​

کاربردهای تانسور δ و تانسور کاذب ε [ ویرایش ]

همانی های دیگر را می توان از تانسور δ و شبه تانسور ε تشکیل داد ، یک همانی قابل توجه و بسیار مفید، همانی ی است که دو نماد لوی -سیویتا را که در مجاورت دو شاخص منقبض شده اند، به ترکیبی از دلتاهای کرونکر ضد متقارن تبدیل می کند:

\varepsilon _{{ijk}}\varepsilon _{{pqk}}=\delta _{{ip}}\delta _{{jq}}-\delta _{{iq}}\delta _{{jp}}

فرم های شاخص نقطه و ضرب های متقاطع، همراه با این همانی ، دستکاری و استخراج همانی های دیگر را در حساب برداری و جبر که به نوبه خود به طور گسترده در فیزیک و مهندسی مورد استفاده قرار می گیرند ، بسیار تسهیل می کند . به عنوان مثال، واضح است که ضرب های نقطه و متقاطع بر جمع بردار توزیع می شوند:

{\mathbf {a}}\cdot ({\mathbf {b}}+{\mathbf {c}})=a_{i}(b_{i}+c_{i})=a_{i}b_{i }+a_{i}c_{i}={\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {b}}+{\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {c}}

{\mathbf {a}}\times ({\mathbf {b}}+{\mathbf {c}})={\mathbf {e}}_{i}\varepsilon _{{ijk}}a_{j} (b_{k}+c_{k})={\mathbf {e}}_{i}\varepsilon _{{ijk}}a_{j}b_{k}+{\mathbf {e}}_{i }\varepsilon _{{ijk}}a_{j}c_{k}={\mathbf {a}}\times {\mathbf {b}}+{\mathbf {a}}\times {\mathbf {c} }

بدون توسل به هیچ ساختار هندسی - اشتقاق در هر مورد یک خط سریع جبر است. اگرچه این روش کمتر آشکار است، ضرب سه گانه برداری نیز می تواند مشتق شود. بازنویسی در نماد نمایه:

\left[{\mathbf {a}}\times ({\mathbf {b}}\times {\mathbf {c}})\right]_{i}=\varepsilon _{{ijk}}a_{j} (\varepsilon _{{k\ell m}}b_{\ell }c_{m})=(\varepsilon _{{ijk}}\varepsilon _{{k\ell m}})a_{j}b_{ \ خوب }c_{m}

و به دلیل سیکل شاخص در ε نماد کند ارزش خود را تغییر دهید، چرخه permuting شاخص در ε kℓm برای به دست آوردن ε ℓmk ما اجازه می دهد تا با استفاده از بالا δ - ε همانی برای تبدیل ε نمادها را به δ تانسورها:

{\begin{aligned}\left[{\mathbf {a}}\times ({\mathbf {b}}\times {\mathbf {c}})\right]_{i}&=(\delta _{ {i\ell }}\delta _{{jm}}-\delta _{{im}}\delta _{{j\ell }})a_{j}b_{\ell }c_{m}\\& =\delta _{{i\ell }}\delta _{{jm}}a_{j}b_{\ell }c_{m}-\delta _{{im}}\delta _{{j\ell } }a_{j}b_{\ell }c_{m}\\&=a_{j}b_{i}c_{j}-a_{j}b_{j}c_{i}\\\end{تراز شده} }

بدین ترتیب:

{\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a } \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} }

توجه داشته باشید که همانطور که از سمت چپ انتظار می رود این در b و c ضد متقارن است . به طور مشابه، از طریق نشانه گذاری شاخص یا حتی فقط برچسب زدن چرخه ای a ، b و c در نتیجه قبلی و گرفتن منفی:

({\mathbf {a}}\times {\mathbf {b}})\times {\mathbf {c}}=({\mathbf {c}}\cdot {\mathbf {a}}){\mathbf { b}}-({\mathbf {c}}\cdot {\mathbf {b}}){\mathbf {a}}

و تفاوت در نتایج نشان می دهد که ضرب متقاطع تداعی نیست. همانی های پیچیده تر، مانند ضرب های چهارگانه؛

({\mathbf {a}}\times {\mathbf {b}})\cdot ({\mathbf {c}}\times {\mathbf {d}})،\quad ({\mathbf {a}}\ بار {\mathbf {b}})\times ({\mathbf {c}}\times {\mathbf {d}})،\ldots

و غیره را می توان به روشی مشابه استخراج کرد.

تبدیل تانسورهای دکارتی (هر تعداد ابعاد) [ ویرایش ]

تانسورها به‌عنوان کمیت‌هایی تعریف می‌شوند که به روشی خاص تحت تبدیل‌های خطی مختصات تبدیل می‌شوند.

مرتبه دوم [ ویرایش ]

بگذارید a = a i e i و b = b i e i دو بردار باشند، به طوری که آنها مطابق با a j = a i L ij , b j = b i L ij تبدیل می شوند .

گرفتن حاصل ضرب تانسور به دست می دهد:

{\mathbf {a}}\otimes {\mathbf {b}}=a_{i}{\mathbf {e}}_{i}\otimes b_{j}{\mathbf {e}}_{j}= a_{i}b_{j}{\mathbf {e}}_{i}\times {\mathbf {e}}_{j}

سپس تبدیل به اجزاء اعمال می شود

{\bar {a}}_{p}{\bar {b}}_{q}=a_{i}{\mathsf {L}}_{i}{}_{p}b_{j}{\ mathsf {L}}_{j}{}_{q}={\mathsf {L}}_{i}{}_{p}{\mathsf {L}}_{j}{}_{q} a_{i}b_{j}

و به پایگاه ها

{\displaystyle {\bar {\mathbf {e} }}_{p}\otimes {\bar {\mathbf {e} }}_{q}=({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{ -1})_{pi}\mathbf {e} _{i}\times ({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{qj}\mathbf {e} _{j} =({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{pi}({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1})_{qj}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}={\mathsf {L}}_{ip}{\mathsf {L}}_{jq}\mathbf {e} _{i}\times \ mathbf {e} _{j}}

قانون تبدیل یک تانسور مرتبه-2 را نشان می دهد. تانسور a ⊗ b تحت این تبدیل ثابت است:

{\begin{array}{cl}{\bar {a}}_{p}{\bar {b}}_{q}{\bar {{\mathbf {e}}}}_{p}\times {\bar {{\mathbf {e}}}}_{q}&={\mathsf {L}}_{{kp}}{\mathsf {L}}_{{\ell q}}a_{k }b_{{\ell }}\,({\boldsymbol {{\mathsf {L}}}}^{{{-1}})_{{pi}}({\boldsymbol {{\mathsf {L}} }}^{{-1}})_{{qj}}{\mathbf {e}}_{i}\otimes {\mathbf {e}}_{j}\\&={\mathsf {L} }_{{kp}}({\boldsymbol {{\mathsf {L}}}}^{{-1}})_{{pi}}{\mathsf {L}}_{{\ell q}} ({\boldsymbol {{\mathsf {L}}}}^{{-1}})_{{qj}}\,a_{k}b_{{\ell }}{\mathbf {e}}_{ i}\times {\mathbf {e}}_{j}\\&=\delta _{k}{}_{i}\delta _{{\ell j}}\,a_{k}b_{{ \ell }}{\mathbf {e}}_{i}\otimes {\mathbf {e}}_{j}\\&=a_{i}b_{j}{\mathbf {e}}_{i }\times {\mathbf {e}}_{j}\end{آرایه}}

به طور کلی، برای هر تانسور مرتبه-2

{\mathbf {R}}=R_{{ij}}{\mathbf {e}}_{i}\otimes {\mathbf {e}}_{j}\,,

اجزا با توجه به

{\bar {R}}_{{pq}}={\mathsf {L}}_{i}{}_{p}{\mathsf {L}}_{j}{}_{q}R_{ {ij}}،

و مبنا توسط:

{\bar {{\mathbf {e}}}}_{p}\otimes {\bar {{\mathbf {e}}}}_{q}=({\boldsymbol {{\mathsf {L}}} }^{{-1}})_{{ip}}{\mathbf {e}}_{i}\times ({\boldsymbol {{\mathsf {L}}}}^{{-1}}) _{{jq}}{\mathbf {e}}_{j}

اگر R طبق این قانون تبدیل نشود - مقدار R هر چه باشد - تانسور مرتبه 2 نیست.

هر گونه مرتبه [ ویرایش ]

به طور کلی، برای هر مرتبه تانسور p

{\mathbf {T}}=T_{{j_{1}j_{2}\cdots j_{p}}}{\mathbf {e}}_{{j_{1}}}\times {\mathbf {e }}_{{j_{2}}}\otimes \cdots {\mathbf {e}}_{{j_{p}}}

اجزا با توجه به

{\bar {T}}_{{j_{1}j_{2}\cdots j_{p}}}={\mathsf {L}}_{{i_{1}j_{1}}}{\mathsf {L}}_{{i_{2}j_{2}}}\cdots {\mathsf {L}}_{{i_{p}j_{p}}}}T_{{i_{1}i_{2} \cdots i_{p}}}

و مبنا توسط:

{\bar {{\mathbf {e}}}}_{{j_{1}}}\otimes {\bar {{\mathbf {e}}}}_{{j_{2}}}\cdots \otimes {\bar {{\mathbf {e}}}}_{{j_{p}}}=({\boldsymbol {{\mathsf {L}}}}^{{-1}})_{{j_{ 1}i_{1}}}{\mathbf {e}}_{{i_{1}}}\times ({\boldsymbol {{\mathsf {L}}}}^{{-1}})_{ {j_{2}i_{2}}}{\mathbf {e}}_{{i_{2}}}\cdots \otimes ({\boldsymbol {{\mathsf {L}}}}^{{-1 }})_{{j_{p}i_{p}}}{\mathbf {e}}_{{i_{p}}}

برای یک تانسور کاذب S از مرتبه p ، مولفه ها مطابق با ;

{\bar {S}}_{{j_{1}j_{2}\cdots j_{p}}}=\det({\boldsymbol {{\mathsf {L}}}}){\mathsf {L} }_{{i_{1}j_{1}}}{\mathsf {L}}_{{i_{2}j_{2}}}\cdots {\mathsf {L}}_{{i_{p} j_{p}}}S_{{i_{1}i_{2}\cdots i_{p}}}\,.

شبه بردارها به عنوان تانسورهای مرتبه دوم ضد متقارن [ ویرایش ]

ماهیت ضد متقارن حاصلضرب متقاطع را می توان به شکل زیر به شکل کششی تبدیل کرد. [4] فرض کنید c یک بردار، a یک شبه بردار، b یک بردار دیگر، و T یک تانسور مرتبه دوم باشد به طوری که:

{\mathbf {c}}={\mathbf {a}}\times {\mathbf {b}}={\mathbf {T}}\cdot {\mathbf {b}}

از آنجایی که حاصلضرب متقاطع در a و b خطی است ، اجزای T را می توان با بازرسی پیدا کرد و آنها عبارتند از:

{\mathbf {T}}={\begin{pmatrix}0&-a_{{\text{z}}}&a_{{\text{y}}}\\a_{{\text{z}}}&0&- a_{{\text{x}}}\\-a_{{\text{y}}}&a_{{\text{x}}}&0\\\end{pmatrix}}

بنابراین بردار کاذب a را می توان به عنوان یک تانسور ضد متقارن نوشت. این به عنوان یک تانسور تبدیل می شود، نه شبه تانسور. برای مثال مکانیکی بالا برای سرعت مماسی یک جسم صلب، که با v = ω × x ارائه شده است ، می توان آن را به صورت v = Ω ⋅ x بازنویسی کرد که در آن Ω تانسور مربوط به شبه بردار ω است :

{\boldsymbol {\Omega }}={\begin{pmatrix}0&-\omega _{{\text{z}}}&\omega _{{\text{y}}}\\\omega _{{\ متن{z}}}&0&-\omega _{{\text{x}}}\\-\omega _{{\text{y}}}&\omega _{{\text{x}}}&0\ \\پایان{pmatrix}}

برای مثال در الکترومغناطیس ، در حالی که میدان الکتریکی E یک میدان برداری است ، میدان مغناطیسی B یک میدان شبه برداری است. این میدان ها از نیروی لورنتس برای یک ذره بار الکتریکی q که با سرعت v حرکت می کند، تعریف می شوند :

{\mathbf {F}}=q({\mathbf {E}}+{\mathbf {v}}\times {\mathbf {B}})=q({\mathbf {E}}-{\mathbf { B}}\times {\mathbf {v}})

و با در نظر گرفتن جمله دوم که حاصل ضرب متقاطع یک شبه بردار B و بردار سرعت v را در بر می گیرد، می توان آن را به صورت ماتریسی با F ، E ، و v به عنوان بردارهای ستون و B به عنوان یک ماتریس ضد متقارن نوشت :

{\begin{pmatrix}F_{{\text{x}}}\\F_{{\text{y}}}\\F_{{\text{z}}}}\\\end{pmatrix}}=q {\begin{pmatrix}E_{{\text{x}}}\\E_{{\text{y}}}\\E_{{\text{z}}}}\\\end{pmatrix}}-q {\begin{pmatrix}0&-B_{{\text{z}}}&B_{{\text{y}}}\\B_{{\text{z}}}&0&-B_{{\text{x} }}\\-B_{{\text{y}}}&B_{{\text{x}}}&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{{\text{x}}} \\v_{{\text{y}}}\\v_{{\text{z}}}\\\end{pmatrix}}

اگر یک شبه بردار صریحاً با ضرب ضربدری از دو بردار داده شود (برخلاف وارد کردن ضرب بردار با بردار دیگر)، آنگاه چنین شبه بردارهایی را می‌توان به‌عنوان تانسورهای ضد متقارن مرتبه دوم نیز نوشت، با هر ورودی یک جزء از حاصل ضرب. تکانه زاویه ای یک ذره نقطه مانند کلاسیک که به دور یک محور می چرخد، که با J = x × p تعریف شده است، نمونه دیگری از یک شبه بردار با تانسور ضد متقارن مربوطه است:

{\mathbf {J}}={\begin{pmatrix}0&-J_{{\text{z}}}&J_{{\text{y}}}\\J_{{\text{z}}}&0&- J_{{\text{x}}}\\-J_{{\text{y}}}&J_{{\text{x}}}&0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0& -(xp_{{\text{y}}}-yp_{{\text{x}}})&(zp_{{\text{x}}}-xp_{{\text{z}}})\\ (xp_{{\text{y}}}-yp_{{\text{x}}})&0&-(yp_{{\text{z}}}-zp_{{\text{y}}})\\ -(zp_{{\text{x}}}-xp_{{\text{z}}})&(yp_{{\text{z}}}-zp_{{\text{y}}})&0\ \\پایان{pmatrix}}

اگرچه تانسورهای دکارتی در نظریه نسبیت وجود ندارند. شکل تانسور تکانه زاویه‌ای مداری J وارد قسمت فضایی تانسور تکانه زاویه‌ای نسبیتی می‌شود و شکل تانسور میدان مغناطیسی B وارد قسمت فضایی تانسور الکترومغناطیسی می‌شود .

​

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_tensor