بردارهای پایه [ ویرایش ]

مبنای کوواریانس [ ویرایش ]

در مختصات دکارتی ، بردارهای پایه ثابت هستند (ثابت). در تنظیم کلی‌تر مختصات منحنی ، یک نقطه در فضا با مختصات مشخص می‌شود و در هر نقطه‌ای از آن مجموعه‌ای از بردارهای پایه وجود دارد که معمولاً ثابت نیستند: این ماهیت مختصات منحنی به طور کلی است و یک مفهوم بسیار مهم آنچه مختصات متعامد را متمایز می کند این است که، اگرچه بردارهای پایه متفاوت هستند، اما همیشه نسبت به یکدیگر متعامد هستند. به عبارت دیگر،

{\mathbf e}_{i}\cdot {\mathbf e}_{j}=0\quad {\text{if}}\quad i\neq j

این بردارهای پایه طبق تعریف بردارهای مماس منحنی ها هستند که با تغییر یک مختصات به دست می آیند و بقیه را ثابت نگه می دارند:

تجسم مختصات متعامد دو بعدی منحنی هایی که با ثابت نگه داشتن همه مختصات به جز یک ثابت به دست می آیند همراه با بردارهای پایه نشان داده شده اند. توجه داشته باشید که بردارهای پایه دارای طول مساوی نیستند: آنها نیازی به داشتن طول ندارند، فقط باید متعامد باشند.

{\mathbf e}_{i}={\frac {\partial {\mathbf r}}{\partial q^{i}}}

که r نقطه ای و q i مختصاتی است که بردار پایه برای آن استخراج می شود. به عبارت دیگر، منحنی با ثابت کردن همه مختصات به جز یک به دست می آید. مختصات ثابت نشده مانند یک منحنی پارامتری تغییر می کند و مشتق منحنی با توجه به پارامتر (مختصات متغیر) بردار پایه برای آن مختصات است.

توجه داشته باشید که طول بردارها لزوماً برابر نیستند. توابع مفیدی که به عنوان ضریب مقیاس مختصات شناخته می شوند، به سادگی طول هستندسلام} از بردارهای پایه {\hat {{\mathbf e}}}_{i}(جدول زیر را ببینید). ضرایب مقیاس گاهی اوقات ضرایب Lamé نامیده می شود ، که نباید با پارامترهای Lamé (مکانیک جامدات) اشتباه گرفته شود .

نرمال بردارهای پایه با یک کلاه notated و به دست آمده را با تقسیم طول:

{\hat {{\mathbf e}}}_{i}={\frac {{{\mathbf e}}_{i}}{h_{i}}}={\frac {{{\mathbf e} }_{i}}{\left|{{\mathbf e}}_{i}\right|}}

یک میدان برداری ممکن است با اجزای آن با توجه به بردارهای پایه یا بردارهای پایه نرمال شده مشخص شود، و باید مطمئن بود که منظور کدام مورد است. مولفه‌ها در پایه نرمال‌شده در کاربردهای شفافیت کمیت‌ها رایج‌ترین هستند (برای مثال، ممکن است بخواهید به جای سرعت مماسی ضربدر یک ضریب مقیاس، با سرعت مماسی سروکار داشته باشید). در مشتقات، مبنای نرمال شده کمتر رایج است زیرا پیچیده تر است.

مبنای متناقض [ ویرایش ]

بردارهای پایه نشان داده شده در بالا بردارهای پایه کوواریانت هستند (زیرا آنها با بردارها "تغییر" دارند). در مورد مختصات متعامد، بردارهای پایه متضاد را به راحتی می توان یافت زیرا آنها در همان جهت بردارهای کوواریانت هستند اما طول متقابل خواهند داشت (به همین دلیل، گفته می شود که دو مجموعه بردار پایه نسبت به هر یک متقابل هستند. دیگر):

{\mathbf e}^{i}={\frac {{\hat {{\mathbf e}}}_{i}}{h_{i}}}={\frac {{\mathbf e}_{i }}{h_{i}^{2}}}

این از این واقعیت ناشی می شود که طبق تعریف، {\mathbf e}_{i}\cdot {\mathbf e}^{j}=\delta _{i}^{j}، با استفاده از دلتای کرونکر . توجه داشته باشید که:

{\hat {{\mathbf e}}}_{i}={\frac {{\mathbf e}_{i}}{h_{i}}}=h_{i}{\mathbf e}^{i }={\hat {{\mathbf e}}}^{i}

اساس هموردا: ما در حال حاضر سه مجموعه پایه های مختلف معمولا برای توصیف بردار در مختصات متعامد استفاده مواجه الکترونیکی I ، اساس دارای کوواریانت الکترونیکی I ، و پایه و اساس نرمال ê i . در حالی که یک بردار یک کمیت عینی است ، به این معنی که هویت آن مستقل از هر سیستم مختصاتی است، اجزای یک بردار به این بستگی دارد که بردار در چه مبنایی نمایش داده شود.

برای جلوگیری از سردرگمی، اجزای بردار X با توجه به الکترونیکی I اساس به عنوان نمایندگی X i ، در حالی که قطعات با توجه به الکترونیکی I اساس به عنوان نمایندگی X i :

{\mathbf x}=\sum _{i}x^{i}{\mathbf e}_{i}=\sum _{i}x_{i}{\mathbf e}^{i}

موقعیت شاخص ها نحوه محاسبه مولفه ها را نشان می دهد (شاخص های بالایی را نباید با توان اشتباه گرفت ). توجه داشته باشید که نمادهای جمع Σ ( سیگما بزرگ ) و محدوده جمع، که نشان دهنده جمع بر روی همه بردارهای پایه ( i = 1, 2, ..., d ) است، اغلب حذف می شوند . مولفه ها به سادگی توسط:

{\displaystyle h_{i}^{2}x^{i}=x_{i}}

هیچ علامت متمایز گسترده ای در استفاده برای مؤلفه های برداری با توجه به مبنای نرمال شده وجود ندارد. در این مقاله از زیرنویس‌ها برای مؤلفه‌های برداری استفاده می‌کنیم و توجه داشته باشید که مؤلفه‌ها بر اساس عادی محاسبه می‌شوند.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_coordinates