ریاضیات

بگذارید X یک مجموعه و G یک گروه باشد.همانطور که قبلاً می گفتیم اگر نمایشی داشته باشیم G روی X عمل می کند

ρ : G → S(X)  یا به طور معادل یک عملیات باینری G × X → X وجود دارد که قوانین زیر را برآورده می کند:

1x = x

(gh)x = g(hx)  for all   g, h ∈ G, x ∈ X

با توجه به چنین عملی، رابطه ای را با x ~ y بر روی X تعریف کنید اگر و فقط اگر g ∈ G∃ به گونه ای که y = gx باشد. این است سخت نیست که بفهمیم این یک رابطه هم ارزی را در X تعریف می کند. (به تمرین ها مراجعه کنید.) نتیجه می شود که X  به کلاس های هم ارزی مجزا تقسیم می شود که به آنها مدار نیز می گویند. کلاس معادل شامل{gx: g ∈ G} است، و مدار x نامیده می شود. اگر فقط یک مدار وجود داشته باشد، عمل را متعدی گفته می شود یا به طور معادل این ادعا است:برای هر  x، y ∈ X   وجودارد g ∈G     به طوری که y = gx.
از آنجایی که هر مجموعه ای تحت این رابطه هم ارزی به یک اجتماع  مجزا از کلاس های هم ارزی تجزیه می شود، به شرح زیر است.
که اگر G بر روی X عمل کند، آنگاه X اجتماع  ای از مدارهای مجزا است.

مثال

H ≤ G

X = G/H

g(xH) = (gx)H

این عمل خوش تعریف است زیرا xH = yH  اگر و فقط اگر

 (gx)H = (gy)H

  بعلاوه 

1(xH) = xH

(gh)(xH) = g(h(xH)),

این عمل انتقالی است زیرا    اگر e  عضو همانی G/H  باشد 

X=Ge   

ثابت ساز x  در گروه G :                                           

Gx = {g ∈ G : gx = x}.

Gx زیرگروهی از G است. برای، مسلماً 1 ∈ Gx، و اگر gx = x و hx = x، واضح است که ghx = gx = x.
علاوه بر این، gx = x به معنای

x = g^ −1  x.

نکته :, h ∈ Ggx ⇔ hgx = gx ⇔ (g ^−1 h g)x = x ⇔ g^ −1 h g ∈ Gx ⇔ h ∈ g Gx  g ^−1

پس

g Gx g ^−1 = Ggx

قضیه. فرض کنید G گروهی باشد که بر روی یک مجموعه X عمل می کند و اجازه دهید x ∈ X باشد. نگاشت gGx→ gx  فراهم می کند
یک تناظر یک به یک بین G/Gx و Gx. علاوه بر این، این تناظر با عمل G در هر دو مجموعه. به ویژه، اگر G متناهی است، پس  |Gx| = [G : Gx] = |G|/|Gx|.

اثبات: ابتدا توجه داشته باشید که نگاشت به خوبی تعریف شده است. زیرا،

hGx = gGx ⇔ g ^−1 h ∈ Gx ⇔ g ^−1 hx = x ⇔ hx = gx.

در واقع، این استدلال بازگشتی است ، همچنین نشان می دهد که نگاشت یک به یک است. نگاشت به وضوح بروی است.
سرانجام،

h(gGx) = (hg)Gx → (hg)x = h(gx)

بنابراین نقشه برداری با این دو عمل سازگار است.

نتیجه. اگر G یک گروه متناهی است که بر روی یک مجموعه X عمل می کند، آنگاه هر مدار یک مجموعه متناهی است.مرتبه آن |G| را می شمارد

فرض کنید G یک گروه، متناهی یا نامتناهی باشد. در میان مجموعه‌هایی که G بر روی آنها عمل می‌کند، می‌توان فضاهای هم مجموعه را  می توان تشخیص دادG/H برای H یک زیرگروه G است.

 G به صورت گذرا روی چنین مجموعه X عمل می کند، و این گزاره به ما می گوید که عمل حفظ تناظریک به یک، هر مجموعه X که G به صورت گذرا بر روی آن عمل می کند ممکن است از این فرض شود
فرم. بنابراین، باچنین تناظری، هر مجموعه ای که G بر روی آن عمل می کند، ممکن است به عنوان یک اجتماع مجزا از coset در نظر گرفته شود.
اجازه دهید G بر روی X عمل کند. همانطور که قبلا ذکر شد، ممکن است به این عمل یک نمایش ρ : G → S(X) ربط دهیم.
هسته این نمایش مجموعه ای از همه g ∈ G است که به مانند همانی در تمام X عمل می کند.

Ker ρ =اشتراک   Gx :  x∈X

اشتراک تمام ثابت سازهای نقاط در X است.