از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

پرش به ناوبریپرش به جستجو

نباید با حلقه نیمه ساده جاکوبسون اشتباه گرفت .

در جبر، حلقه هیلبرت یا حلقه یاکوبسون حلقه‌ای است به طوری که هر ایده‌آل اول محل تلاقی ایده‌آل‌های ابتدایی است . برای حلقه‌های جابجایی، ایده‌آل‌های ابتدایی همان ایده‌آل‌های حداکثری هستند، بنابراین در این مورد، حلقه جاکوبسون حلقه‌ای است که در آن هر ایده‌آل اولیه، تقاطع ایده‌آل‌های حداکثری است.

حلقه های جاکوبسون به طور مستقل توسط ولفگانگ کرول  ( 1951 ، 1952 ) معرفی شدند، که آنها را به خاطر ارتباطشان با رادیکال های یاکوبسون به نام ناتان جاکوبسون نامگذاری کرد ، و توسط اسکار گلدمن  ( 1951 )، که به دلیل ارتباط آنها با دیوید هیلبرت ، آنها را حلقه های هیلبرت نامید . Nullstellensatz .

فهرست

• 1حلقه های جاکوبسون و Nullstellensatz
• 2مثال ها
• 3شخصیت پردازی ها
• 4یادداشت
• 5منابع

حلقه های جاکوبسون و Nullstellensatz [ ویرایش ]

Nullstellensatz هیلبرت در هندسه جبری یک مورد خاص از این جمله است که حلقه چند جمله ای در متغیرهای بسیار محدودی در یک میدان، حلقه هیلبرت است. یک شکل کلی از Nullstellensatz بیان می‌کند که اگر R یک حلقه ژاکوبسون باشد، هر R- جبر S که به‌طور متناهی تولید شده باشد نیز همینطور است . علاوه بر این، قلاب هر حداکثر ایده آل J از S ایده آل حداکثر است I از R و S / J فرمت متناهی از میدان باشد R / I.

به طور خاص مورفیسم نوع محدود حلقه‌های جاکوبسون باعث ایجاد مورفیسم حداکثر طیف حلقه‌ها می‌شود. این توضیح می‌دهد که چرا برای انواع جبری در زمینه‌ها، اغلب کافی است که با ایده‌آل‌های حداکثری کار کنیم تا با همه ایده‌آل‌های اول، همانطور که قبل از معرفی طرح‌ها انجام شد. برای حلقه‌های عمومی‌تر مانند حلقه‌های محلی، دیگر درست نیست که مورفیسم حلقه‌ها مورفیسم طیف‌های حداکثری را القا می‌کنند، و استفاده از ایده‌آل‌های اول به جای ایده‌آل‌های حداکثر، نظریه پاک‌تری ارائه می‌دهد.

مثالها [ ویرایش ]

• هر میدانی حلقه جاکوبسون است.
• هر دامنه ایده آل اصلی یا دامنه ددکیند با صفر رادیکال جاکوبسون یک حلقه جاکوبسون است. در حوزه‌های ایده‌آل اصلی و حوزه‌های ددکیند ، ایده‌آل‌های اول غیرصفر از قبل حداکثر هستند، بنابراین تنها چیزی که باید بررسی شود این است که آیا ایده‌آل صفر تقاطعی از ایده‌آل‌های حداکثر است یا خیر. درخواست برای صفر بودن رادیکال جاکوبسون این را تضمین می کند. در حوزه‌های ایده‌آل اصلی و حوزه‌های ددکیند، رادیکال جاکوبسون ناپدید می‌شود اگر و تنها در صورتی که بی‌نهایت ایده‌آل اصلی وجود داشته باشد.
• هر جبر محدودی که بر روی یک حلقه جاکوبسون ایجاد شود، یک حلقه جاکوبسون است. به طور خاص، هر جبر محدود تولید شده بر روی یک میدان یا اعداد صحیح، مانند حلقه مختصات هر مجموعه جبری وابسته، یک حلقه جاکوبسون است.
• یک حلقه محلی دقیقاً یک ایده آل حداکثر دارد، بنابراین حلقه جاکوبسون دقیقاً زمانی است که آن حداکثر ایده آل تنها ایده آل اصلی باشد. بنابراین هر حلقه محلی جابجایی با بعد Krull صفر، Jacobson است، اما اگر بعد Krull 1 یا بیشتر باشد، حلقه نمی تواند ژاکوبسون باشد.
• ( آمیتزور 1956 ) نشان داد که هر جبر قابل شمارش تولید شده بر روی یک میدان غیرقابل شمارش یک حلقه جاکوبسون است.
• جبرهای تیت بر روی میدان های غیر ارشمیدسی حلقه های ژاکوبسون هستند.
• یک حلقه جابجایی R یک حلقه جاکوبسون است اگر و فقط اگر R [ x ]، حلقه چندجمله‌ای روی R ، یک حلقه جاکوبسون باشد. [1]

خصوصیات [ ویرایش ]

شرایط زیر در یک حلقه جابجایی R معادل هستند:

• R یک حلقه ژاکوبسون است
• هر ایده‌آل اول R اشتراک ایده‌آل‌های حداکثری است.
• هر ایده آل رادیکالی محل تلاقی ایده‌آل‌های حداکثری است.
• هر ایده آل گلدمن حداکثر است.
• هر حلقه ضریب R در یک ایده آل اول یک رادیکال جاکوبسون صفر دارد .
• در هر حلقه ضریب، رادیکال نیل برابر با رادیکال جاکوبسون است.
• هر جبر به طور متناهی تولید شده روی R که یک میدان است به طور متناهی به عنوان یک  R-مدول تولید می شود . ( لم زریسکی )
• هر ایده آل اول P از R به طوری که R / P دارای یک عنصر x با ( R / P )[x -1 ] یک میدان یک ایده آل اول حداکثر است.
• طیف R یک فضای جاکوبسون است ، به این معنی که هر زیر مجموعه بسته بسته شدن مجموعه نقاط بسته در آن است.
• (برای حلقه های نوتری R ): R هیچ ایده آل اولیه P ندارد به طوری که R / P یک حلقه نیمه محلی یک بعدی است.

یادداشت ها [ ویرایش ]

1. ↑ کاپلانسکی، قضیه 31

منابع 

https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobson_ring