ریاضیات

گروه‌های مرتبه 12، تا حد هم‌مورفیسم، برای اولین بار در دهه 1880 مشخص شدند: Kempe [3، صفحات 37-43] فهرستی از 5 گروه ارائه کرد و Cayley [1] چند سال بعد اشاره کرد که یکی از گروه‌های Kempe این کار را انجام داده است. منطقی نیست و گروه خاصی از دست رفته است. ما از محصولات نیمه مستقیم برای توصیف هر 5 گروه از مرتبه 12 تا ایزومورفیسم استفاده خواهیم کرد. دو تا اولی آبلی و بقیه A4، D6 و گروهی کمتر آشنا هستند

. قضیه 1. هر گروه از مرتبه 12 حاصلضرب نیمه مستقیم گروهی از مرتبه 3 و گروهی از مرتبه 4 است.

اثبات. اجازه دهید |G| = 12 = 22 · 3. یک زیرگروه 2-Sylow دارای مرتبه 4 و یک زیرگروه 3-Sylow دارای مرتبه 3 است. ما با نشان دادن G دارای یک زیرگروه عادی 2-Sylow یا یک زیرگروه عادی 3-Sylow شروع می کنیم: n2 = 1 یا n3 = 1. از قضایای Sylow، n2 | 3, n2 ≡ 1 mod 2, n3 | 4, n3 ≡ 1 mod 3. بنابراین n2 = 1 یا 3 و n3 = 1 یا 4. برای نشان دادن n2 = 1 یا n3 = 1، n3 6 = 1 را فرض کنید. سپس n3 = 4. بیایید عناصر مرتبه 3 را بشماریم. هر زیرگروه 3-Sylow دارای مرتبه 3 است، زیرگروه های مختلف 3-Sylow به طور پیش پا افتاده ای را قطع می کنند. هر یک از زیرگروه های 3-Sylow G شامل دو عنصر درجه 3 است، بنابراین تعداد عناصر در G مرتبه 3 2n3 = 8 است. این باعث می شود که 12 - 8 = 4 عنصر در G نه از مرتبه 3. A 2 -زیرگروه Sylow دارای مرتبه 4 است و هیچ عنصری از مرتبه 3 ندارد، بنابراین یک زیرگروه 2-Sylow باید 4 عنصر باقیمانده G را در نظر بگیرد. بنابراین n2 = 1 اگر n3 6 = 1 است. سپس نشان می دهیم G یک حاصلضرب نیمه مستقیم از یک است. 2-Sylow و 3-Sylow زیر گروه

فرض کنید P2 یک زیر گروه 2-Sylow و P3 یک زیرگروه 3-Sylow از G باشد. از آنجایی که P2 و P3 دارای ترتیبات نسبتاً اول هستند، P2 ∩P3 = {1} و مجموعه P2P3 = {xy : x ∈ P2, y ∈ P3 } دارای اندازه |P2||P3|/|P2 ∩P3| است = 12 = |G|، بنابراین G = P2P3. از آنجایی که P2 یا P3 در G نرمال است، G حاصلضرب نیمه مستقیم P2 و P3 است: G ∼= P2 o P3 اگر P2 CG و G ∼= P3 o P2 اگر P3 C G. 1 گروه های مرتبه 4 هم شکل به Z/ (4) یا (Z/(2))2، و گروه های مرتبه 3 نسبت به Z/(3 هموجه هستند، بنابراین هر گروه از مرتبه 12 حاصلضرب نیمه مستقیمی به شکل Z/(4) o Z/( است. 3)، (Z/(2))2 o Z/(3)، Z/(3) o Z/(4)، Z/(3) o (Z/(2))2