​

نظریه [ ویرایش ]

قضیه ساختار برای حلقه های نوترین جابجایی [ ویرایش ]

بیش از یک حلقه نوترین جایگزین آر، هر مدول تزریقی مجموع مستقیمی از مدول های تزریقی تجزیه ناپذیر است و هر مدول تزریقی تجزیه ناپذیر بدنه تزریقی میدان باقیمانده در یک نقطه اولیه است. {\mathfrak {p}}. یعنی برای تزریق{\displaystyle I\in {\text{Mod}}(R)} ، یک ایزومورفیسم وجود دارد

{\displaystyle I\cong \bigoplus _{i}E(R/{\mathfrak {p}}_{i})}

جایی که {\displaystyle E(R/{\mathfrak {p}}_{i})} بدنه تزریقی مدول ها هستند {\displaystyle R/{\mathfrak {p}}_{i}}. [5] علاوه بر این، اگرمن بدنه تزریقی یک مدول است م سپس {\mathfrak {p}}_{i} اعداد اول مرتبط هستند م. [2]

زیر مدول ها، ضرایب، ضرب ها و مجموع [ ویرایش ]

هر ضربی از مدول های تزریقی (حتی بی نهایت زیاد) تزریقی است. برعکس، اگر یک ضرب مستقیم از مدول ها تزریقی باشد، آنگاه هر مدول تزریقی است ( لام 1999 ، ص 61). هر مجموع مستقیم از تعداد محدودی از مدول های تزریقی، تزریقی است. به طور کلی، مدول‌های فرعی، مدول‌های عامل یا مجموع مستقیم بی‌نهایت مدول‌های تزریقی نیازی به تزریقی ندارند. هر زیرمدول از هر مدول تزریقی تزریقی است اگر و تنها اگر حلقه است ARTINIAN SEMISIMPLE ( جولان و رئیس 1،991 ، ص 152.)؛ هر مدول عاملی از هر مدول تزریقی تزریقی است اگر و فقط اگر حلقه ارثی باشد ( لام 1999، Th. 3.22)؛ هر مجموع بی نهایت مستقیم از مدول های تزریقی، اگر و فقط اگر حلقه نوترین باشد ، تزریقی است ( لام 1999 ، Th 3.46). [6]

معیار بائر [ ویرایش ]

در مقاله اصلی بائر، او ثابت کرد در نتیجه مفید، معمولا به عنوان معیار بائر شناخته شده است، برای چک کردن اینکه آیا یک مدول تزریقی است: یک چپ R -module Q تزریقی است اگر و تنها اگر هر همریخت گرم  : I → Q در تعریف ایده آل چپ من از R را می توان به همه R گسترش داد .

با استفاده از این معیار، می توان نشان داد که Q یک گروه جابجایی تزریقی است (یعنی یک مدول تزریقی روی Z ). به طور کلی تر، یک گروه آبلی، اگر و تنها در صورتی که قابل تقسیم باشد، تزریقی است . به طور کلی تر: یک مدول روی یک دامنه ایده آل اصلی تزریقی است اگر و فقط اگر قابل تقسیم باشد (مورد فضاهای برداری نمونه ای از این قضیه است، زیرا هر میدان یک دامنه ایده آل اصلی است و هر فضای برداری قابل تقسیم است). در مورد یک دامنه انتگرال کلی، ما هنوز یک مفهوم داریم: هر مدول تزریقی روی یک دامنه انتگرال قابل تقسیم است.

معیار بائر شده است در بسیاری جهات (تصفیه شده جولان و رئیس 1،991 ، ص 119)، از جمله یک نتیجه از ( اسمیت 1981 ) و ( Vamos در 1983 ) که برای یک حلقه نوتری مبادلهای، کافی است به در نظر گرفتن تنها ایده آل های اول من . معیار دوگانه بائر، که آزمونی برای فرافکنی می دهد، به طور کلی نادرست است. به عنوان مثال، Z- module Q معیار دوگانه بئر را برآورده می کند اما تصویری نیست.

مولدهای همزمان تزریقی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: کوژنراتور تزریقی

شاید مهمترین مدول تزریقی گروه آبلیان Q / Z باشد. این یک تولیدکننده همزمان تزریقی در دسته گروه های آبلی است ، به این معنی که تزریقی است و هر مدول دیگری در یک ضرب مناسب بزرگ از کپی های Q / Z موجود است . بنابراین به طور خاص، هر گروه آبلی یک زیر گروه از یک گروه تزریقی است. بسیار قابل توجه است که این موضوع در مورد هر حلقه ای نیز صادق است: هر مدول یک زیرمدول از یک مدول تزریقی است، یا "دسته مدول های R سمت چپ دارای تزریق کافی است." برای اثبات این موضوع، از ویژگی های عجیب گروه آبلیان Q / Z استفاده می شودبرای ساخت یک هم ژنراتور تزریقی در دسته مدول های R چپ .

برای یک مدول R سمت چپ M ، به اصطلاح "مدول کاراکتر" M + = Hom Z ( M ، Q / Z ) یک مدول R راست است که دوگانگی جالبی را نشان می دهد، نه بین مدول های تزریقی و مدول های تصویری ، بلکه بین مدول ها . مدول های تزریقی و مدول های مسطح ( Enochs & Jenda 2001 ، pp. 78-80) . برای هر حلقه R ، یک مدول R چپ صاف است اگر و فقط اگر مدول کاراکتر آن تزریقی باشد. اگر R نوترین چپ باشد، یک R چپ-مدول تزریقی است اگر و تنها در صورتی که مدول کاراکتر آن مسطح باشد.

بدنه تزریقی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: بدنه تزریقی

بدنه تزریقی از یک مدول کوچکترین مدول تزریقی حاوی یک داده شده است و در (شرح داده شد Eckmann در و Shopf 1953 ) .

می توان از بدنه های تزریقی برای تعریف حداقل وضوح تزریق استفاده کرد (به زیر مراجعه کنید). اگر هر عبارت تفکیک پذیری، بدنه تزریقی هسته کوکرنل نقشه قبلی باشد، پس وضوح تزریقی حداقل طول دارد.

قطعنامه های تزریقی [ ویرایش ]

هر مدول M همچنین دارای وضوح تزریقی است : دنباله ای دقیق از فرم

0 → M → I 0 → I 1 → I 2 → ...

که در آن I j مدول های تزریقی هستند. رزولوشن های تزریقی را می توان برای تعریف تابع های مشتق شده مانند تابع Ext استفاده کرد .

طول یک قطعنامه تزریقی محدود اولین شاخص N به طوری که من نفر غیر صفر است و من من  = 0 برای من بیشتر از N . اگر یک مدول M یک وضوح تزریقی محدود را بپذیرد، حداقل طول در بین تمام وضوح های تزریقی محدود M بعد تزریقی آن نامیده می شود و id ( M ) نشان داده می شود . اگر M تفکیک پذیری متناهی را قبول نکند، بنابر قرارداد، بعد تزریقی نامحدود است. ( Lam 1999 ، §5C) به عنوان مثال، یک مدول M را به گونه ای در نظر بگیرید که id(M ) = 0. در این وضعیت، دقت دنباله 0 → M → I 0 → 0 نشان می دهد که فلش در مرکز یک هم شکلی است و از این رو M خود تزریقی است. [7]

به طور معادل، بعد تزریقی M حداقل عدد صحیح است (اگر چنین باشد، در غیر این صورت ∞) n به طوری که ExtN
A(–، M ) = 0 برای همه N > n .

تجزیه ناپذیر [ ویرایش ]

هر زیرمدول تزریقی یک مدول تزریقی یک جمع مستقیم است، بنابراین مهم است که مدول های تزریقی تجزیه ناپذیر را درک کنیم ( Lam 1999 ، §3F).

هر مدول تزریقی تجزیه ناپذیر دارای یک حلقه آندومورفیسم محلی است . اگر هر دو زیرمدول غیر صفر دارای تقاطع غیر صفر باشند، یک مدول یک مدول یکنواخت نامیده می شود. برای یک مدول تزریقی M موارد زیر معادل هستند:

  • M تجزیه ناپذیر است
  • M غیر صفر است و بدنه تزریقی هر زیرمدول غیر صفر است
  • M یکنواخت است
  • M بدنه تزریقی یک مدول یکنواخت است
  • M بدنه تزریقی یک مدول چرخه ای یکنواخت است
  • M یک حلقه آندومورفیسم موضعی دارد

در یک حلقه نوتر، هر مدول تزریقی مجموع مستقیم مدول های تزریقی غیرقابل تجزیه (به طور منحصر به فرد تعیین شده) است. بر روی یک حلقه نوترین جابجایی، این درک به ویژه خوبی از همه مدول های تزریقی، که در ( Matlis 1958 ) توضیح داده شده است، می دهد . مدول های تزریقی تجزیه ناپذیر بدنه های تزریقی مدول های R / p برای p ایده آل اصلی حلقه R هستند . علاوه بر این، بدنه تزریقی M از R / p دارای فیلتراسیون فزاینده ای توسط مدول های M n است که توسط نابودگرهای ایده آل p n و M n +1 / ارائه شده است.M n به عنوان فضای برداری محدود بعدی بر روی میدان ضریب k ( p ) از R / p تا Hom R / p ( p n / p n +1 , k ( p ) هم شکل است.

تغییر حلقه ها [ ویرایش ]

مهم است که بتوان مدول ها را روی حلقه های فرعی یا حلقه های ضریب در نظر گرفت ، به ویژه برای مثال حلقه های چند جمله ای . به طور کلی، این دشوار است، اما تعدادی از نتایج شناخته شده است، ( لام 1999 ، ص 62).

فرض کنید S و R حلقه‌هایی باشند، و P یک دو مدول چپ- R ، راست- S باشد که به عنوان یک مدول R چپ ، مسطح است . برای هر مدول S راست تزریقی M , مجموعه هممورفیسم های مدول Hom S ( P , M ) یک مدول R راست تزریقی است . به عنوان مثال، اگر R زیرشاخه ای از S باشد به طوری که S یک مدول R مسطح باشد، آنگاه هر مدول S تزریقی یک R تزریقی است.-مدول. به ویژه، اگر R یک دامنه جدایی ناپذیر است و S آن میدان کسرهای ، سپس هر فضای برداری بر S تزریقی است R -module. به طور مشابه، هر مدول R [ x ] تزریقی یک مدول R تزریقی است .

برای حلقه های ضریب R / I ، تغییر حلقه ها نیز بسیار واضح است. R -module یک IS R / من دقیقا -module زمانی که آن را توسط هلاک من . زیرمدول ان من ( M ) = { متر در M  : من دارم = 0 برای همه من در من } یک زیرمدول چپ در سمت چپ است R -module M ، و بزرگترین زیرمدول است M است که R / من -module. اگر M یک انضمامی باشد، R سمت چپ-module، سپس ann I ( M ) یک مدول R / I - چپ تزریقی است . با اعمال این مورد روی R = Z ، I = n Z و M = Q / Z ، به این واقعیت آشنا می رسید که Z / n Z به عنوان یک مدول بر روی خود تزریقی است. در حالی که از آن آسان است برای تبدیل تزریقی R -modules به تزریقی R /I -modules، این روند کند تزریقی تبدیل کند R -resolutions به تزریقی R / منتفکیک‌پذیری‌ها و همسانی مجموعه حاصل یکی از حوزه‌های اولیه و اساسی مطالعه جبر همسانی نسبی است.

کتاب درسی ( Rotman 1979 , p. 103) اثبات اشتباهی دارد مبنی بر اینکه بومی سازی انژکتورها را حفظ می کند، اما یک مثال متضاد در ( Dade 1981 ) آورده شده است.

حلقه های خود تزریقی [ ویرایش ]

هر حلقه با وحدت یک مدول آزاد است و از این رو به عنوان یک مدول بر روی خود تصویری است، اما کمتر پیش می‌آید که حلقه به عنوان یک مدول بر روی خود تزریق شود ( لام 1999 ، §3B). اگر حلقه بیش از خود تزریقی به عنوان یک مدول حق است، پس از آن است که به نام حلقه خود تزریقی راست . هر جبر فروبنیوس خود تزریقی است، اما هیچ حوزه انتگرالی که میدان نباشد ، خود تزریقی نیست. هر مناسب بهره از یک دامنه ددکیند خود تزریقی است.

یک حلقه نوترین راست ، حلقه خود تزریقی راست، حلقه شبه فروبنیوس نامیده می شود ، و به صورت آرتینی دو طرفه و دو طرفه است ( لام 1999 ، Th. 15.1). یکی از ویژگی‌های مهم نظری مدول حلقه‌های شبه فروبنیوس این است که مدول‌های تصویری دقیقاً مدول‌های تزریقی هستند.

کلیات و تخصص ها [ ویرایش ]

اشیاء تزریقی [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: شی تزریقی

همچنین در مورد صحبت اشیاء تزریقی در دسته به طور کلی بیش دسته مدول، برای مثال دسته عمل کننده یا دسته از قرقره از O X -modules بیش از برخی از حلقه دار فضای ( X ، O X ). تعریف کلی زیر استفاده می شود: یک شی Q از دسته C است تزریقی اگر به هر تکریختی F  : X → Y در C و هر morphism ل : X → Qیک مورفیسم h وجود دارد  : Y → Q با hf = g .

گروه های قابل تقسیم [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: گروه قابل تقسیم

مفهوم شی تزریقی در دسته گروه های آبلی تا حدودی مستقل از مدول های تزریقی تحت عنوان گروه تقسیم پذیر مورد مطالعه قرار گرفت . در اینجا یک مدول Z M تزریقی است اگر و فقط اگر n ⋅ M = M برای هر عدد صحیح غیرصفر n . در اینجا روابط بین مدول‌های مسطح ، زیرمدول‌های خالص و مدول‌های تزریقی واضح‌تر است، زیرا صرفاً به ویژگی‌های تقسیم‌پذیری خاصی از عناصر مدول توسط اعداد صحیح اشاره دارد.

تزریقات ناب [ ویرایش ]

مقاله اصلی: مدول تزریقی خالص

در جبر همسانی نسبی، ویژگی بسط هممورفیسم ها ممکن است فقط برای زیرمدول های خاص مورد نیاز باشد نه برای همه. به عنوان مثال، یک مدول تزریقی خالص مدولی است که در آن یک هم شکلی از یک زیر مدول خالص می تواند به کل مدول گسترش یابد.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Injective_module

​