طیف یک حلقه

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

برای مفهوم طیف حلقه در نظریه هموتوپی، به طیف حلقه مراجعه کنید .

در جبر جابجایی ، طیف اول (یا به سادگی طیف ) یک حلقه R مجموعه ای از تمام ایده آل های اول R است و معمولا با نشان داده می شود. $\operatorname {Spec} {R}$ ; [1] در هندسه جبری ، به طور همزمان یک فضای توپولوژیکی مجهز به نوار حلقه است. ${\mathcal {O}}$ . [2]

فهرست

توپولوژی زریسکی [ ویرایش ]

برای هر I ایده آل از R ، تعریف کنید $V_{I}$ مجموعه ای از ایده آل های اصلی حاوی I . ما می توانیم یک توپولوژی قرار دهیم $\operatorname {Spec}(R)$ با تعریف مجموعه مجموعه های بسته به

$\{V_{I}\colon I{\text{ ایده‌آل }}R\} است.$

این توپولوژی توپولوژی زاریسکی نامیده می شود .

اساس برای توپولوژی ملاقات زاریسکی می توان به شرح زیر ساخته شده است. برای f ∈ R ، D f را مجموعه ای از ایده آل های اول R بدون f تعریف کنید . سپس هر D f یک زیر مجموعه باز است $\operatorname {Spec}(R)$ ، و $\{D_{f}:f\in R\}$ پایه ای برای توپولوژی زاریسکی است.

$\operatorname {Spec}(R)$ یک فضای فشرده است ، اما تقریباً هرگز هاسدورف : در واقع، حداکثر ایده‌آل در R دقیقاً نقاط بسته در این توپولوژی هستند. با همان استدلال، به طور کلی، فضای T 1 نیست . [3] با این حال، $\operatorname {Spec}(R)$ همیشه یک فضای کولموگروف است (با اصل T 0 ارضا می شود ). همچنین یک فضای طیفی است .

غلاف ها و طرح ها [ ویرایش ]

با توجه به فضا $X=\operatorname {Spec}(R)$ با توپولوژی ملاقات زاریسکی از ساختار بافه O X بر زیر مجموعه باز برجسته تعریف D F با تنظیم Γ ( D F ، O X ) = R F از محلی سازی از R با قدرت ج . می توان نشان داد که این یک B-شیف را تعریف می کند و بنابراین یک شیف را تعریف می کند. با جزئیات بیشتر، زیرمجموعه های باز متمایز پایه توپولوژی زاریسکی هستند، بنابراین برای یک مجموعه باز دلخواه U ، که به عنوان اتحادیه { D fi } i ∈ I نوشته می شود.، Γ( U , O X ) = lim i ∈ I R fi را تنظیم می کنیم . می توان بررسی کرد که این پیش شیف یک شیف است، بنابراین $\operatorname {Spec}(R)$ یک فضای حلقه دار . هر فضای حلقه ای هم شکل به یکی از این شکل ها، طرح افین نامیده می شود . طرح های کلی با چسباندن طرح های آفین به یکدیگر به دست می آیند.

به طور مشابه، برای یک ماژول M روی حلقه R ، ممکن است یک شیف تعریف کنیم ${\tilde {M}}$ بر $\operatorname {Spec}(R)$ . در زیر مجموعه های باز متمایز مجموعه Γ( D f , ${\tilde {M}}$ ) = M f ، با استفاده از محلی سازی یک ماژول . همانطور که در بالا، این ساخت و ساز به یک پیش سیف در تمام زیر مجموعه های باز گسترش می یابد $\operatorname {Spec}(R)$ و بدیهیات چسباندن را برآورده می کند. به یک شیف به این شکل، فلفل شبه منسجم می گویند .

اگر P یک نقطه در است $\operatorname {Spec}(R)$ ، این است که، یک ایده آل اول، و سپس ساقه از بافه ساختار در P برابر با محلی سازی از R در ایده آل P ، و این یک است حلقه محلی . در نتیجه، $\operatorname {Spec}(R)$ یک فضای حلقه دار محلی است .

اگر R یک دامنه انتگرال با میدان کسرهای K باشد ، می‌توانیم حلقه Γ( U , O X ) را بطور دقیق‌تر به صورت زیر توصیف کنیم. ما می گوییم که یک عنصر f در K در یک نقطه P در X منظم است اگر بتوان آن را به صورت کسری f = a / b با b نه در P نشان داد . توجه داشته باشید که این با مفهوم تابع منظم در هندسه جبری مطابقت دارد. با استفاده از این تعریف، می‌توان Γ( U ، O X را توصیف کرد) دقیقاً مجموعه عناصر K که در هر نقطه P در U منظم هستند .

دیدگاه کارکردی [ ویرایش ]

استفاده از زبان نظریه مقوله و رعایت آن مفید است $\operatorname {Spec}$ یک عمل کننده . هر هممورفیسم حلقه $f:R\to S$ یک نقشه پیوسته را القا می کند $\operatorname {Spec} (f):\operatorname {Spec} (S)\to \operatorname {Spec} (R)$ (از آنجایی که مقدمه هر ایده آل اول در $اس$ یک ایده آل اصلی در است $آر$ ). به این ترتیب، $\operatorname {Spec}$ را می توان به عنوان یک تابع متضاد از دسته حلقه های جابجایی به دسته فضاهای توپولوژیکی مشاهده کرد. علاوه بر این، برای هر نخست ${\mathfrak {p}}$ هممورفیسم $f$ به هممورفیسم ها نزول می کند

${\mathcal {O}}_{f^{-1}({\mathfrak {p}})}\to {\mathcal {O}}_{\mathfrak {p}}$

از حلقه های محلی بدین ترتیب $\operatorname {Spec}$ حتی یک تابع متناقض را از دسته حلقه های جابجایی به دسته فضاهای حلقه ای محلی تعریف می کند . در واقع این تابع جهانی است، بنابراین می توان از آن برای تعریف تابع استفاده کرد $\operatorname {Spec}$ تا ایزومورفیسم طبیعی [ نیازمند منبع ]

عامل $\operatorname {Spec}$ یک معادل متضاد بین دسته حلقه های جابجایی و دسته طرح های وابسته به دست می دهد . هر یک از این دسته ها اغلب به عنوان دسته مخالف دیگری در نظر گرفته می شوند.

انگیزه از هندسه جبری [ ویرایش ]

پس در تاریخ از به عنوان مثال، در هندسه جبری یکی از مطالعات مجموعه جبری ، زیر مجموعه یعنی K N (که در آن K یک IS میدان بسته جبری ) که به عنوان صفر مشترک از مجموعه ای از تعریف چند جمله ای در N متغیر است. اگر A چنین مجموعه جبری باشد، حلقه جابجایی R همه توابع چند جمله ای A → K در نظر گرفته می شود . حداکثر آرمان از R متناظر با نقاط (چون K است جبری بسته)، وایده آل های اول R با زیرشاخه های A مطابقت دارد (مجموعه جبری را کاهش ناپذبر یا تنوع می گویند اگر نتوان آن را به عنوان اتحاد دو زیر مجموعه جبری مناسب نوشت).

بنابراین طیف R از نقاط A به همراه عناصر برای همه زیرشاخه های A تشکیل شده است . نقاط A در طیف بسته هستند، در حالی که عناصر مربوط به زیر واریته ها دارای یک بسته هستند که از تمام نقاط و زیرشاخه های آنها تشکیل شده است. اگر فقط نقاط A را در نظر بگیریم ، یعنی حداکثر ایده‌آل در R ، آنگاه توپولوژی زاریسکی تعریف شده در بالا با توپولوژی زاریسکی تعریف شده بر روی مجموعه‌های جبری (که دقیقاً زیر مجموعه‌های جبری را مجموعه‌های بسته است) منطبق می‌کند. به طور خاص، ایده آل های حداکثر در R ، به عنوان مثال $\operatorname {MaxSpec} (R)$ همراه با توپولوژی زاریسکی، همومورف A است همچنین با توپولوژی زاریسکی.

بنابراین می توان فضای توپولوژیکی را مشاهده کرد $\operatorname {Spec}(R)$ به عنوان "غنی سازی" فضای توپولوژیکی A (با توپولوژی زاریسکی): برای هر زیر واریته A ، یک نقطه غیر بسته اضافی معرفی شده است و این نقطه زیر تنوع مربوطه را "پیگیری" می کند. یکی از این نقطه به عنوان نقطه عمومی برای زیر تنوع فکر می کند . علاوه بر این، غلاف در $\operatorname {Spec}(R)$ و توابع چند جمله ای روی A اساساً یکسان هستند. با مطالعه طیف حلقه‌های چند جمله‌ای به جای مجموعه‌های جبری با توپولوژی زاریسکی، می‌توان مفاهیم هندسه جبری را به میدان‌های بسته غیر جبری و فراتر از آن تعمیم داد و در نهایت به زبان طرح‌ها رسید .

مثالها [ ویرایش ]

طرح آفین $\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )$ از آنجایی که شیء نهایی در دسته طرح‌های افین است $\mathbb {Z}$ شی اول در دسته حلقه های جابجایی است.
طرح آفین $\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n}=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}])$ طرح آنالوگ نظری است $\mathbb {C} ^{n}$ . از منظر تابع نقاط، یک نقطه $(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {C} ^{n}$ را می توان با مورفیسم ارزیابی شناسایی کرد $\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]{\xrightarrow {ev_{(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}}\ mathbb {C}$ . این مشاهدات اساسی به ما امکان می دهد تا به طرح های وابسته دیگر معنا دهیم.
$\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y]/(xy))$ از نظر توپولوژیکی مانند تقاطع عرضی دو صفحه پیچیده در یک نقطه به نظر می رسد، اگرچه معمولاً این به عنوان یک تصویر نشان داده می شود. $+$ از آنجایی که تنها مورفیسم به خوبی تعریف شده است $\mathbb {C}$ مورفیسم های ارزیابی مرتبط با نقاط هستند $\{(\alpha _{1},0),(0,\alpha _{2}):\alpha _{1},\alpha _{2}\in \mathbb {C} \}$ .
طیف اول یک حلقه بولی (به عنوان مثال، حلقه تنظیم قدرت ) یک فضای فشرده (هاسدورف) است . [4]
(M. Hochster) یک فضای توپولوژیکی به طیف اول یک حلقه جابجایی (یعنی یک فضای طیفی ) همومورف است اگر و فقط اگر شبه فشرده، شبه جدا شده و هوشیار باشد. [5]