد. یک نقشه پیوسته F: D2 → X (که در آن D2 نشان دهنده دیسک واحد در فضای اقلیدسی 2 است) به طوری که F محدود به S1 f باشد. یک فرمول معادل این است: X به سادگی متصل است اگر و فقط اگر به مسیر متصل باشد، و هر زمان که p : [0,1] → X و q : [0,1] → X دو مسیر هستند (یعنی: پیوسته نقشه ها) با نقطه شروع و پایان یکسان (p(0) = q(0) و p(1) = q(1))، سپس p و q نسبی همتوپی {0،1} هستند. به طور شهودی، این بدان معنی است که p را می توان "به طور مستمر تغییر شکل داد" تا q را در حالی که نقاط پایانی ثابت نگه می دارد، بدست آورد. از این رو اصطلاح به سادگی متصل است: برای هر دو نقطه داده شده در X، یک و اساساً فقط یک مسیر وجود دارد که آنها را به هم متصل می کند. راه سوم برای بیان همان: X به سادگی متصل است اگر و فقط در صورتی که X به مسیر متصل باشد و گروه 1 2 4 PROPERTIES اساسی X در هر یک از نقاط آن بی اهمیت است، یعنی فقط از عنصر هویت تشکیل شده است. با این حال، فرمول دیگری اغلب در تجزیه و تحلیل پیچیده استفاده می شود: یک زیرمجموعه باز X از C به سادگی به هم متصل می شود اگر و فقط اگر X و مکمل آن در کره ریمان به هم متصل باشند. مجموعه اعداد مختلط با قسمت خیالی به شدت بزرگتر از صفر و کوچکتر از یک، مثال خوبی از یک زیرمجموعه بی کران، متصل و باز از صفحه ای را ارائه می دهد که مکمل آن متصل نیست. با این حال به سادگی متصل است.

. همچنین ممکن است شایان ذکر باشد که کاهش نیاز به اتصال X منجر به کاوش جالبی در زیر مجموعه های باز هواپیما با مکمل توسعه یافته متصل می شود. به عنوان مثال، یک مجموعه باز (نه لزوماً متصل) دقیقاً زمانی که هر یک از اجزای متصل به آن به سادگی وصل شده اند، مکمل توسعه یافته را متصل کرده است. 3 مثال یک چنبره به سادگی متصل نیست. هیچ یک از حلقه های رنگی را نمی توان بدون خروج از سطح به نقطه ای منقبض کرد. • صفحه اقلیدسی R 2 به سادگی متصل است، اما R 2 منهای مبدا (0,0) نیست. اگر n> 2 باشد، هر دو Rn و Rn منهای مبدا به سادگی متصل می شوند. • به طور مشابه: کره n بعدی Sn به سادگی متصل می شود اگر و فقط اگر n ≥ 2 باشد. • هر زیر مجموعه محدب R n به سادگی متصل است. • یک چنبره، استوانه (بیضوی)، نوار موبیوس، صفحه نمایشگر و بطری کلاین به سادگی به هم متصل نیستند. • هر فضای برداری توپولوژیکی به سادگی به هم متصل است. این شامل فضاهای Banach و فضاهای هیلبرت می شود. • برای n ≥ 2، گروه متعامد ویژه SO(n,R) به سادگی متصل نیست و گروه واحد ویژه SU(n) به سادگی متصل است. • خط طولانی L به سادگی متصل است، اما فشرده سازی آن، خط طولانی طولانی L* نیست (زیرا حتی مسیر متصل نیست).

• به طور مشابه، فشرده سازی یک نقطه ای R به سادگی متصل نیست (حتی اگر R به سادگی متصل باشد). 4 خصوصیات یک سطح (منیفولد توپولوژیکی دو بعدی) به سادگی به هم متصل می شود اگر و تنها در صورتی که متصل باشد و جنس آن 0 باشد. به طور شهودی، جنس تعداد "هان dles" سطح است. اگر یک فضای X به سادگی متصل نباشد، اغلب می توان این نقص را با استفاده از پوشش جهانی آن، یک فضای متصل ساده که به روشی خاص به X نگاشت می شود، برطرف کرد. اگر X و Y معادل هموتوپی هستند و X به سادگی متصل است، پس Y نیز همینطور است. توجه داشته باشید که تصویر یک مجموعه ساده متصل تحت یک تابع پیوسته نیازی به اتصال ساده ندارد. به عنوان مثال صفحه مختلط زیر نقشه نمایی را در نظر بگیرید: تصویر C - {0} است، که به وضوح به سادگی متصل نیست. مفهوم اتصال ساده در تحلیل مختلط به دلیل حقایق زیر مهم است: • اگر U یک زیرمجموعه باز متصل ساده از صفحه مختلط C باشد، و f: U → C یک تابع هولومورفیک است، پس f دارای یک F ضد مشتق است. U، و مقدار هر انتگرال خط در U با انتگرال f de فقط به نقاط انتهایی u و v مسیر وابسته است و می تواند به صورت F(v) - F(u) محاسبه شود. بنابراین انتگرال به مسیر خاصی که u و v را متصل می کند بستگی ندارد. • قضیه نگاشت ریمان بیان می کند که هر زیرمجموعه ساده باز و غیر خالی C (به جز خود C) معادل دیسک واحد است. مفهوم اتصال ساده نیز یک شرط حیاتی در Po است