کلیات [ ویرایش ]

عملیات حساب برداری grad ، curl، و div به آسانی در زمینه اشکال دیفرانسیل تعمیم داده می شود که شامل تعدادی مراحل است. به طور خلاصه، آنها به ترتیب با مشتقات 0-فرم، 1-فرم و 2-فرم مطابقت دارند. تفسیر هندسی از حلقه به عنوان مربوط چرخش به شناسایی bivectors (2-بردارها) در 3 ابعاد با جبر ویژه دروغ متعامد {\mathfrak {so}}(3) از چرخش های بینهایت کوچک (در مختصات، ماتریس های متقارن 3 × 3)، در حالی که نشان دادن چرخش توسط بردارها مربوط به شناسایی 1-بردار (به طور معادل، 2-بردار) و{\mathfrak {so}}(3) ، همه اینها فضاهای سه بعدی هستند.

فرم های دیفرانسیل [ ویرایش ]

مقاله اصلی: فرم دیفرانسیل

در 3 بعد، یک فرم 0 دیفرانسیل به سادگی تابع f ( x , y , z ) است . شکل 1 دیفرانسیل عبارت زیر است که در آن ضرایب تابع هستند:

a_{1}\,dx+a_{2}\,dy+a_{3}\,dz;

یک فرم 2 دیفرانسیل مجموع رسمی است، دوباره با ضرایب تابع:

a_{12}\,dx\wedge dy+a_{13}\,dx\wedge dz+a_{23}\,dy\wedge dz;

و یک شکل 3 دیفرانسیل با یک جمله با یک تابع به عنوان ضریب تعریف می شود:

a_{123}\,dx\wedge dy\wedge dz.

(در اینجا ضرایب a توابع واقعی سه متغیر هستند؛ "محصولات گوه"، به عنوان مثال dx ∧ dy را می توان به عنوان نوعی از عناصر ناحیه جهت دار تفسیر کرد، dx ∧ dy = − dy ∧ dx و غیره.)

مشتق بیرونی از یک ک دندانی در R 3 به عنوان تعریف ( K + 1) دندانی از بالا و در R N اگر، به عنوان مثال،

{\displaystyle \omega ^{(k)}=\sum _{\scriptstyle {i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}} \atop \forall \scriptstyle {i_{\nu }\ در 1,\ldots ,n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}\,dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}},}

سپس مشتق بیرونی d منجر به

{\displaystyle d\omega ^{(k)}=\sum _{\scriptstyle {j=1} \atop \scriptstyle {i_{1}<\cdots <i_{k}}}^{n}{\frac {\partial a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}}{\partial x_{j}}}\,dx_{j}\wedge dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_ {i_{k}}.}

بنابراین مشتق بیرونی یک شکل 1، یک شکل 2 است، و مشتق بیرونی یک شکل 2، یک شکل 3 است. از سوی دیگر، به دلیل قابل تعویض مشتقات مخلوط، به عنوان مثال به دلیل

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial y\,\partial x}},}

استفاده دوگانه از مشتق خارجی منجر به 0 می شود.

بنابراین، با نشان دادن فضای k- شکل ها با Ω k ( R 3 ) و مشتق بیرونی با d one یک دنباله به دست می آید:

{\displaystyle 0\,{\overset {d}{\longrightarrow }}\;\Omega ^{0}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)\,{\overset {d}{\ longrightarrow }}\;\Omega ^{1}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)\,{\overset {d}{\longrightarrow }}\;\Omega ^{2}\left( \mathbb {R} ^{3}\right)\,{\overset {d}{\longrightarrow }}\;\Omega ^{3}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)\, {\overset {d}{\longrightarrow }}\,0.}

در اینجا Ω K ( R N ) فضای بخش از است بیرونی جبر Λ K ( R N ) بردار بسته نرم افزاری بیش از R N ، که بعد است ضریب دو جمله ای (n
k) ؛ توجه داشته باشید کهΩ k ( R 3 ) = 0برای k > 3یا k < 0. با نوشتن فقط ابعاد، یک ردیف ازمثلث پاسکال به دست می آید:

0 → 1 → 3 → 3 → 1 → 0;

الیاف 1 بعدی مطابق با میدان های اسکالر و الیاف 3 بعدی با میدان های برداری مطابقت دارند که در زیر توضیح داده شده است. شناسایی های مناسب مدول، سه رخداد غیر پیش پا افتاده مشتق بیرونی با grad، curl، و div مطابقت دارند.

اشکال دیفرانسیل و دیفرانسیل را می توان بر روی هر فضای اقلیدسی، یا در واقع هر منیفولد، بدون هیچ مفهومی از متریک ریمانی تعریف کرد. در ریمانی یا به طور کلی خمینه شبه ریمانی ، K -فرم را می توان با شناسایی K بردار زمینه ( K -فرم هستند ک زمینه -covector و متریک شبه ریمانی می دهد ریخت بین بردارها و بردارها)، و در محور فضای برداری با یک فرم nondegenerate (یک ریختی بین بردارها و بردارها)، یک ریختی بین وجود دارد ک -vectors و ( N - K) -بردارها; به ویژه در (فضای مماس) یک منیفولد شبه ریمانی جهت دار. بنابراین در یک منیفولد شبه ریمانی جهت‌یافته، می‌توان k- فرم، k- وکتور فیلدها، ( n - k ) -فرم، و ( n - k ) -فیلدهای برداری را مبادله کرد. این به عنوان دوگانگی هاج شناخته می شود . بطور مشخص، در R 3 این توسط:

  • فیلدهای 1-شکل و 1-بردار: 1-شکل a x dx + a y dy + a z dz با فیلد برداری ( a x , a y , a z ) مطابقت دارد .
  • 1-شکل و 2-شکل: یکی dx را با مقدار دوگانه dy ∧ dz جایگزین می کند (یعنی dx را حذف کنید )، و به همین ترتیب، با توجه به جهت گیری: dy مطابق با dz ∧ dx = - dx ∧ dz و dz مطابق با dx است. ∧ DY . بنابراین شکل a x dx + a y dy + a z dz با "شکل دوگانه" a z dx ∧ dy + a مطابقت دارد.y dz ∧ dx + a x dy ∧ dz .

بنابراین، شناسایی 0-فرم و 3-فرم با فیلدهای اسکالر، و 1-فرم و 2-فرم با فیلدهای برداری:

  • grad یک میدان اسکالر (0-form) را به یک فیلد برداری (1-form) می برد.
  • curl یک میدان برداری (1-شکل) را به یک فیلد شبه برداری (2-form) می برد.
  • div یک میدان شبه برداری (2-شکل) را به یک میدان شبه مقیاسی (3-شکل) می برد.

از سوی دیگر، این واقعیت که d 2 = 0 با اتحادها ها مطابقت دارد

{\displaystyle \nabla \times (\nabla f)=0}

برای هر میدان اسکالر f ، و

{\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )=0}

برای هر فیلد برداری v .

Grad و div به همه منیفولدهای شبه ریمانی جهت دار تعمیم داده می شوند، با تفسیر هندسی یکسان، زیرا فضاهای 0-شکل و n- شکل در هر نقطه همیشه یک بعدی هستند و می توانند با میدان های اسکالر شناسایی شوند، در حالی که فضاهای 1 -فرم‌ها و ( n -1) -فرم‌ها همیشه از نظر فیبر n بعدی هستند و می‌توانند با فیلدهای برداری شناسایی شوند.

کرل به این ترتیب به 4 بعد یا بیشتر (یا به 2 بعد یا کمتر) تعمیم نمی یابد. در 4 بعد ابعاد می باشد

0 → 1 → 4 → 6 → 4 → 1 → 0;

بنابراین حلقه یک میدان 1 برداری (از لحاظ فیبری 4 بعدی) یک میدان 2 برداری است که در هر نقطه متعلق به فضای برداری 6 بعدی است و بنابراین

{\displaystyle \omega ^{(2)}=\sum _{i<k=1,2,3,4}a_{i,k}\,dx_{i}\wedge dx_{k},}

که مجموع شش عبارت مستقل را به دست می دهد و نمی توان آن را با یک فیلد 1 برداری شناسایی کرد. همچنین نمی توان به طور معناداری از یک میدان 1 بردار به یک میدان 2 بردار به یک میدان 3 بردار (4 → 6 → 4) رفت، زیرا دوبار گرفتن دیفرانسیل صفر را به دست می دهد ( d 2 = 0 ). بنابراین هیچ تابع curl از فیلدهای برداری به فیلدهای برداری در ابعاد دیگر که از این طریق بوجود می آیند وجود ندارد.

با این حال، همانطور که در زیر توضیح داده شده است ، می توان یک فیلد برداری را به طور کلی به عنوان یک میدان 2 برداری تعریف کرد.