شبکه‌ای از زیر گروه‌ها و زیرفیلدها که گروه‌های Galois مربوطه خود را نشان می‌دهند.

نمودار شبکه ای Q به جذرهای مثبت 2 و 3، زیرشاخه های آن و گروه های گالوا مجاور است.

در ریاضیات , نظریه Galois , که در اصل توسط Évariste Galois معرفی شد , ارتباطی بین نظریه میدان و نظریه گروه فراهم می کند . این ارتباط، قضیه اساسی نظریه گالوا ، امکان تقلیل مسائل معین در نظریه میدان را به نظریه گروهی فراهم می‌کند که درک آنها را ساده‌تر و آسان‌تر می‌کند.

گالوا موضوعی را برای بررسی ریشه های چندجمله ای ها معرفی کرد . این به او اجازه داد تا معادلات چند جمله‌ای را که توسط رادیکال‌ها قابل حل هستند بر حسب ویژگی‌های گروه جایگشت ریشه‌هایشان مشخص کند - یک معادله با رادیکال قابل حل است اگر ریشه‌های آن با فرمولی که فقط شامل اعداد صحیح ، ریشه‌های n و چهار پایه عملیات محاسباتی . این به طور گسترده ای قضیه آبل-روفینی را تعمیم می دهد ، که ادعا می کند که چند جمله ای کلی با درجه حداقل پنج را نمی توان با رادیکال ها حل کرد.

تئوری گالوا برای حل مسائل کلاسیک استفاده شده است، از جمله نشان دادن این که دو مسئله دوران باستان همانطور که گفته شد قابل حل نیستند ( دوبرابر کردن مکعب و تقسیم زاویه )، و مشخص کردن چند ضلعی های منظم که قابل ساخت هستند (این مشخصه قبلاً توسط گاوس ارائه شده بود . اما تمام شواهد شناخته شده مبنی بر اینکه این توصیف کامل است نیاز به نظریه گالوا دارد).

کار گالوا چهارده سال پس از مرگ او توسط جوزف لیوویل منتشر شد . این نظریه بیشتر طول کشید تا در بین ریاضیدانان رایج شود و به خوبی درک شود.

نظریه گالوا به ارتباطات گالوا و نظریه گالوا گروتندیک تعمیم داده شده است .

 

فهرست

کاربرد در مسائل کلاسیک [ ویرایش ]

تولد و توسعه نظریه گالوا ناشی از سؤال زیر بود که تا اوایل قرن نوزدهم یکی از سؤالات اصلی باز ریاضی بود:

آیا فرمولی برای ریشه های یک معادله چند جمله ای درجه پنجم (یا بالاتر) بر حسب ضرایب چند جمله ای وجود دارد که فقط از عملیات جبری معمول (جمع، تفریق، ضرب، تقسیم) و اعمال رادیکال ها (ریشه های مربع، ریشه های مکعبی و غیره)؟

آبل از Ruffini قضیه اثبات نقض که معادلات چند جمله ای که چنین فرمولی نمی تواند وجود داشته وجود دارد فراهم می کند. نظریه Galois 'فراهم می کند یک پاسخ بسیار کامل تر به این سوال، با توضیح و چرا از آن است ممکن است برای حل برخی از معادلات، از جمله همه کسانی که از درجه چهار یا پایین تر، در روش فوق، و به همین دلیل آن را برای بسیاری از معادلات درجه پنج امکان پذیر نیست یا بالاتر علاوه بر این، ابزاری برای تعیین اینکه آیا یک معادله خاص قابل حل است یا خیر فراهم می کند که هم از نظر مفهومی واضح باشد و هم به راحتی به عنوان یک الگوریتم بیان شود .

تئوری گالوا همچنین بینش روشنی در مورد مسائل مربوط به مشکلات در ساخت و ساز قطب نما و خطوط مستقیم می دهد . این یک توصیف ظریف از نسبت طول هایی است که می توان با این روش ساخت. با استفاده از این، پاسخ دادن به مسائل کلاسیک هندسه مانند

  1. کدام چند ضلعی های منظم قابل ساخت هستند ؟ [1]
  2. چرا نمی توان هر زاویه را با استفاده از قطب نما و خط مستقیم سه گانه کرد ؟ [1]
  3. چرا دو برابر کردن مکعب با همین روش امکان پذیر نیست؟

تاریخچه [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: جبر انتزاعی § نظریه گروه اولیه

پیش تاریخ [ ویرایش ]

نظریه گالوا در مطالعه توابع متقارن سرچشمه گرفت - ضرایب یک چند جمله ای مونی (تا علامت) چند جمله ای های متقارن ابتدایی در ریشه ها هستند. به عنوان مثال، ( x – a )( x – b ) = x 2 – ( a + b ) x + ab ، که در آن 1، a + b و ab چند جمله‌ای ابتدایی درجه 0، 1 و 2 در دو متغیر هستند.

این اولین بار توسط ریاضیدان فرانسوی قرن شانزدهم، فرانسوا ویته ، در فرمول های ویته ، برای مورد ریشه های واقعی مثبت رسمیت یافت . به عقیده چارلز هاتون ، ریاضیدان بریتانیایی قرن 18 ، [2] بیان ضرایب یک چند جمله ای بر حسب ریشه (نه فقط برای ریشه های مثبت) اولین بار توسط ریاضیدان فرانسوی قرن هفدهم، آلبر ژیرار درک شد . هاتن می نویسد:

...[ژیرارد] اولین کسی بود که دکترین کلی تشکیل ضرایب قوه ها را از مجموع ریشه ها و حاصل آن ها فهمید. او اولین کسی بود که قواعد جمع کردن قدرت ریشه های هر معادله را کشف کرد.

در این راستا، متمایز یک تابع متقارن در ریشه ها است که ویژگی های ریشه ها را منعکس می کند - اگر و فقط اگر چند جمله ای دارای یک ریشه چندگانه باشد، صفر است، و برای چند جمله ای های درجه دوم و مکعبی مثبت است اگر و فقط اگر همه ریشه ها باشند. واقعی و متمایز، و منفی اگر و تنها اگر یک جفت ریشه مزدوج پیچیده مجزا وجود داشته باشد. برای جزئیات بیشتر به Discriminant:Nature of roots مراجعه کنید.

مکعب ابتدا تا حدی توسط ریاضیدان ایتالیایی قرن 15-16، Scipione del Ferro ، که نتایج خود را منتشر نکرد، حل کرد. با این حال، این روش تنها یک نوع معادله مکعبی را حل کرد. سپس این راه حل به طور مستقل در سال 1535 توسط نیکولو فونتانا تارتالیا دوباره کشف شد ، که آن را با جرولامو کاردانو در میان گذاشت و از او خواست که آن را منتشر نکند. سپس کاردانو با استفاده از استدلال های مشابه، این را به موارد متعدد دیگری تعمیم داد. جزئیات بیشتر را در روش کاردانو ببینید . پس از کشف کار دل فرو، او احساس کرد که روش تارتالیا دیگر مخفی نیست، و بنابراین راه حل خود را در سال 1545 Ars Magna خود منتشر کرد . [3] شاگرد او لودوویکو فراریچند جمله ای کوارتیک را حل کرد. راه حل او نیز در Ars Magna گنجانده شد . با این حال، کاردانو در این کتاب «فرمول کلی» برای حل یک معادله مکعبی ارائه نکرد، زیرا نه اعداد مختلط در اختیار داشت و نه نماد جبری که بتواند یک معادله مکعبی کلی را توصیف کند. با بهره مندی از نمادهای مدرن و اعداد مختلط، فرمول های این کتاب در حالت کلی کار می کنند، اما کاردانو این را نمی دانست. این رافائل بومبلی بود که توانست بفهمد چگونه با اعداد مختلط کار کند تا همه اشکال معادله مکعبی را حل کند.

یک گام دیگر در بود 1770 مقاله Réflexions جنوبی معادلات algébrique پردازنده توسط فرانسوی ها و ایتالیایی ریاضیدان ژوزف لویی لاگرانژ در روش خود را از resolvents لاگرانژ ، جایی که او با در نظر گرفتن آنها را از نظر تجزیه و تحلیل راه حل کاردانو و فراری از cubics و quartics جایگشت از ریشه‌ها، که چند جمله‌ای کمکی با درجه پایین‌تر ایجاد می‌کنند، که درک یکپارچه از راه‌حل‌ها را ارائه می‌دهد و زمینه را برای نظریه گروه و نظریه گالوا فراهم می‌کند. با این حال، بسیار مهم است که او ترکیب جایگشت ها را در نظر نگرفت . روش لاگرانژ به معادلات کوینتیک یا بالاتر گسترش نیافته است، زیرا حلال درجه بالاتری دارد.

پائولو روفینی در سال 1799 تقریباً ثابت کرد که این پنج راه‌حل کلی توسط رادیکال‌ها وجود ندارد ، که بینش کلیدی او استفاده از گروه‌های جایگشت بود ، نه فقط یک جایگشت. راه‌حل او حاوی شکافی بود که کوشی آن را جزئی می‌دانست، اگرچه این مشکل تا زمان کار ریاضی‌دان نروژی نیلز هنریک آبل ، که اثباتی را در سال 1824 منتشر کرد، اصلاح نشد و در نتیجه قضیه آبل-روفینی را ایجاد کرد .

در حالی که Ruffini و آبل نشان داد که به طور کلی های quintic نمی تواند حل شود، برخی خاص quintics می تواند حل شود، مانند X 5 - 1 = 0 و معیار دقیق که توسط آن یک داده چند جمله ای های quintic یا بالاتر تواند تعیین می کند می شود قابل حل است یا نه توسط Évariste Galois ارائه شد ، او نشان داد که حل شدنی بودن یا نبودن یک چند جمله ای معادل با این است که آیا گروه جایگشت ریشه های آن - به عبارت مدرن، گروه Galois آن - ساختار خاصی دارد - از نظر مدرن، خواه این باشد یا نه. یک گروه قابل حل بود. این گروه همیشه برای چندجمله ای های درجه چهار یا کمتر قابل حل بود، اما همیشه برای چند جمله ای های درجه پنج و بزرگتر قابل حل نبود، که توضیح می دهد که چرا در درجات بالاتر راه حل کلی وجود ندارد.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory