مشتقات جهت دار

نوشتار اصلی: مشتق جهتی

اگر f تابعی با مقدار واقعی در R n باشد ، مشتقات جزئی f تغییر آن را در جهت محورهای مختصات اندازه گیری می کنند. برای مثال، اگر f تابعی از x و y باشد ، مشتقات جزئی آن تغییر در f را در جهت x و جهت y اندازه گیری می کنند. با این حال، آنها مستقیماً تغییر f را در هیچ جهت دیگری اندازه نمی‌گیرند، مثلاً در امتداد خط مورب y = x . اینها با استفاده از مشتقات جهت اندازه گیری می شوند. بردار را انتخاب کنید

\mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n}).

مشتق جهتدار از F در جهت مقابل در نقطه X از حد است

D_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v})-f( \mathbf {x} )}{h}}.

در برخی موارد ممکن است محاسبه یا تخمین مشتق جهتی پس از تغییر طول بردار آسان تر باشد. اغلب این کار برای تبدیل مسئله به محاسبه یک مشتق جهت در جهت بردار واحد انجام می شود. برای اینکه ببینید این چگونه کار می کند، فرض کنید v = λ u که در آن u یک بردار واحد در جهت v است . h = k / λ را با ضریب اختلاف جایگزین کنید . ضریب تفاوت می شود:

{\frac {f(\mathbf {x} +(k/\lambda )(\lambda \mathbf {u} ))-f(\mathbf {x} )}{k/\lambda }}=\lambda \cdot {\frac {f(\mathbf {x} +k\mathbf {u} )-f(\mathbf {x} )}{k}}.

این λ برابر ضریب اختلاف برای مشتق جهتی f نسبت به u است . علاوه بر این، در نظر گرفتن حدی که h به صفر میل می کند، همان است که حد را در زمانی که k به صفر میل می کنیم، زیرا h و k مضربی از یکدیگر هستند. بنابراین، D v ( f ) = λ D u ( f ) . به دلیل این ویژگی تغییر مقیاس، مشتقات جهت دار اغلب فقط برای بردارهای واحد در نظر گرفته می شوند.

اگر تمام مشتقات جزئی f وجود داشته باشند و در x پیوسته باشند ، آنگاه مشتق جهتی f را در جهت v با فرمول تعیین می کنند:

D_{\mathbf {v} }{f}({\boldsymbol {x}})=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{ j}}}.

این نتیجه تعریف مشتق کل است . نتیجه این است که مشتق جهت در v خطی است ، به این معنی که D v + w ( f ) = D v ( f ) + D w ( f ) .

همین تعریف نیز کار می کند که F یک تابع با مقادیر در R متر . تعریف فوق برای هر جزء از بردارها اعمال می شود. در این مورد، مشتق جهت یک بردار در R متر .

مشتق کل، دیفرانسیل کل و ماتریس ژاکوبین

نوشتار اصلی: مشتق کل

هنگامی که F یک تابع از یک زیر مجموعه باز است R N به R متر ، مشتق جهت F در جهت انتخاب بهترین تقریب خطی است F که در آن نقطه و در این جهت. اما وقتی n > 1 باشد ، هیچ مشتق جهتی واحدی نمی تواند تصویر کاملی از رفتار f ارائه دهد . مشتق کل با در نظر گرفتن همه جهات به طور همزمان تصویر کاملی را ارائه می دهد. یعنی برای هر بردار v که از a شروع می شود ، فرمول تقریب خطی برقرار است:

f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )\تقریبا f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a})\mathbf {v}.

درست مانند مشتق تک متغیری، f  ′( a ) طوری انتخاب می شود که خطا در این تقریب تا حد امکان کوچک باشد.

اگر n و m هر دو یکی باشند، مشتق f  ′( a ) یک عدد و عبارت f  ′( a ) v حاصلضرب دو عدد است. اما در ابعاد بالاتر، غیرممکن است که f  ′( a ) یک عدد باشد. اگر آن را یک عدد بودند، پس از F  '( ) V خواهد بود یک بردار در R N در حالی که شرایط دیگر می شود بردارها در R متر ، و در نتیجه فرمول حس را ندارد. برای اینکه فرمول تقریب خطی منطقی باشد، f  "() باید یک تابع است که می فرستد بردارها در شود R N به بردار در R متر ، و F  '( ) V باید این تابع در ارزیابی نشان V .

برای تعیین اینکه چه نوع تابعی است، توجه کنید که فرمول تقریب خطی را می توان به صورت بازنویسی کرد

f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )-f(\mathbf {a})\تقریبا f'(\mathbf {a})\mathbf {v}.

توجه داشته باشید که اگر ما بردار دیگری را انتخاب W ، پس از این معادله تقریبی تعیین معادله تقریبی دیگر با جایگزین W برای V . معادله تقریبی سوم را با جایگزینی w به جای v و a + v به جای a تعیین می کند . با تفریق این دو معادله جدید به دست می آید

f(\mathbf {a} +\mathbf {v} +\mathbf {w} )-f(\mathbf {a} +\mathbf {v})-f(\mathbf {a} +\mathbf {w}) +f(\mathbf {a})\تقریباً f'(\mathbf {a} +\mathbf {v})\mathbf {w} -f'(\mathbf {a})\mathbf {w}.

اگر فرض کنیم که v کوچک است و مشتق به طور پیوسته در a تغییر می کند ، f  ′( a + v ) تقریباً برابر با f  ′( a ) است و بنابراین سمت راست تقریباً صفر است. سمت چپ را می توان به روشی متفاوت با استفاده از فرمول تقریب خطی با v + w جایگزین v بازنویسی کرد . فرمول تقریب خطی نشان می دهد:

{\begin{تراز شده}0&\approx f(\mathbf {a} +\mathbf {v} +\mathbf {w} )-f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )-f(\mathbf { a} +\mathbf {w} )+f(\mathbf {a})\\&=(f(\mathbf {a} +\mathbf {v} +\mathbf {w} )-f(\mathbf {a } ))-(f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )-f(\mathbf {a} ))-(f(\mathbf {a} +\mathbf {w})-f(\mathbf {a} ))\\&\تقریباً f'(\mathbf {a})(\mathbf {v} +\mathbf {w})-f'(\mathbf {a})\mathbf {v} -f' (\mathbf {a} )\mathbf {w} .\end{تراز شده}}

این نشان می دهد که F  '( ) است تبدیل خطی از فضای برداری R N به بردار R متر . در واقع، می توان با اندازه گیری خطا در تقریب ها، این یک مشتق دقیق را ایجاد کرد. فرض کنید که خطا در این فرمول تقریب خطی با یک بار ثابت محدود می شود || v ||، که در آن ثابت مستقل از v است اما پیوسته به a بستگی دارد . سپس، پس از افزودن یک عبارت خطای مناسب، همه برابری های تقریبی بالا را می توان به عنوان نابرابری بازنویسی کرد. به طور خاص، f  ′( a )یک تبدیل خطی تا یک عبارت خطای کوچک است. در حدی که v و w به صفر تمایل دارند، بنابراین باید تبدیل خطی باشد. از آنجایی که ما مشتق کل را با در نظر گرفتن حدی تعریف می کنیم که v به صفر برسد، f  ′( a ) باید تبدیل خطی باشد.

در یک متغیر، این واقعیت که مشتق بهترین تقریب خطی است با این واقعیت بیان می شود که حد نصاب های اختلاف است. با این حال، ضریب تفاوت معمول در ابعاد بالاتر معنی ندارد زیرا معمولاً تقسیم بردارها ممکن نیست. به طور خاص، صورت و مخرج خارج قسمت تفاوت هستند حتی در فضای برداری یکسان نیست: دروغ کسر در برد R متر در حالی که دروغ مخرج در حوزه R N . علاوه بر این، مشتق تبدیل خطی است، یک نوع شی متفاوت از صورت و مخرج. برای دقیق ساختن این ایده که f  ′( a )بهترین تقریب خطی است، لازم است فرمول متفاوتی را برای مشتق تک متغیری تطبیق دهیم که در آن این مشکلات ناپدید می شوند. اگر f  : R → R ، تعریف معمول مشتق ممکن است دستکاری شود تا نشان دهد که مشتق f در a عدد یکتا f  ′( a ) است به طوری که

{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-(f(a)+f'(a)h)}{h}}=0.}

این معادل است

{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {|f(a+h)-(f(a)+f'(a)h)|}{|h|}}=0}

زیرا حد یک تابع به صفر میل می کند اگر و فقط اگر حد قدر مطلق تابع به صفر میل کند. این آخرین فرمول را می توان با جایگزین کردن مقادیر مطلق با هنجارها با وضعیت چند متغیره سازگار کرد .

تعریف مشتق کل از F در ، بنابراین، این است که آن را منحصر به فرد خطی تحول است F  '( ): R N → R متر به طوری که

{\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to 0}{\frac {\lVert f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-(f(\mathbf {a})+f'( \mathbf {a} )\mathbf {h} )\rVert }{\lVert \mathbf {h} \rVert }}=0.}

در اینجا ساعت یک بردار در R N ، بنابراین هنجار در مخرج طول استاندارد است R N . با این حال، F '( ) ساعت یک بردار در R متر و هنجار در صورت کسر طول استاندارد است R متر . اگر V یک بردار با شروع در است ، پس از آن ب  ( ) V است به نام pushforward از V توسط F و گاهی اوقات نوشته شده F * V .

اگر مشتق کل در a وجود داشته باشد ، تمام مشتقات جزئی و مشتقات جهتی f در a وجود دارند و برای همه v ، f  ′( a ) v مشتق جهتی f در جهت v است . اگر f را با استفاده از توابع مختصات بنویسیم ، به طوری که f = ( f 1 , f 2 , ..., f m ) , آنگاه مشتق کل را می توان با استفاده از مشتقات جزئی به عنوان ماتریس بیان کرد . این ماتریس نامیده می شودماتریس ژاکوبین از F در:

f'(\mathbf {a} )=\ نام عامل {Jac} _{\mathbf {a} }=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right) _{ij}.

وجود مشتق کل f '( a ) به شدت از وجود تمام مشتقات جزئی قوی تر است، اما اگر مشتقات جزئی وجود داشته باشند و پیوسته باشند، مشتق کل وجود دارد، توسط ژاکوبین داده می شود و پیوسته به یک بستگی دارد. .

تعریف مشتق کل، تعریف مشتق را در یک متغیر جمع می کند. یعنی اگر f تابعی با ارزش واقعی از یک متغیر واقعی باشد، مشتق کل وجود دارد اگر و تنها در صورتی که مشتق معمول وجود داشته باشد. ماتریس ژاکوبین به یک ماتریس 1×1 تقلیل می یابد که تنها ورودی آن مشتق f '( x ) است. این ماتریس 1×1 این ویژگی را برآورده می کند که f ( a + h ) − ( f ( a ) + f  ′( a ) h ) تقریباً صفر است، به عبارت دیگر که

f(a+h)\تقریبا f(a)+f'(a)h.

تا تغییر متغیرها، این عبارتی است که تابعx\mapsto f(a)+f'(a)(xa)بهترین تقریب خطی برای f در a است .

مشتق کل یک تابع مانند حالت تک متغیری تابع دیگری را نمی دهد. این به این دلیل است که مشتق کل یک تابع چند متغیره باید اطلاعات بسیار بیشتری نسبت به مشتق یک تابع تک متغیری ثبت کند. در عوض، مشتق کل تابعی از بسته مماس منبع به بسته مماس هدف می دهد.

آنالوگ طبیعی مشتقات کل مرتبه دوم، سوم و بالاتر یک تبدیل خطی نیست، تابعی بر روی دسته مماس نیست، و با گرفتن مکرر مشتق کل ساخته نمی شود. آنالوگ یک مشتق مرتبه بالاتر، به نام جت ، نمی تواند یک تبدیل خطی باشد، زیرا مشتقات مرتبه بالاتر اطلاعات هندسی ظریفی مانند تقعر را منعکس می کنند، که نمی توان آن را بر اساس داده های خطی مانند بردارها توصیف کرد. نمی تواند تابعی بر روی دسته مماس باشد زیرا بسته مماس فقط فضایی برای فضای پایه و مشتقات جهت دارد. از آنجایی که جت ها اطلاعات مرتبه بالاتر را می گیرند، آنها مختصات اضافی را به عنوان آرگومان می گیرند که نشان دهنده تغییرات مرتبه بالاتر در جهت است. فضای تعیین شده توسط این مختصات اضافی، نامیده می شودجت باندل . رابطه بین مشتق کل و مشتقات جزئی یک تابع در رابطه بین جت مرتبه k یک تابع و مشتقات جزئی آن از مرتبه کمتر یا مساوی k موازی می شود .

توسط بارها و بارها گرفتن مشتق کل، نسخه های بدست بالاتر از مشتق فریشه ، متخصص به R ص . K هفتم سفارش مشتق کل ممکن است به عنوان یک نقشه تفسیر

D^{k}f:\mathbb {R} ^{n}\to L^{k}(\mathbb {R} ^{n}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{n}،\ mathbb {R} ^{m})

که طول می کشد یک نقطه X در R N و اختصاص به آن یک عنصر از فضای K -Linear از نقشه های R N به R متر - "بهترین" (به مفهوم خاص دقیق) K -Linear تقریب به F در آن نقطه. با از پیش ترکیب کردن آن با نقشه مورب Δ, x → ( x , x ) می توان یک سری تیلور تعمیم یافته را آغاز کرد.

{\displaystyle {\begin{aligned}f(\mathbf {x})&\approx f(\mathbf {a})+(Df)(\mathbf {xa})+\left(D^{2}f\ راست)(\Delta (\mathbf {xa} ))+\cdots \\&=f(\mathbf {a} )+(Df)(\mathbf {xa} )+\left(D^{2}f\ راست)(\mathbf {xa} ,\mathbf {xa} )+\cdots \\&=f(\mathbf {a} )+\sum _{i}(Df)_{i}(x_{i}- a_{i})+\sum _{j,k}\left(D^{2}f\right)_{jk}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k })+\cdots \end{تراز شده}}}

که در آن f ( ) با یک تابع ثابت شده، ایکس من - من اجزای بردار هستند X - ، و ( Df برای ) من و ( D 2 F ) JK اجزای هستند Df برای و D 2 F به عنوان خطی تحولات

تعمیم ها

نوشتار اصلی: تعمیم مشتق

مفهوم مشتق را می توان به بسیاری از تنظیمات دیگر تعمیم داد. موضوع رایج این است که مشتق یک تابع در یک نقطه به عنوان یک تقریب خطی از تابع در آن نقطه عمل می کند.

  • تعمیم مهم از نگرانی های مشتق توابع پیچیده از متغیرهای پیچیده ، مانند توابع از (یک دامنه در) اعداد مختلط C به C . مفهوم مشتق چنین تابعی با جایگزینی متغیرهای واقعی با متغیرهای مختلط در تعریف به دست می آید. اگر C با شناسایی R 2 با نوشتن یک عدد مختلط Z عنوان X + مختلط ، و سپس یک تابع مشتقپذیر از C به C قطعا به عنوان یک تابع از مشتقپذیر است R 2 به R 2(به این معنا که مشتقات جزئی آن همه وجود دارند)، اما برعکس آن به طور کلی صادق نیست: مشتق مختلط تنها در صورتی وجود دارد که مشتق واقعی خطی مختلط باشد و این روابط بین مشتقات جزئی به نام معادلات کوشی-ریمان را تحمیل می کند - رجوع کنید به هولومورف. توابع .
  • تعمیم دیگر مربوط به توابع بین منیفولدهای متمایز یا صاف است . به طور مستقیم صحبت مانند یک منیفولد M یک فضا است که می توان در نزدیکی هر نقطه تقریب است X توسط یک فضای برداری به نام آن فضای مماس : به عنوان مثال نمونه است سطح صاف در R 3 . مشتق (یا دیفرانسیل) یک نقشه (متمایز) f : M → N بین منیفولدها، در یک نقطه x در M ، یک نقشه خطی از فضای مماس M در x به فضای مماسN در f ( x ). تابع مشتق یک نقشه بین می شود بسته نرم افزاری مماس از M و N . این تعریف در هندسه دیفرانسیل اساسی است و کاربردهای زیادی دارد - به جلو (دیفرانسیل) و عقبگرد ( هندسه دیفرانسیل) مراجعه کنید .
  • تمایز همچنین می تواند برای نقشه های بین فضاهای برداری با ابعاد بی نهایت مانند فضاهای Banach و فضاهای Fréchet تعریف شود . یک تعمیم هم از مشتق جهت دار به نام مشتق Gateaux و هم از دیفرانسیل به نام مشتق Fréchet وجود دارد .
  • یکی از کمبودهای مشتق کلاسیک این است که بسیاری از توابع قابل تمایز نیستند. با این وجود، راهی برای گسترش مفهوم مشتق وجود دارد تا بتوان با استفاده از مفهومی به نام مشتق ضعیف، تمام توابع پیوسته و بسیاری از توابع دیگر را متمایز کرد . ایده این است که توابع پیوسته را در فضای بزرگتری به نام فضای توزیع ها جاسازی کنیم و فقط مستلزم این است که یک تابع «به طور متوسط» قابل تفکیک باشد.
  • خواص مشتق الهام بخش معرفی و مطالعه بسیاری از اشیاء مشابه در جبر و توپولوژی بوده است - برای مثال به جبر دیفرانسیل مراجعه کنید .
  • معادل گسسته تمایز، تفاوت های محدود است . مطالعه حساب دیفرانسیل با حساب تفاوت های محدود در حساب مقیاس زمانی یکسان می شود .
  • مشتق حسابی را نیز ببینید .

تاریخ

نوشتار اصلی: تاریخچه حسابان

حساب دیفرانسیل و انتگرال ، که در تاریخ اولیه خود به عنوان حساب بی نهایت کوچک شناخته می شود ، یک رشته ریاضی است که بر حدود ، توابع ، مشتقات، انتگرال ها و سری های نامتناهی تمرکز دارد . آیزاک نیوتن و گوتفرید لایب نیتس به طور مستقل حساب دیفرانسیل و انتگرال را در اواسط قرن هفدهم کشف کردند. با این حال، هر یک از مخترعان مدعی شدند که دیگری کار او را در یک مشاجره تلخ که تا پایان زندگی آنها ادامه داشت، دزدیده است .

همچنین ببینید

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Derivative