ریاضیات

ams – همکاری کنید و دانش را با یک گروه خصوصی به اشتراک بگذارید.یک تیم رایگان ایجاد کنید Teams چیست؟(Dummit and Foote) گروه سفارشی 105 با n3=1n3=1 باید آبلی باشد
سوال بپرس
 
 
من روی این مشکل کار می کردم: اجازه دهید GG یک گروه از نظم باشد 105=3×5×7105=3×5×7. فرض کنید یک زیرگروه Sylow معمولی منحصر به فرد دارد. بعد اینو ثابت کنGG آبلی است.
من موارد زیر را از قضیه سایلو به دست آوردم:n5=1n5=1 یا n5=21n5=21n7=1n7=1 یا n7=15n7=15
و با نشان دادن اینکه یک هم شکلی از GG به Aut(Pq)Aut⁡(Pq) باید بی اهمیت باشد اگر q−1q−1 coprime به است |G||G|:از آنجا که n3=1n3=1 گروه Sylow 3 در مرکز قرار دارد.اگر n5=1n5=1 گروه Sylow 5 در مرکز قرار دارد.
و شمارش عناصر نظم qq:n5=21n5=21 به این معنی است که زیرگروه های Sylow 5 دارای 84 عنصر درجه 5 هستند.n7=15n7=15 به این معنی است که زیرگروه های Sylow 7 دارای 90 عنصر از مرتبه 7 هستند.
این بدان معناست که ما نمی توانیم هر دو را داشته باشیم، یکی از آنها باید یک زیرگروه عادی منحصر به فرد باشد.
آیا این تا اینجا درست است؟ چگونه می توانم از اینجا ادامه دهم و اثبات را تمام کنم؟ آیا راهی برای جلوگیری از تقسیم شدن به دو مورد مختلف وجود دارد؟
نظریه گروهabelian-groupsتئوری سیلو
اشتراک گذاری
استناد کنید
دنبال کردن
ویرایش شده در 7 اوت 2020 در 13:33

شان
35.2 هزار1616 نشان طلا5757 نشان نقره151151 نشان برنز
پرسیده شد اوت 7 '20 در 13:25
user581023
4راحت تر است. شما در مورد چه چیزی می دانیدG/P3G/P3? 
– دانیل فیشر اوت 7 '20 در 13:38
2به ویژه، اگر xx متمرکز می کند yy سپس yy متمرکز می کند xx. 
– دیوید A. کریون اوت 7 '20 در 13:39
2در حالی که استفاده از آن کاملا مجاز است G/P3G/P3راهبرد درست، بدون نگاه کردن به ضرایب یا دانستن چیزی در مورد گروه های دیگر، اثبات را در یک خط به پایان می رساند. 
– دیوید A. کریون اوت 7 '20 در 13:41
1|G/P3|=35|G/P3|=35 باید یک گروه حلقوی باشد، و آیا این درست است که اگر ضریبی از یک گروه در زیرگروهی از مرکز آن چرخه ای باشد، به معنای آبلی بودن گروه است؟ 
– user581023 اوت 7 '20 در 13:43 
3@JyrkiLahtonen آیا باید یک ضربه گیر انجام دهم "چند راه می توانید این را ثابت کنید؟" راه حل من را مانند اینجا ویرایش کنید: math.stackexchange.com/questions/3772351/… سپس تمام 105 سوال آینده را می توان به این یکی ارجاع داد. 
– دیوید A. کریون اوت 7 '20 در 15:08 
نمایش 4 نظر دیگر
 1 پاسخ
فعالقدیمی ترینرای
 
6
 
 
 
به امید اینکه این پاسخ قطعی برای درک گروه های نظم باشد 105105، در مورد راه های حل این مشکل صحبت خواهم کرد.
فرض این سوال است که Sylow 33-زیرگروه در حالت عادی است GG. شرایط در Sylow33زیرگروه در اینجا ضروری است. دو گروه از نظم وجود دارد105105، هر دو با Sylow معمولی 55- و 77-زیرگروه، اما یکی چرخه ای و دیگری چرخه ای است C5×F21C5×F21، جایی که F21F21 یک گروه غیرآبلی، نرمال کننده یک Sylow است 77-زیر گروه از A7A7.
سریعترین راه برای ادامه این است که متوجه شوید P3P3سایلو 33-زیرگروه، نه تنها عادی بلکه مرکزی است. برای دیدن این، می توانید آن را به خاطر بیاوریدNG(H)/CG(H)NG(H)/CG(H) به زیرگروه ای هم شکل است Aut(H)Aut(H)، که نظم دارد 22در این مورد. روش از ابتدا توجه به آن استC3C3 فقط دو عنصر غیر هویت دارد، بنابراین برای هر عنصر g∈Gg∈G، g2g2 باید بی اهمیت عمل کرد P3P3. ولی|G||G| فرد است، بنابراین هر عنصر یک مربع است، و P3P3 مرکزی است.
در این مرحله دو راه برای ادامه وجود دارد. اولین مورد توجه به آن استG/P3G/P3 نظم دارد 35=5×735=5×7، و گروه های سفارشی 3535چرخه ای هستند اگرG/Z(G)G/Z(G) پس چرخه است GGآبلی است و ما تمام شده ایم. (به وضوحGG بنابراین در واقع چرخه ای است.)
دلیل جایگزین این است که توجه داشته باشید P3≤CG(P5)P3≤CG(P5) و P3≤CG(P7)P3≤CG(P7). بدین ترتیب|CG(P5)|≥15|CG(P5)|≥15، و |CG(P7)|≥21|CG(P7)|≥21. (به یاد بیاوریدCG(Pq)≤NG(Pq)CG(Pq)≤NG(Pq) و nqnq، شماره سایلو qq-subgroups برابر است با |G:NG(Pq)||G:NG(Pq)|.) از قضیه سایلو (nq≡1modqnq≡1modq) ما آن را می بینیم n5=n7=1n5=n7=1، به عنوان مورد نیاز.
اگر نمی‌خواهید این کار را انجام دهید، می‌توانید عناصر را بشمارید، اگرچه از بسیاری از این استدلال‌ها ظریف‌تر است. بیایید این کار را بدون این فرض انجام دهیمn3=1n3=1، برای به دست آوردن طبقه بندی کامل.
شماره n5n5 از سایلو 55زیرگروه ها یا هستند 11 یا 21=3×721=3×7. ما می خواهیم اولی را ثابت کنیم، پس دومی را فرض کنید. سپس وجود دارد21×4=8221×4=82 عناصر نظم 55، و از CG(P5)=P5CG(P5)=P5، هیچ عنصر نظمی وجود ندارد 5n5n برای هرچی n>1n>1. این دقیقاً ترک می کند105−82=23105−82=23 عناصر نظم نه 55و اینها باید نظم داشته باشند 11، 33، 77 یا 2121. اگرn7≠1n7≠1 سپس n7=15n7=15، اما این غیرممکن است زیرا فقط وجود دارد 2323عناصر باقی مانده است. بنابراینn7=1n7=1، حذف شش عنصر نظم 77. هفده عنصر باقی مانده است، بنابراینn3≤8n3≤8 (به عنوان هر Sylow 33- زیرگروه به دو عنصر نظم نیاز دارد 33). بدین ترتیبn3=1n3=1 یا n3=7n3=7. اگرn3=7n3=7 سپس چهارده عنصر نظم را حذف می کند 33و هویت، بنابراین دو عنصر باقی مانده است که باید دارای نظم باشند 2121. اما در هر گروه چرخه ای نظم2121 دوازده عنصر نظم وجود دارد 2121، که خیلی زیاد است.
بدین ترتیب n3=1n3=1و Sylow 33- و 77-زیرگروه ها هر دو عادی هستند. بدین ترتیبP3P7P3P7 طبیعی است در GG، دارای شاخص است 55، و بنابراین شامل هر عنصر تقسیم کننده است 2121. پس دو عنصر باقی مانده کجا هستند؟ این یک تناقض را به همراه دارد، بنابراینn5=1n5=1.
اگر n7≠1n7≠1 سپس n7=15n7=15، همانطور که باید باشد 11 مدول 77. باز هم می توانید تناقضی را مانند قبل بدست آورید، زیراCG(P5)CG(P5) شامل P7P7 ولی CG(P7)CG(P7) شامل نمی شود P5P5. بیایید سعی کنیم عناصر را بشماریم و ببینیم چه مشکلی پیش می آید. این بازده15×6=9015×6=90 عناصر نظم 77. پنج عنصر در آن وجود داردP5P5، ده عنصر باقی می ماند. بدین ترتیبn3≤5n3≤5، بنابراین n3=1n3=1. بنابراین ما یک زیر گروه داریمP3P5P3P5 از نظم 1515. این شامل ده عنصر دیگر است (همانطور که قبلاً شمارش کردیمP5P5و بنابراین ما دقیقاً تعداد مناسبی از عناصر را داریم، 105105.
اگر 1515اول بودند، پس این خوب خواهد بود. سپس7∣(15−1)7∣(15−1) و یک نقشه از وجود خواهد داشت C7C7 به Aut(C15)Aut(C15)، که نظم داشته باشد 1414. ولی1515یک عدد اول نیست، بنابراین می توانیم با استفاده از متمرکز کننده ها، همانطور که در بالا ذکر شد، یک تضاد بدست آوریم، اما شمارش عناصر در این مورد کار نخواهد کرد. گروهP3P5P3P5 دارای زیر گروه های معمولی است P3P3 و P5P5، که در آن P7P7نمی تواند عمل کند. بدین ترتیبP3P5P3P5 در واقع مرکزی است و G/(P3P5)G/(P3P5) چرخه ای است، بنابراین GGآبلی است. متناوبا، از سوی دیگر،P3P3 مرکزی است، بنابراین P3P3 متمرکز می کند P7P7. ولیn7=15n7=15، بنابراین P7P7 متمرکز نمی کند P3P3. این یک تناقض آشکار است.
بدین ترتیب n7=1n7=1همچنین. زیر گروهP5P7P5P7 یک زیرگروه عادی، چرخه ای و منظم است 3535. از آنجایی که هیچ نقشه ای وجود نداردP3P3 به Aut(P5)Aut(P5)، این در واقع مرکزی است. زیر گروهP7P3P7P3، سفارشی 2121، تکمیل کننده این است، بنابراین G≅P5×P7P3G≅P5×P7P3. اگرn3=1n3=1، هم ارز P3P3 متمرکز می کند P7P7، سپس با یک گروه نظم (چرخه ای) به پایان می رسید 2121. اگرn3=7n3=7، هم ارز P3P3 غیر پیش پا افتاده عمل می کند P7P7، سپس P3P7P3P7یک گروه سفارشی Frobenius است2121. این نرمال کننده در استA7A7 یک سایلو 77-زیرگروه.
اشتراک گذاری
استناد کنید
دنبال کردن
ویرایش شده در 8 اوت 2020 در 13:10
پاسخ داده شده اوت 7 '20 در 13:47

دیوید A. کریون
8,40288 نشان نقره3131 نشان برنزآیا می توانید به من بگویید که چرا تقسیم 3 مرکزساز به معنای 3 است که n_q را تقسیم نمی کند؟ خیلی ممنون! 
– user581023 اوت 7 '20 در 13:53
1زیرا nq=|G:NG(Pq)|nq=|G:NG(Pq)| و CG(Pq)≤NG(Pq)CG(Pq)≤NG(Pq). 
– دیوید A. کریون اوت 7 '20 در 13:54
https://math.stackexchange.com/questions/3783057/dummit-and-foote-group-of-order-105-with-n-3-1-must-be-abelian?rq=1