​

 تابعگر

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

گاهی اوقات تابعگر ها در برنامه نویسی تابعگری ظاهر می شوند . به عنوان مثال، زبان برنامه نویسی هاسکل دارای کلاسی است Functor که fmapدر آن یک تابعگر چند تایپی برای نگاشت توابع ( همریختی ها در هاسک ، رسته انواع هاسکل) [9] بین انواع موجود تا توابع بین برخی از انواع جدید استفاده می شود. [10]این مقاله در مورد مفHom ریاضی است. برای دیگر کاربردها، به تابعگر (ابهام‌زدایی) مراجعه کنید .

"تابعگرلنگ" به اینجا هدایت می شود. برای حدس تابعگر لنگ لند در نظریه اعداد، به برنامه لنگ لند § تابعگرلنگ مراجعه کنید .

در ریاضیات ، به طور خاص نظریه رده ، یک عمل کننده است نقشه برداری بین رسته ها . تابعگر ها برای اولین بار در توپولوژی جبری در نظر گرفته شدند ، جایی که اشیاء جبری (مانند گروه بنیادی ) به فضاهای توپولوژیکی مرتبط هستند ، و نقشه های بین این اشیاء جبری به نقشه های پیوسته بین فضاها مرتبط است. امروزه، تابعگر‌ها در ریاضیات مدرن برای مرتبط کردن رسته‌های مختلف استفاده می‌شوند. بنابراین، تابعگر ها در تمام زمینه های ریاضی که نظریه رسته در آنها اعمال می شود، مهم هستند.

کلمات رسته و عمل کننده شده توسط ریاضیدانان از فلاسفه قرض گرفته شد ارسطو و رودلف کارناپ بود. [1] دومی از تابعگر در یک بافت زبانی استفاده کرد. [2] کلمه تابعگر را ببینید .

 

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

اجازه دهید C و D می باشد رسته . عمل کننده F از C به D یک نگاشت است که [3]

  • هر شی را مرتبط می کند ایکسدر C به یک شیF(X)در D ،
  • هر همریختی را مرتبط می کند f \ دو نقطه X \ به Yدر C به یک همریختی{\displaystyle F(f)\colon F(X)\to F(Y)}در D به طوری که دو شرط زیر برقرار باشد:
    • F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\! برای هر شی ایکسدر C ،
    • F(g\circ f)=F(g)\circ F(f) برای تمام همریختی ها {\displaystyle f\colon X\to Y\,\!} و {\displaystyle g\colon Y\to Z}در C .

یعنی تابعگرها باید همریختی های همانی و ترکیب همریختی ها را حفظ کنند .

همورد و تضاد [ ویرایش ]

همچنین ببینید: همورد و تضاد (علوم کامپیوتر)

ساختارهای زیادی در ریاضیات وجود دارد که تابعگر هستند، اما به این دلیل که آنها "همریختی ها را برمیگردانند" و "ترکیب معکوس" را دارند. سپس یک تابعگر متضاد F را از C به D به عنوان یک نگاشت تعریف می کنیم

  • مرتبط با هر شی ایکسدر C با یک شیF(X)در D ،
  • با هر همریختی مرتبط است {\displaystyle f\colon X\to Y}در C با همریختی{\displaystyle F(f)\colon F(Y)\to F(X)}در D به طوری که دو شرط زیر برقرار باشد:
    • F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\! برای هر شی ایکسدر C ،
    • F(g\circ f)=F(f)\circ F(g) برای تمام همریختی ها {\displaystyle f\colon X\to Y} و {\displaystyle g\colon Y\to Z}در C .

توجه داشته باشید که تابعگر های متضاد جهت ترکیب را معکوس می کنند.

تابعگر های معمولی را تابعگر های همورد نیز می نامند تا آنها را از تابعگر های متضاد تشخیص دهند. توجه داشته باشید که می توان یک تابعگر متناقض را به عنوان تابعگر همورد در رسته مقابل نیز تعریف کرد C^{\mathrm {op} }. [4] برخی از نویسندگان ترجیح می دهند همه عبارات را به صورت همورد بنویسند. یعنی به جای گفتن{\displaystyle F\colon C\to D} یک تابعگر متناقض است، آنها به سادگی می نویسند {\displaystyle F\colon C^{\mathrm {op} }\to D} (یا گاهی اوقات {\displaystyle F\colon C\to D^{\mathrm {op} }}) و آن را تابعگر نامید.

تابعگر های متناقض گاهی اوقات هم تابعگر نامیده می شوند . [5]

قراردادی وجود دارد که به "بردارها" اشاره دارد - به عنوان مثال، زمینه های برداری ، عناصر فضای بخش ها{\displaystyle \Gamma (TM)}از یک بسته نرم افزاری مماس TM- به عنوان "متضاد" و به "هم بردار" - به عنوان مثال، 1-شکل ها ، عناصر فضای بخش ها{\displaystyle \Gamma (T^{*}M)}از یک بسته کوتانژانت T^{*}M- به عنوان "همورد". این اصطلاح از فیزیک سرچشمه می گیرد و دلیل منطقی آن به موقعیت شاخص ها ("طبقه بالا" و "طبقه پایین") در عباراتی مانند{\displaystyle x'^{\,i}=\Lambda _{j}^{i}x^{j}} برای {\displaystyle \mathbf {x} '={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} } یا {\displaystyle \omega '_{i}=\Lambda _{i}^{j}\omega _{j}} برای {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}'={\boldsymbol {\omega }}{\boldsymbol {\Lambda }}^{T}.} در این فرمالیسم مشاهده می شود که نماد تبدیل مختصات {\displaystyle \Lambda _{i}^{j}} (نماینده ماتریس {\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}^{T}}) بر اساس بردارهای "به همان شیوه" که روی "مختصات همکور" عمل می کند: {\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\Lambda _{i}^{j}\mathbf {e} _{j}}- در حالی که بر روی «مختصات بردار» «برعکس» عمل می کند (اما «به همان شیوه» که روی هم بردارهای پایه: {\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=\Lambda _{j}^{i}\mathbf {e} ^{j}}). این اصطلاحات خلاف به یک مورد استفاده در تئوری رده است، زیرا این covectors که است Pullbacks از به طور کلی و در نتیجه دارای همورد ، در حالی که بردار به طور کلی هموردا از آنها را می توان به جلو رانده . همچنین همورد و تضاد بردارها را ببینید .

تابعگر مقابل [ ویرایش ]

هر تابعگر {\displaystyle F\colon C\to D}تابعگر متضاد را القا می کند {\displaystyle F^{\mathrm {op} }\colon C^{\mathrm {op} }\to D^{\mathrm {op} }}، جایی که C^{\mathrm {op} } و D^{\mathrm {op} }هستند رسته متضاد بهسی و دی. [6] طبق تعریف،F^{\mathrm {op} } اشیاء و همریختی ها را به طور یکسان نقشه می کشد اف. از آنجا کهC^{\mathrm {op} } منطبق نیست با {سی به عنوان یک رسته، و به طور مشابه برای دی، F^{\mathrm {op} } متمایز است از اف. مثلا هنگام آهنگسازی{\displaystyle F\colon C_{0}\to C_{1}} با {\displaystyle G\colon C_{1}^{\mathrm {op} }\to C_{2}}، باید از هر دو استفاده کرد G\circ F^{\mathrm {op} } یا G^{\mathrm {op}}\circ F. توجه داشته باشید که به دنبال ویژگی رسته مقابل ،(F^{\mathrm {op} })^{\mathrm {op}}=F.

دو کاره و چندکاره [ ویرایش ]

دو تابعگر (همچنین به عنوان تابعگر باینری شناخته می شود ) تابعگری است که دامنه آن یک رسته ضرب است . به عنوان مثال، تابعگر Hom از نوع C op × C → Set است . می توان آن را به عنوان یک تابعگر در دو آرگومان مشاهده کرد. عمل کننده Hom یک مثال طبیعی است؛ در یک استدلال متضاد و در استدلال دیگر متضاد است.

multiتابعگر یک کلیت از مفHom عمل کننده است N متغیر است. بنابراین، برای مثال، یک دو تابعگر یک چندکاره با n = 2 است .

مثالها [ ویرایش ]

نمودار : برای رسته های C و J ، یک نمودار از نوع J در C یک تابعگر همورد است.{\displaystyle D\colon J\to C}.

( رسته نظری) presheaf : برای رسته های C و J ، یک J- presheaf در C یکتابعگر متضاداست.{\displaystyle D\Colon C\to J}.

Presheaves: اگر X یک فضای توپولوژیکی است ، مجموعه های باز در X یک مجموعه جزئی مرتب شده Open( X ) را تحت گنجاندن تشکیل می دهند. مانند هر مجموعه جزئی مرتب شده، Open( X ) یک رسته کوچک را با افزودن یک پیکان U → V تشکیل می دهد اگر و فقط اگرU\subsetq V. تابعگر‌های متضاد در Open( X ) در X پیش‌شیو نامیده می‌شوند . به عنوان مثال، با اختصاص به هر مجموعه باز U جبر انجمنی از توابع پیوسته و حقیقی در U ، یک presheaf جبری در به دست آوردن X .

عمل کننده ثابت: انجام دهنده و C → D که نقشه هر شی از C به یک شی ثابت X در D و هر همریختی  C به همریختی همانی در X . چنین تابعگری را تابعگر ثابت یا انتخابی می نامند .

Endoتابعگر : تابعگری که یک رسته را به همان رسته نگاشت می کند. به عنوان مثال، تابعگر چند جمله ای .

تابعگر همانی : در رسته C ، نوشته شده 1 C یا id C ، یک شی را به خودش و یک همریختی را برای خودش ترسیم می کند. تابعگر همانی یک تابعگر درونی است.

عمل کننده مورب : در عمل کننده مورب به عنوان عمل کننده از تعریف D به رسته عمل کننده D C که هر شی در می فرستد D به عمل کننده ثابت که در آن شیء است.

محدود عمل کننده : برای ثابت رسته شاخص J ، اگر هر عمل کننده J → C یک حد (به عنوان مثال اگر C است)، سپس حد عمل کننده C J → C اختصاص به هر عمل کننده حد آن است. وجود این تابعگر را می توان با پی بردن به هم پیوستن راست به تابعگر مورب و استناد به قضیه تابعگر الحاقی فرید اثبات کرد . این نیاز به یک نسخه مناسب از اصل موضوع انتخابی دارد . اظهارات مشابهی در مورد تابعگر colimit (که به هر تابعگری colimit خود را اختصاص می دهد و همورد است) اعمال می شود.

قدرت مجموعه عمل کننده: مجموعه قدرت عمل کننده P  : مجموعه ای → مجموعه نقشه های هر مجموعه به آن مجموعه قدرت و هر تابعگر{\displaystyle f\colon X\to Y} به نقشه ای که ارسال می کند {\displaystyle U\in {\mathcal {P}}(X)} به تصویر آن{\displaystyle f(U)\in {\mathcal {P}}(Y)}. همچنین می توان تابعگر مجموعه توان متناقض را که ارسال می کند در نظر گرفت{\displaystyle f\colon X\to Y} به نقشه ای که ارسال می کند V\subseq Yبه تصویر معکوس آن f^{-1}(V)\subsetq X.

به عنوان مثال، اگر {\displaystyle X=\{0,1\}} سپس {\displaystyle F(X)={\mathcal {P}}(X)=\{\{\},\{0\},\{1\},X\}}. فرض کنید{\displaystyle f(0)=\{\}} و {\displaystyle f(1)=X}. سپسF(f) تابعگری است که هر زیر مجموعه ای را ارسال می کند U از ایکس به تصویر آن f(U)، که در این مورد به معنای {\displaystyle \{\}\mapsto f(\{\})=\{\}}، جایی که \mapsto  نشان دهنده نگاشت زیر است F(f)، بنابراین این نیز می تواند به صورت نوشته شود {\displaystyle (F(f))(\{\})=\{\}}. برای سایر مقادیر،{\displaystyle \{0\}\mapsto f(\{0\})=\{f(0)\}=\{\{\}\},\{1\}\mapsto f(\{1\ })=\{f(1)\}=\{X\},\{0,1\}\mapsto f(\{0,1\})=\{f(0),f(1)\ }=\{\{\}،X\}.} توجه داشته باشید که {\displaystyle f(\{0,1\})}در نتیجه توپولوژی بی اهمیت را ایجاد می کندایکس. همچنین توجه داشته باشید که اگرچه تابعگرf در این مثال به مجموعه توان نگاشت شده است ایکس، به طور کلی لازم نیست اینطور باشد.

فضای برداری دوگانه :نقشه ای که به هرفضای برداری فضایدوگانهخودرا اختصاص می دهدو به هرنقشه خطیدوتایی یا جابجایی آن یک تابعگر متضاد از رسته همه فضاهای برداری در یکمیدانثابتبه خودش است.

گروه بنیادی: رسته فضاهای توپولوژیکی نوک تیز ، یعنی فضاهای توپولوژیکی با نقاط متمایز را در نظر بگیرید. اجسام جفت هستند ( X , x 0 ) که X فضای توپولوژیکی و x 0 نقطه ای در X است . یک همریختی از ( X , x 0 ) به ( Y , y 0 ) توسط یک نقشه پیوسته f داده می شود  : X → Y با f ( x0 ) = y 0 .

به هر فضای توپولوژیک X با نقطه برجسته X 0 ، می توان تعریف گروه اساسی مستقر در X 0 ، مشخص π 1 ( X ، ایکس 0 ) . این گروه از کلاس های هموتوپی حلقه ها بر اساس x 0 ، با عملیات گروهی الحاق است. اگر f  : X → Y شکلی از فضاهای نوک تیز باشد ، هر حلقه در X با نقطه پایه x 0 را می توان باf برای ایجاد یک حلقه در Y با نقطه پایه y 0 . این عملیات با رابطه هم ارزی هموتوپی و ترکیب حلقه ها سازگار است و یک همریختی گروهی از π( X , x 0 ) به π( Y , y 0 ) بدست می آوریم . بنابراین ما یک تابعگر از رسته فضاهای توپولوژیکی نوک تیز به رسته گروه ها به دست می آوریم .

در رسته فضاهای توپولوژیکی (بدون نقطه متمایز)، کلاس های هموتوپی منحنی های عمومی را در نظر می گیریم، اما نمی توان آنها را تشکیل داد مگر اینکه یک نقطه پایانی مشترک داشته باشند. بنابراین یکی است اساسی groupoid به جای گروه های اساسی، و این ساخت و ساز تابعگرial است.

جبر از توابع پیوسته: عمل کننده دارای همورد از این رسته از فضاهای توپولوژیک (با نقشه های مداوم به عنوان همریختی ها) به این رده از واقعی جبری انجمنی است با اختصاص به هر فضای توپولوژیک داده X جبر C ( X ) از تمام توابع پیوسته و حقیقی در آن فضا هر نقشه پیوسته f  : X → Y یک هم شکل جبری را القا می کند C( f ) : C( Y ) → C( X ) توسط قانون C( f )( φ ) = φ ∘ fبرای هر φ در C( Y ).

بسته‌های مماس و هم‌تانژانت: نقشه‌ای که هر منیفولد قابل تمایز را به بسته مماس خود و هر نقشه صاف را به مشتق خود می‌فرستد، یک تابعگر همورد از رسته منیفولدهای متمایز به رسته بسته‌های برداری است .

با انجام این ساختارها به صورت نقطه‌ای ، فضای مماس ، یک تابعگر همورد از رسته منیفولدهای قابل تمایز نوک‌دار به رسته فضاهای برداری واقعی می‌دهد. به همین ترتیب، فضای هم‌تانژانت یک تابعگر متناقض است، که اساساً ترکیب فضای مماس با فضای دوگانه بالا است.

کنش‌ها/بازنمایی‌های گروهی : هر گروه G را می‌توان به‌عنوان رسته‌ای با یک شی در نظر گرفت که شکل‌های آن عناصر G است . عمل کننده از G به مجموعه ای است پس از آن چیزی جز یک اقدام گروه از G در یک مجموعه خاص، یعنی G -set. به همین ترتیب، تابعگری از G به رسته فضاهای برداری ، Vect K ، نمایشی خطی از G است . به طور کلی، یک تابعگر G → C را می توان به عنوان "عمل" G در نظر گرفتبر روی یک شی در رده C . اگر C یک گروه است، پس این عمل یک هم شکلی گروهی است.

جبر لی: اختصاص دادن به هر گروه لی واقعی (مختلط) جبر لی واقعی (مختلط) آن یک تابعگر تعریف می کند.

ضربات تانسور: اگر C رسته فضاهای برداری را در یک میدان ثابت با نقشه های خطی به عنوان همریختی نشان می دهد، آنگاه حاصل ضرب تانسور V\times Wیک تابعگر C × C → C را تعریف می کند که در هر دو آرگومان همورد است. [7]

تابعگرs فراموشکار: انجام دهنده و U  : دورهای → مجموعه است که نقشه یک گروه به مجموعه ای زمینه ای آن و یک همریخت گروه به تابعگر اساسی آن از مجموعه های عمل کننده است. [8] تابعگرs مانند این که "فراموش" برخی از ساختار، نامیده می شوند تابعگرs فراموشکار . مثال دیگر تابعگر Rng → Ab است که یک حلقه را به گروه همریختی افزودنی زیرین خود نگاشت می کند . همریختی در Rng ( هموهمریختی حلقه ) در Ab تبدیل به همریختی می شود (هموهمریختی های گروه آبلی).

تابعگرهای آزاد: حرکت در جهت متضاد تابعگرهای فراموشکار، تابعگرهای آزاد هستند. انجام دهنده و رایگان F  : مجموعه ای → دورهای هر مجموعه می فرستد X به گروه آزاد تولید شده توسط X . توابع به همریختی های گروهی بین گروه های آزاد نگاشت می شوند. ساخت و سازهای رایگان برای بسیاری از رسته ها بر اساس مجموعه های ساخت یافته وجود دارد. شی آزاد را ببینید .

گروه‌های هم‌همریختی: به هر جفت A ، B از گروه‌های آبلی، می‌توان گروه آبلی Hom( A ، B ) را که شامل همه هم‌همریختی‌های گروهی از A تا B است، اختصاص داد . این تابعگری است که در آرگومان اول متضاد و در آرگومان دوم همورد است، یعنی تابعگری Ab op × Ab → Ab است (که در آن Ab نشان دهنده رسته گروه های آبلی با همریختی های گروهی است). اگر f  : A 1 → A 2 وg  : B 1 → B 2 همریختی هایی در Ab هستند ، سپس گروه همریختی Hom( f , g ) : Hom( A 2 , B 1 ) → Hom( A 1 , B 2 ) با φ ↦ g ∘ φ ∘ f به دست می آید. . تابعگر Hom را ببینید.

تابعگر های قابل نمایش: می توانیم مثال قبلی را به هر رسته C تعمیم دهیم . به هر جفت X , Y از اشیاء در C می توان مجموعه Hom( X , Y ) همریختی ها را از X به Y نسبت داد . این تابعگری را برای Set تعریف می کند که در آرگومان اول متضاد و در آرگومان دوم همورد است، یعنی تابعگری C op × C → Set است . اگر f  : X 1 → X 2 و g  : Y1 → Y 2 همریختی هایی در C هستند ، سپس نقشه Hom( f , g ) : Hom ( X 2 , Y 1 ) → Hom ( X 1 , Y 2 ) با φ ↦ g ∘ φ ∘ f به دست می آید .

تابعگر هایی از این دست را تابعگر های قابل نمایش می نامند . یک هدف مهم در بسیاری از تنظیمات این است که مشخص شود آیا یک تابعگر معین قابل نمایش است یا خیر.

خواص [ ویرایش ]

دو پیامد مهم بدیهیات تابعگر عبارتند از:

  • F هر نمودار جابجایی در C را به یک نمودار جابجایی در D تبدیل می کند .
  • اگر F یک IS ریخت در C ، پس از آن F ( F ) یک ریختی در D .

در واقع می توان تابعگرs آهنگسازی، به عنوان مثال اگر F عمل کننده از است به B و G عمل کننده از است B به C پس از آن می تواند یکی از عمل کننده ترکیب فرم G ∘ F از به C . ترکیب تابعگر ها در صورت تعریف، تداعی کننده است. همانی ترکیب تابعگرها تابعگر همانی است. این نشان می‌دهد که تابعگر‌ها را می‌توان به‌عنوان همریختی در رسته‌بندی‌ها، به عنوان مثال در رسته‌بندی‌های کوچک در نظر گرفت .

یک رسته کوچک با یک شیء منفرد همان چیزی است که یک مونوئید دارد : شکل‌های یک رسته تک شی را می‌توان به عنوان عناصر مونوئید در نظر گرفت، و ترکیب در رسته را به عنوان عملیات مونوئیدی در نظر گرفت. تابعگرs بین رسته یک شی به مونوئید مطابقت همریختی ها . بنابراین به یک معنا، تابعگر‌های بین رسته‌های دلخواه نوعی تعمیم هم‌همریختی‌های مونوئیدی به رسته‌هایی با بیش از یک شی هستند.

ارتباط با سایر مفاهیم طبقه بندی شده [ ویرایش ]

بگذارید C و D رسته باشند. مجموعه ای از تمام تابعگرs از C به D به شکل اشیاء از یک رسته بندی است: رسته عمل کننده . همریختی های این رسته تبدیل طبیعی بین تابعگر ها هستند .

تابعگر ها اغلب با ویژگی های جهانی تعریف می شوند . مثال‌ها عبارتند از حاصل ضرب تانسور ، حاصل جمع مستقیم و مستقیم گروه‌ها یا فضاهای برداری، ساخت گروه‌ها و مدول‌های آزاد، حدود مستقیم و معکوس . مفاهیم حد و حدود چندین مورد فوق را تعمیم می دهد.

ساختارهای جهانی اغلب باعث ایجاد جفت تابعگر های الحاقی می شوند .

پیاده سازی کامپیوتر [ ویرایش ]

مقاله اصلی: تابعگر (برنامه نویسی کاربردی)

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Functor