ادامه مشتق (نقطه عطف-نشانه گذاری)

نقطه عطف

نوشتار اصلی: نقطه عطف

نقطه ای که مشتق دوم تابع علامت آن را تغییر می دهد، نقطه عطف نامیده می شود . [3] در یک نقطه عطف، مشتق دوم ممکن است صفر باشد، همانطور که در مورد نقطه عطف x = 0 تابع داده شده توسط $f(x) = x^3$ ، یا ممکن است وجود نداشته باشد، همانطور که در مورد نقطه عطف x = 0 تابع داده شده توسط $f(x)=x^{\frac {1}{3}}$ . در یک نقطه عطف، یک تابع از یک تابع محدب به یک تابع مقعر یا بالعکس تغییر می کند.

نشانه گذاری (جزئیات)

مقاله اصلی: نماد برای تمایز

نماد لایب نیتس

نوشتار اصلی: نماد لایب نیتس

نمادها $dx$ ، $دو$ ، و ${\frac {dy}{dx}}$ توسط گوتفرید ویلهلم لایب نیتس در سال 1675 معرفی شد. [4] هنوز معمولاً زمانی استفاده می شود که معادله y = f ( x ) به عنوان یک رابطه تابعی بین متغیرهای وابسته و مستقل در نظر گرفته شود . سپس اولین مشتق با نشان داده می شود

${\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {df}{dx}},{\text{ یا }}{\frac {d}{dx}}f,$

و زمانی به عنوان یک ضریب بینهایت کوچک در نظر گرفته می شد . مشتقات بالاتر با استفاده از نماد بیان می شوند

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}،{\text{ یا }}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f$

برای مشتق n ام از $y=f(x)$ . اینها مخفف هایی برای کاربردهای متعدد عملگر مشتق هستند. مثلا،

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).$

با علامت لایب نیتس می توانیم مشتق از را بنویسیم $y$ در نقطه $x=a$ به دو روش مختلف:

$\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}={\frac {dy}{dx}}(a).$

نماد لایب نیتس به فرد اجازه می دهد تا متغیری را برای تمایز (در مخرج) مشخص کند که در تمایز جزئی مرتبط است . همچنین می توان از آن برای نوشتن قانون زنجیره به عنوان [یادداشت 2] استفاده کرد.

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.$

نماد لاگرانژ

گاهی اوقات به عنوان نماد اول نامیده می شود ، [5] یکی از رایج ترین نمادهای مدرن برای تمایز به دلیل جوزف-لوئیس لاگرانژ است و از علامت اول استفاده می کند ، به طوری که مشتق یک تابع است. $f$ نشان داده شده است $f'$ . به همین ترتیب، مشتق دوم و سوم نشان داده می شود

$(f')'=f''$ و $(f'')''=f''''.$

برای نشان دادن تعداد مشتقات فراتر از این نقطه، برخی از نویسندگان از اعداد رومی در بالانویس استفاده می کنند ، در حالی که برخی دیگر عدد را در پرانتز قرار می دهند:

$f^{\mathrm {iv} }$ یا $f^{(4)}.$

نماد اخیر تعمیم می یابد تا نماد را به دست آورد $f^{(n)}$ برای مشتق n ام از $f$ - این نماد زمانی بسیار مفید است که بخواهیم در مورد مشتق به عنوان یک تابع صحبت کنیم، زیرا در این مورد نماد لایب نیتس می تواند دست و پا گیر شود.

نماد نیوتن

نماد نیوتن برای تمایز، که نماد نقطه نیز نامیده می شود، یک نقطه را روی نام تابع قرار می دهد تا مشتق زمانی را نشان دهد. اگر $y=f(t)$ ، سپس

${\dot {y}}$ و ${\ddot {y}}$

به ترتیب مشتقات اول و دوم را نشان می دهند $y$ . این نماد منحصراً برای مشتقات با توجه به زمان یا طول قوس استفاده می شود . معمولاً در معادلات دیفرانسیل در فیزیک و هندسه دیفرانسیل استفاده می شود . [6] [7] با این حال، نماد نقطه برای مشتقات مرتبه بالا (مرتب 4 یا بیشتر) غیرقابل مدیریت می شود و نمی تواند با چندین متغیر مستقل مقابله کند.

نماد اویلر

نماد اویلر از یک عملگر دیفرانسیل استفاده می کند $D$ ، که روی یک تابع اعمال می شود $f$ برای دادن مشتق اول $دی اف$ . N هفتم مشتق نشان داده است $D^{n}f$ .