​

تبدیل ضرب های نقطه و متقاطع (فقط در سه بعدی) [ ویرایش ]

حاصل ضرب نقطه ای و ضربدری بسیار مکرر اتفاق می افتد، در کاربردهای آنالیز برداری در فیزیک و مهندسی، نمونه هایی عبارتند از:


  • {\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }
     

نحوه تبدیل این ضرب های تحت تبدیل های متعامد در زیر نشان داده شده است.

حاصل ضرب نقطه، دلتای کرونکر و تانسور متریک [ ویرایش ]

ضرب از نقطه ⋅ هر جفت شدن ممکن است از بردارهای پایه به شرح زیر است از پایه متعامد بودن. برای جفت های عمود بر هم داریم

{\begin{array}{cccc}{\mathbf {e}}_{{\text{x}}}\cdot {\mathbf {e}}_{{\text{y}}}&={\mathbf {e}}_{{\text{y}}}\cdot {\mathbf {e}}_{{\text{z}}}&={\mathbf {e}}_{{\text{z} }}\cdot {\mathbf {e}}_{{\text{x}}}\\{\mathbf {e}}_{{\text{y}}}\cdot {\mathbf {e}}_ {{\text{x}}}&={\mathbf {e}}_{{\text{z}}}\cdot {\mathbf {e}}_{{\text{y}}}&={ \mathbf {e}}_{{\text{x}}}\cdot {\mathbf {e}}_{{\text{z}}}&=0\end{آرایه}}

در حالی که برای جفت های موازی داریم

{\mathbf {e}}_{{\text{x}}}\cdot {\mathbf {e}}_{{\text{x}}}={\mathbf {e}}_{{\text{ y}}}\cdot {\mathbf {e}}_{{\text{y}}}={\mathbf {e}}_{{\text{z}}}\cdot {\mathbf {e}} _{{\text{z}}}=1.

جایگزینی برچسب‌های دکارتی با نماد شاخص همانطور که در بالا نشان داده شده است ، این نتایج را می توان با

{\mathbf {e}}_{i}\cdot {\mathbf {e}}_{j}=\delta _{{ij}}

که در آن δ ij اجزای دلتای کرونکر هستند . مبنای دکارتی را می توان برای نشان دادن δ در این روش استفاده کرد.

علاوه بر این، هر جزء تانسور متریک g ij با توجه به هر مبنایی حاصل ضرب نقطه‌ای از جفت بردارهای پایه است:

g_{{ij}}={\mathbf {e}}_{i}\cdot {\mathbf {e}}_{j}.

برای مبنای دکارتی، اجزای چیده شده در یک ماتریس عبارتند از:

{\displaystyle \mathbf {g} ={\begin{pmatrix}g_{\text{xx}}&g_{\text{xy}}&g_{\text{xz}}\\g_{\text{yx}}&g_ {\text{yy}}&g_{\text{yz}}\\g_{\text{zx}}&g_{\text{zy}}&g_{\text{zz}}\\\end{pmatrix}}= {\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}\\\mathbf {e} _ {\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y} }&\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}\\\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf { e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&\mathbf {e} _{\text{ z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}

بنابراین، ساده ترین حالت ممکن برای تانسور متریک، یعنی δ :

g_{{ij}}=\delta _{{ij}}

این در مورد مبانی عمومی صادق نیست : مختصات متعامد دارای معیارهای مورب حاوی فاکتورهای مقیاس مختلف (یعنی نه لزوماً 1) هستند، در حالی که مختصات منحنی عمومی می‌توانند ورودی‌های غیرصفری برای اجزای خارج از مورب نیز داشته باشند.

حاصل ضرب نقطه ای دو بردار a و b بر پایه تبدیل می شود

{\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {b}}={\bar {a}}_{j}{\bar {b}}_{j}=a_{i}{\mathsf {L} }_{{ij}}b_{k}({\boldsymbol {{\mathsf {L}}}}^{{{-1}})_{{jk}}=a_{i}\delta _{i} {}_{k}b_{k}=a_{i}b_{i}

که شهودی است، زیرا حاصلضرب نقطه ای دو بردار یک اسکالر واحد مستقل از هر مختصاتی است. این همچنین به طور کلی برای هر سیستم مختصاتی، نه فقط مستطیلی، صدق می کند. حاصل ضرب نقطه در یک سیستم مختصات در هر سیستم دیگر یکسان است.

صلیب و ضرب، نماد لوی -سیویتا، و شبه بردارها [ ویرایش ]

جایگشت های چرخه ای مقادیر شاخص و حجم مکعبی مثبت گرا.

جایگشت های پادحلقه ای مقادیر شاخص و حجم مکعبی جهت گیری منفی.

مقادیر غیر صفر نماد لوی -سیویتا ε ijk به عنوان حجم e i ⋅ e j × e k مکعبی که بر پایه متعارف 3 بعدی پوشیده شده است.

برای حاصلضرب × دو بردار، نتایج (تقریبا) برعکس است. دوباره، با فرض یک سیستم مختصات دکارتی سه بعدی راست دست، جایگشت های چرخه ای در جهات عمود بردار بعدی را در مجموعه چرخه ای بردارها به دست می دهند:

{\mathbf {e}}_{{\text{x}}}\times {\mathbf {e}}_{{\text{y}}}={\mathbf {e}}_{{\text{ z}}}\,\quad {\mathbf {e}}_{{\text{y}}}\times {\mathbf {e}}_{{\text{z}}}={\mathbf {e }_{{\text{x}}}\,\quad {\mathbf {e}}_{{\text{z}}}\times {\mathbf {e}}_{{\text{x} }}={\mathbf {e}}_{{\text{y}}}

{\mathbf {e}}_{{\text{y}}}\times {\mathbf {e}}_{{\text{x}}}=-{\mathbf {e}}_{{\text {z}}}\,\quad {\mathbf {e}}_{{\text{z}}}\times {\mathbf {e}}_{{\text{y}}}=-{\mathbf {e}}_{{\text{x}}}\,\quad {\mathbf {e}}_{{\text{x}}}\times {\mathbf {e}}_{{\text{ z}}}=-{\mathbf {e}}_{{\text{y}}}

در حالی که بردارهای موازی به وضوح ناپدید می شوند:

{\mathbf {e}}_{{\text{x}}}\times {\mathbf {e}}_{{\text{x}}}={\mathbf {e}}_{{{\text{ y}}}\times {\mathbf {e}}_{{\text{y}}}={\mathbf {e}}_{{\text{z}}}\times {\mathbf {e}} _{{\text{z}}}={\boldsymbol {0}}

و جایگزینی برچسب‌های دکارتی با نماد شاخص مانند بالا ، این موارد را می‌توان به صورت زیر خلاصه کرد:

{\displaystyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{j}={\begin{cases}+\mathbf {e} _{k}&{\text{جایگشت‌های چرخه‌ای: }} (i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\\[2pt]-\mathbf {e} _{k}&{\text {جایگشت‌های پادحلقه‌ای: }}(i,j,k)=(2,1,3),(3,2,1),(1,3,2)\\[2pt]{\boldsymbol {0}}&i =j\end{موارد}}}

جایی که i , j , k شاخص هایی هستند که مقادیر 1, 2, 3 را می گیرند.

{\displaystyle {\mathbf {e} _{k}\cdot \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{j}}={\begin{cases}+1&{\text{cyclic جایگشت‌ها: }}(i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\\[2pt]-1&{\text{جایگشت‌های پادحلقه‌ای: } }(i,j,k)=(2,1,3),(3,2,1),(1,3,2)\\[2pt]0&i=j{\text{ یا }}j=k {\text{ یا }}k=i\end{موارد}}}

این روابط جایگشت و مقادیر متناظر آنها مهم هستند، و یک شی منطبق با این ویژگی وجود دارد: نماد لوی -سیویتا که با ε نشان داده می شود . ورودی های نماد لوی -سیویتا را می توان با مبنای دکارتی نشان داد:

\varepsilon _{{ijk}}={\mathbf {e}}_{i}\cdot {\mathbf {e}}_{j}\times {\mathbf {e}}_{k}

که از نظر هندسی با حجم یک مکعب که توسط بردارهای پایه متعارف پوشانده شده است، با علامت نشان دهنده جهت (و نه "حجم مثبت یا منفی") مطابقت دارد . در اینجا، جهت گیری با ε 123 = +1، برای یک سیستم راست دست ثابت می شود. یک سیستم چپ دست ε 123 = -1 یا معادل ε 321 = +1 را ثابت می کند.

حاصلضرب عددی سه گانه هم اکنون می توانید نوشته شود:

{\mathbf {c}}\cdot {\mathbf {a}}\times {\mathbf {b}}=c_{i}{\mathbf {e}}_{i}\cdot a_{j}{\mathbf {e}}_{j}\times b_{k}{\mathbf {e}}_{k}=\varepsilon _{{ijk}}c_{i}a_{j}b_{k}

با تفسیر هندسی حجم ( متوازی الاضلاع که با a , b , c پوشانده شده است ) و از نظر جبری یک تعیین کننده است : [3]

{\mathbf {c}}\cdot {\mathbf {a}}\times {\mathbf {b}}={\begin{vmatrix}c_{{\text{x}}}&a_{{\text{x} }}&b_{{\text{x}}}\\c_{{\text{y}}}&a_{{\text{y}}}&b_{{\text{y}}}\\c_{{\ متن{z}}}&a_{{\text{z}}}&b_{{\text{z}}}\end{vmatrix}}

این به نوبه خود می تواند استفاده شود به بازنویسی ضرب متقابل دو بردار شرح زیر است:

{\begin{array}{ll}&({\mathbf {a}}\times {\mathbf {b}})_{i}={{\mathbf {e}}_{i}\cdot {\mathbf {a}}\times {\mathbf {b}}}=\varepsilon _{{\ell jk}}{({\mathbf {e}}_{i})}_{\ell }a_{j}b_ {k}=\varepsilon _{{\ell jk}}\delta _{{i\ell }}a_{j}b_{k}=\varepsilon _{{ijk}}a_{j}b_{k}\ \\پیکان راست &{{\mathbf {a}}\times {\mathbf {b}}}=({\mathbf {a}}\times {\mathbf {b}})_{i}{\mathbf {e }}_{i}=\varepsilon _{{ijk}}a_{j}b_{k}{\mathbf {e}}_{i}\end{آرایه}}

بر خلاف ظاهر آن، نماد لوی چوی است یک تانسور نیست ، اما pseudotensor به ، اجزای تبدیل با توجه به:

{\bar {\varepsilon }}_{{pqr}}=\det({\boldsymbol {{\mathsf {L}}}})\varepsilon _{{ijk}}{\mathsf {L}}_{{ ip}}{\mathsf {L}}_{{jq}}{\mathsf {L}}_{{kr}}\,.

بنابراین، تبدیل حاصلضرب متقاطع a و b به صورت زیر است:

{\begin{تراز شده}({\bar {{\mathbf {a}}}}\times {\bar {{\mathbf {b}}}})_{i}&={\bar {\varepsilon }} _{{ijk}}{\bar {a}}_{j}{\bar {b}}_{k}\\&=\det({\boldsymbol {{\mathsf {L}}}})\ ;\;\varepsilon _{{pqr}}{\mathsf {L}}_{{pi}}{\mathsf {L}}_{{qj}}{\mathsf {L}}_{{rk}} \;\;a_{m}{\mathsf {L}}_{{mj}}\;\;b_{n}{\mathsf {L}}_{{nk}}\\&=\det({ \boldsymbol {{\mathsf {L}}}})\;\;\varepsilon _{{pqr}}\;\;{\mathsf {L}}_{{pi}}\;\;{\mathsf { L}}_{{qj}}({\boldsymbol {{\mathsf {L}}}}^{{-1}})_{{jm}}\;\;{\mathsf {L}}_{ {rk}}({\boldsymbol {{\mathsf {L}}}}^{{-1}})_{{kn}}\;\;a_{m}\;\;b_{n}\\ &=\det({\boldsymbol {{\mathsf {L}}}})\;\;\varepsilon _{{pqr}}\;\;{\mathsf {L}}_{{pi}}\; \;\delta _{{qm}}\;\;\delta _{{rn}}\;\;a_{m}\;\;b_{n}\\&=\det({\boldsymbol {{ \mathsf {L}}}})\;\;{\mathsf {L}}_{{pi}}\;\;\varepsilon _{{pqr}}a_{q}b_{r}\\&=\det({\boldsymbol {{\mathsf {L}}}})\;\;({\mathbf {a}}\times {\mathbf {b}})_{p}{\mathsf {L} }_{{pi}}\end{تراز شده}}

و بنابراین a × b به دلیل عامل تعیین کننده به عنوان یک شبه بردار تبدیل می شود.

نماد شاخص تانسور امر به هر شی است که اشخاص که به صورت آرایه های چند بعدی - همه چیز با شاخص یک تانسور به طور پیش فرض است. در عوض، تانسورها با چگونگی تغییر مختصات و عناصر پایه آنها تحت یک تبدیل از یک سیستم مختصات به سیستم دیگر تعریف می شوند.

توجه داشته باشید که ضرب ضربدری دو بردار یک شبه بردار است، در حالی که ضرب ضربدری یک شبه بردار با یک بردار، بردار دیگری است.

​

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_tensor