سری رسمی قدرت

این مقاله برای تأیید به نقل‌قول‌های اضافی نیاز دارد . لطفاً با افزودن نقل قول به منابع معتبر به بهبود این مقاله کمک کنید . اطلاعات بدون مرجع ممکن است مشکل ایجاد کرده و پاک شوند. یافتن منابع: "سریال توانی صوری" - اخبار · روزنامه ها · کتاب ها · محقق · JSTOR
( دسامبر 2009 ) (با نحوه و زمان حذف این پیام الگو آشنا شوید )

در ریاضیات و به ویژه در جبر ، یک سری صوری مجموع نامتناهی است که مستقل از هر مفهوم همگرایی در نظر گرفته می شود و می توان آن را با عملیات جبری معمول روی سری ها (جمع، تفریق، ضرب، تقسیم، مجموع جزئی و غیره) دستکاری کرد . ).

سری توانی صوری یک نوع خاص از سری صوری، که از لحاظ فرم هستند $ax^{n}$ جایی که $x^{n}$ هست $n$ توان یک متغیر $ایکس$ ( $n$ یک عدد صحیح غیر منفی است ) و $آ$ ضریب نامیده می شود. از این رو، سری توانی را می توان به عنوان تعمیم چندجمله ای ها در نظر گرفت ، که در آن تعداد عبارت ها مجاز است بی نهایت باشد، بدون نیاز به همگرایی. بنابراین، این سری ممکن است دیگر تابعی از متغیر خود را نشان ندهد، صرفاً یک دنباله صوری از ضرایب، بر خلاف سری توانی ، که یک تابع را با گرفتن مقادیر عددی برای متغیر در شعاع همگرایی تعریف می‌کند. در یک سری صوری توانی، $x^{n}$ تنها به عنوان صاحبان موقعیت برای ضرایب استفاده می شود، به طوری که ضریب $x^{5}$ پنجمین ترم در این دنباله است. در ترکیبیات ، از روش توابع مولد با استفاده از سری توانی صوری به نمایندگی عددی توالی و multisets ، برای مثال اجازه می دهد عبارت مختصر برای صورت بازگشتی دنباله تعریف صرف نظر از اینکه بازگشتی می توان به صراحت حل شده است. به طور کلی‌تر، سری‌های توان صوری می‌توانند شامل سری‌هایی با هر تعداد محدود (یا قابل شمارش) متغیر و با ضرایب در یک حلقه دلخواه باشند .

حلقه‌های سری توانی صوری حلقه‌های محلی کامل هستند و این امکان استفاده از روش‌های حساب دیفرانسیل و انتگرال را در چارچوب صرفا جبری هندسه جبری و جبر جابه‌جایی فراهم می‌کند. آنها از بسیاری جهات مشابه اعداد صحیح p- adic هستند که می توانند به عنوان سری صوری توان های p تعریف شوند .

فهرست

مقدمه [ ویرایش ]

یک سری توان صوری را می‌توان به‌طور آزادانه به‌عنوان یک شی در نظر گرفت که مانند یک چندجمله‌ای است ، اما با تعداد بی‌نهایت عبارات. از طرف دیگر، برای کسانی که با سری‌های توانی (یا سری تیلور ) آشنا هستند، ممکن است یک سری توان صوری را به عنوان یک سری توانی در نظر بگیریم که در آن سؤالات همگرایی را با فرض نکردن اینکه متغیر X نشان‌دهنده هر مقدار عددی (حتی یک مقدار مجهول) است نادیده می‌گیریم. ). برای مثال سریال را در نظر بگیرید

$A = 1 - 3X + 5X^2 - 7X^3 + 9X^4 - 11X^5 + \cdots.$

اگر این را به‌عنوان یک سری توانی مطالعه کنیم، ویژگی‌های آن شامل این می‌شود که مثلاً شعاع هم‌گرایی آن 1 است. اما، به‌عنوان یک سری توان صوری، ممکن است این را کاملاً نادیده بگیریم. تمام آنچه مرتبط است دنباله ای از ضرایب است [1، -3، 5، -7، 9، -11، ...]. به عبارت دیگر، یک سری توان صوری جسمی است که فقط دنباله ای از ضرایب را ثبت می کند. کاملاً قابل قبول است که یک سری توان صوری با فاکتوریل های [1، 1، 2، 6، 24، 120، 720، 5040، ...] به عنوان ضرایب در نظر گرفته شود، حتی اگر سری توان متناظر برای هر مقدار غیر صفر X واگرا شود. .

محاسبات بر روی سری های توان صوری به سادگی با تظاهر به اینکه سری ها چند جمله ای هستند انجام می شود. به عنوان مثال، اگر

$B = 2X + 4X^3 + 6X^5 + \cdots،$

سپس A و B را ترم به ترم اضافه می کنیم :

$A + B = 1 - X + 5X^2 - 3X^3 + 9X^4 - 5X^5 + \cdots.$

ما می‌توانیم سری‌های توان صوری را ضرب کنیم، فقط با در نظر گرفتن آنها به عنوان چند جمله‌ای (به ویژه محصول کوشی را ببینید ):

$AB = 2X - 6X^2 + 14X^3 - 26X^4 + 44X^5 + \cdots.$

توجه داشته باشید که هر ضریب در حاصلضرب AB فقط به تعداد محدودی از ضرایب A و B بستگی دارد . به عنوان مثال، عبارت X 5 توسط

$44X^5 = (1\ برابر 6X^5) + (5X^2 \بار 4X^3) + (9X^4 \بار 2X).$

به همین دلیل، می‌توان سری‌های توان صوری را بدون نگرانی در مورد سؤالات معمول همگرایی مطلق ، شرطی و یکنواخت که در برخورد با سری‌های توانی در زمینه تحلیل مطرح می‌شود ، ضرب کرد .

هنگامی که ضرب را برای سری های توان صوری تعریف کردیم، می توانیم معکوس های ضربی را به صورت زیر تعریف کنیم. معکوس ضربی یک سری توان صوری A یک سری توان صوری C است به طوری که AC = 1 است، مشروط بر اینکه چنین سری توان صوری وجود داشته باشد. معلوم می شود که اگر A یک معکوس ضربی داشته باشد، منحصر به فرد است و ما آن را با A -1 نشان می دهیم . اکنون می‌توانیم با تعریف B / A به‌عنوان حاصلضرب BA -1 ، تقسیم سری‌های توان صوری را تعریف کنیم ، مشروط بر اینکه معکوس A وجود داشته باشد. به عنوان مثال، می توان از تعریف ضرب در بالا برای تأیید فرمول آشنا استفاده کرد

$\frac{1}{1 + X} = 1 - X + X^2 - X^3 + X^4 - X^5 + \cdots.$

یک عملیات مهم در سری های توان صوری، استخراج ضریب است. در ابتدایی ترین شکل آن، عملگر استخراج ضریب است $[X^{n}]$ برای یک سری توانی صوری اعمال می شود $آ$ در یک متغیر ضریب را استخراج می کند $n$ توان هفتم متغیر، به طوری که $[X^{2}]A=5$ و $[X^{5}]A=-11$ . نمونه های دیگر عبارتند از

${\begin{aligned}\left[X^{3}\right](B)&=4,\\\left[X^{2}\right](X+3X^{2}Y^ {3}+10Y^{6})&=3Y^{3},\\\left[X^{2}Y^{3}\right](X+3X^{2}Y^{3}+ 10Y^{6})&=3،\\\left[X^{n}\right]\left({\frac {1}{1+X}}\right)&=(-1)^{n },\\\left[X^{n}\right]\left({\frac {X}{(1-X)^{2}}}\right)&=n.\end{تراز شده}}$

به طور مشابه، بسیاری از عملیات های دیگر که بر روی چند جمله ای ها انجام می شوند را می توان به تنظیمات سری توان صوری گسترش داد، همانطور که در زیر توضیح داده شده است.

+ نوشته شده در پنجشنبه نهم دی ۱۴۰۰ ساعت 23:56 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ریاضیات

آموزش ریاضی