نظریه هموتوپی مجموعه های ساده [ ویرایش ]

برای تعریف ساختار مدل بر روی دسته مجموعه های ساده، باید فیبراسیون ها، کوفیبراسیون ها و هم ارزی های ضعیف را تعریف کرد. می توان فیبراسیون ها را فیبراسیون های کان تعریف کرد . نقشه مجموعه های ساده به عنوان یک معادل ضعیف تعریف می شود که تحقق هندسی آن معادل ضعیفی از فضاها باشد. یک نقشه از مجموعه های simplicial تعریف شده است که cofibration اگر آن را یک است monomorphism از مجموعه های simplicial. این یک قضیه دشوار دانیل کویلن است که دسته مجموعه های ساده با این دسته از مورفیسم ها بدیهیات یک دسته مدل ساده بسته مناسب را برآورده می کند .

نقطه عطف کلیدی این نظریه این است که تحقق هندسی فیبراسیون کان، فیبراسیون سره فضاها است. با وجود ساختار مدل، یک نظریه هموتوپی مجموعه های ساده را می توان با استفاده از روش های استاندارد جبر همتوپیکی توسعه داد . علاوه بر این، تحقق هندسی و تابع‌های منفرد، معادل کویلن از دسته‌های مدل بسته را ارائه می‌دهند که هم ارزی را القا می‌کنند.

|•|: Ho ( sSet ) ↔ Ho ( بالا )

بین دسته هموتوپی برای مجموعه های ساده و دسته هموتوپی معمول مجتمع های CW با کلاس های هموتوپی از نقشه های پیوسته بین آنها. این بخشی از تعریف کلی یک پیوست کویلن است که تابع الحاقی راست (در این مورد، تابع مجموعه منفرد) فیبراسیون ها (مثلا فیبراسیون های بی اهمیت) را به فیبراسیون ها (مثل فیبراسیون های بی اهمیت) حمل می کند.

اشیاء ساده [ ویرایش ]

یک شی ساده X در دسته C یک تابع متناقض است

X  : Δ → C

یا معادل آن یک تابع کوواریانس است

X : Δ op → C،

جایی که Δ هنوز نشان دهنده دسته سیمپلکس است . هنگامی که C است دسته از مجموعه ، ما فقط صحبت کردن در مورد مجموعه های simplicial که در بالا تعریف شد. اجازه دادن به C می شود دسته از گروه یا دسته از گروه های abelian ، ما به دست آوردن دسته SGRP از های simplicial گروه و SAB از های simplicial گروه های abelian بود.

گروه‌های ساده و گروه‌های آبلی ساده نیز ساختارهای مدل بسته ناشی از مجموعه‌های ساده زیرین را حمل می‌کنند.

گروه‌های هموتوپی گروه‌های آبلی ساده را می‌توان با استفاده از تناظر دالد-کان محاسبه کرد که معادلی از دسته‌ها را بین گروه‌های آبلی ساده و کمپلکس‌های زنجیره‌ای محدود به دست می‌دهد و توسط تابع‌ها ارائه می‌شود.

N: sAb → Ch +

و

Γ: Ch + →   sAb .

تاریخچه و استفاده از مجموعه های ساده [ ویرایش ]

مجموعه های simplicial اصل مورد استفاده قرار گرفت به شرح دقیق و مناسب از طبقه بندی فضاهای از گروه . این ایده تا حد زیادی توسط ایده Grothendieck از در نظر گرفتن طبقه بندی فضاهای مقوله ها، و به ویژه توسط کار Quillen 's جبری K-نظریه گسترش یافته است . در این کار، که برای او مدال فیلدز به ارمغان آورد ، کویلن روش‌های کارآمد شگفت‌آوری را برای دستکاری مجموعه‌های بی‌نهایت ساده توسعه داد. این روش ها در مناطق دیگر در مرز بین هندسه جبری و توپولوژی استفاده شد. به عنوان مثال، همسانی آندره-کویلن یک حلقه یک "همسانی غیرآبلی" است که به این ترتیب تعریف و مطالعه شده است.

هر دو نظریه K جبری و همسانی آندره-کویلن با استفاده از داده های جبری برای نوشتن یک مجموعه ساده و سپس گرفتن گروه های هموتوپی این مجموعه ساده تعریف می شوند.

روش‌های ساده اغلب زمانی مفید هستند که کسی بخواهد ثابت کند که یک فضا یک فضای حلقه است . ایده اصلی این است که اگرجی یک گروه با فضای طبقه بندی است BG، سپس جی هموتوپی معادل فضای حلقه است \ امگا بی جی. اگرBG خود یک گروه است، ما می توانیم رویه را تکرار کنیم، و جی هموتوپی معادل فضای حلقه دوگانه است \Omega^2 B (BG). در صورت جی یک گروه abelian است، ما در واقع می توانیم این را بی نهایت بارها تکرار کنیم و آن را بدست آوریم جی یک فضای حلقه بی نهایت است.

حتی اگر ایکس یک گروه آبلی نیست، ممکن است ترکیبی داشته باشد که به اندازه کافی جابجایی داشته باشد تا بتوان از ایده فوق برای اثبات آن استفاده کرد. ایکسیک فضای حلقه بی نهایت است. به این ترتیب می توان ثابت کرد که جبریک-نظریه یک حلقه که به عنوان فضای توپولوژیکی در نظر گرفته می شود، یک فضای حلقه بی نهایت است.

در سال‌های اخیر، مجموعه‌های ساده در نظریه دسته‌های بالاتر و هندسه جبری مشتق‌شده استفاده شده‌اند . شبه مقوله ها را می توان به عنوان دسته هایی در نظر گرفت که در آنها ترکیب مورفیسم ها فقط تا هموتوپی تعریف می شود و اطلاعات مربوط به ترکیب هموتوپی های بالاتر نیز حفظ می شود. شبه مقوله ها به عنوان مجموعه های ساده ای تعریف می شوند که یک شرط اضافی را برآورده می کنند، شرط ضعیف Kan.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

  •  

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Simplicial_set