ریاضیات

پرسیده شد 5 ماه پیش

5 ماه پیش فعال بود

132 بار مشاهده شده است

6

این سوال بر اساس آزمون مقدماتی جبر UCLA پاییز 2019 است:

من سعی می کنم نشان دهم که هر گروهی GG از نظم 315=32⋅5⋅7315=32⋅5⋅7 دارای زیرگروه نرمال از مرتبه 5. از آنجایی که گروه اتومورفیسم از Z/5ZZ/5Z از مرتبه 4 است که عدد اول تا 315 است، این ثابت می کند که گروهی از مرتبه 5 در مرکز وجود دارد. GG.

با قضایای سایلو، تعداد زیرگروه های 5-سایلو است ≡1mod5≡1mod5و بر اساس قضیه مدار تثبیت کننده، تعداد زیرگروه های 5-Sylow باید تقسیم شوند. 32⋅732⋅7، که به این معنی است که تعداد زیر گروه های 5-Sylow n5n5 یا 21 یا 1 است. با استفاده از همین روش، می بینیم که n7n7 یا 15 یا 1 است و n3n3 1 یا 7 است.

من حداقل می خواهم ثابت کنم که یکی از زیر گروه های Sylow طبیعی است. استفاده از آرگومان شمارش در اینجا به من کمک نمی کند، زیرا حداکثر وجود دارد21⋅4=8421⋅4=84 عناصر درجه 5 و حداکثر وجود دارد 15⋅6=9015⋅6=90 عناصر یا مرتبه 7. من مطمئن نیستم که چگونه عناصر مرتبه 3 یا 9 را محدود کنم، اما حداکثر تعداد عناصر مرتبه 3 یا 9 را با 84+9084+90 به ما عددی بالاتر از 315 نمی دهد، بنابراین تناقضی نخواهیم داشت.

یکی دیگر از راه های ممکن برای اثبات وجود یک زیرگروه معمولی sylow، نگاه کردن به نرمال سازهای آنها است. فرض کنید هیچ یک از گروه های Sylow نرمال نیستند، بنابراینn5=21n5=21، n7=15n7=15، و n3=7n3=7. سپس نرمال سازهای دسته بندی خاصی از Sylow وجود دارد1515، 2121، و 4545. من مطمئن نیستم که چگونه از این واقعیت برای یافتن تناقض استفاده کنم.

من به دنبال راه حل دقیق نیستم، اما هر نکته کوچکی برای این مشکل قابل قدردانی است!

انتزاعی-جبرنظریه گروهگروه های محدودزیرگروه های عادیتئوری سیلو

اشتراک گذاری

استناد کنید

دنبال کردن

ویرایش شده در 5 ژوئیه در 21:18

شان

35.2 هزار1616 نشان طلا5757 نشان نقره151151 نشان برنز

جولای 5 در 20:45 پرسیده شد

چاروویندا

34511 نشان نقره ای1111 نشان برنز

یک نظر اضافه کنید

1 پاسخ

فعالقدیمی ترینرای

5

اگر n3=7n3=7 و P∈Syl3(G)P∈Syl3(G)، سپس |NG(P)|=45|NG(P)|=45.

هیچ یک از دو نوع ممکن از گروه های نظم 99 (C9C9 و C3×C3C3×C3) دارای اتومورفیسم نظم است 55، بنابراین وجود دارد Q∈Syl5(G)Q∈Syl5(G) با Q≤CG(P)Q≤CG(P)، و از این رو P≤NG(Q)P≤NG(Q)، و اکنون می توانیم آن را ثابت کنیم n5=1n5=1.

من پرونده را رها می کنم n3=1n3=1 برای تو.

اشتراک گذاری

استناد کنید

دنبال کردن