مختصات عمومی [ ویرایش ]

با استفاده از نماد انیشتین می توانیم واگرایی را در مختصات کلی در نظر بگیریم که به صورت x 1 , …, x i , …, x n می نویسیم که n تعداد ابعاد دامنه است. در اینجا، شاخص بالایی به تعداد مختصات یا جزء اشاره دارد ، بنابراین x 2 به جزء دوم اشاره دارد و نه مقدار x مجذور. متغیر شاخص i برای اشاره به یک جزء دلخواه مانند x i استفاده می شود . سپس می توان واگرایی را از طریق فرمول Voss - Weyl نوشت ، [9] مانند:

{\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \left(\rho \,F^{i}\right)}{ \ x جزئی^{i}}}،}

جایی که \rho ضریب محلی عنصر حجم است و F i مولفه های F با توجه به پایه کوواریانت غیر عادی محلی هستند (گاهی اوقات به صورت نوشته می شود{\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\partial \mathbf {x} /\partial x^{i}}) . نماد انیشتین به معنای جمع بر روی i است ، زیرا به عنوان یک شاخص بالا و پایین ظاهر می شود.

ضریب حجم ρ تابعی از موقعیت است که به سیستم مختصات بستگی دارد. در مختصات دکارتی، استوانه ای و کروی، با استفاده از قراردادهای قبلی، به ترتیب ρ = 1 ، ρ = r و ρ = r 2 sin θ داریم . حجم را نیز می توان به صورت بیان کرد{\textstyle \rho ={\sqrt {\left|\det g_{ab}\right|}}}، که در آن g AB است تانسور متریک . تعیین به نظر می رسد دلیل آن را فراهم تعریف ثابت مناسب از حجم، توجه به مجموعه ای از بردار. از آنجایی که تعیین کننده یک کمیت اسکالر است که به شاخص ها بستگی ندارد، می توان آنها را سرکوب کرد، نوشتن{\textstyle \rho ={\sqrt {\left|\det g\right|}}}. قدر مطلق برای رسیدگی به حالت کلی که ممکن است تعیین کننده منفی باشد، مانند فضاهای شبه ریمانی، گرفته می شود. دلیل ریشه مربع کمی ظریف است: به طور موثری از شمارش دوگانه در حین رفتن از مختصات منحنی به مختصات دکارتی و برگشت اجتناب می‌کند. حجم (تعیین کننده) همچنین می تواند به عنوان ژاکوبین تبدیل از دکارتی به مختصات منحنی درک شود که برای n = 3 به دست می دهد.{\textstyle \rho =\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (x^{1},x^{2},x^{3})}}\right| }.

برخی از قراردادها انتظار دارند که تمام عناصر پایه محلی به طول واحد نرمال شوند، همانطور که در بخش های قبلی انجام شد. اگر بنویسیم{\hat {\mathbf {e} }}_{i} برای مبنای عادی، و {\displaystyle {\hat {F}}^{i}}برای مولفه های F نسبت به آن، ما آن را داریم

{\displaystyle \mathbf {F} =F^{i}\mathbf {e} _{i}=F^{i}\|{\mathbf {e} _{i}}\|{\frac {\mathbf {e} _{i}}{\|\mathbf {e} _{i}\|}}=F^{i}{\sqrt {g_{ii}}}\,{\hat {\mathbf {e } }}_{i}={\hat {F}}^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}،}

با استفاده از یکی از ویژگی های تانسور متریک. با نقطه گذاری دو طرف آخرین برابری با عنصر متضاد{\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{i}}، میتوتیم نتیجه بگیریم که {\textstyle F^{i}={\hat {F}}^{i}/{\sqrt {g_{ii}}}}. پس از جایگزینی فرمول به صورت زیر در می آید:

{\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \left({\frac {\rho }{\sqrt {g_{ii }}}}{\hat {F}}^{i}\right)}{\partial x^{i}}}={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}{\frac { \partial \left({\sqrt {\frac {\det g}{g_{ii}}}\,{\hat {F}}^{i}\right)}{\partial x^{i}} }.}

مشاهده § در مختصات منحنی برای بحث بیشتر.