هممورفیسم گروهی

این مقاله شامل فهرستی از مراجع ، خواندن مرتبط یا پیوندهای خارجی است ، اما منابع آن نامشخص است زیرا فاقد استنادهای درون خطی است . لطفا با معرفی نقل قول های دقیق تر به بهبود این مقاله کمک کنید . ( اکتبر 2021 ) ( نحوه و زمان حذف این پیام الگو را بیاموزید )

تصویر هممورفیسم گروهی ( h ) از G (چپ) به H (راست). بیضی کوچکتر داخل H تصویر h است . N است هسته از hو است هم مجموعه ها از N .

ساختار جبری ← نظریه
گروه نظریه گروه

پنهان شدن

مفاهیم اساسی

هممورفیسم های گروهی

نشان دادن

گروه های متناهی

نشان دادن

گروه های توپولوژیکی و لی

نشان دادن

گروه های جبری

در ریاضیات ، با توجه به دو گروه ، ( G ، ∗) و ( H ، ·)، یک یکریختی گروهی از ( G ، ∗) به ( H ، ·) تابع h است : G → H به طوری که برای همه u و v در G آن را نگه می دارد که

$h(u*v)=h(u)\cdot h(v)$

که در آن عملیات گروهی در سمت چپ معادله G و در سمت راست عملیات H است .

از این ویژگی، می توان نتیجه گرفت که h عنصر همانی e G از G را به عنصر همانی e H از H نگاشت می کند .

$h(e_{G})=e_{H}$

و همچنین معکوس ها را به معکوس ترسیم می کند به این معنا که

$h\left(u^{-1}\right)=h(u)^{-1}.\,$

از این رو می توان گفت که h "با ساختار گروه سازگار است".

نمادهای قدیمی تر برای هممورفیسم h ( x ) ممکن است x h یا x h باشد ، [ نیاز به نقل قول ]، اگرچه ممکن است به عنوان یک شاخص یا یک زیرنویس کلی اشتباه گرفته شود. در تئوری اتوماتا ، گاهی اوقات هممورفیسم ها در سمت راست آرگومان هایشان بدون پرانتز نوشته می شوند، به طوری که h ( x ) به سادگی به xh تبدیل می شود . [ نیازمند منبع ]

در حوزه‌هایی از ریاضیات که گروه‌هایی را دارای ساختار اضافی در نظر می‌گیریم، هم‌مورفیسم گاهی به معنای نقشه‌ای است که نه تنها به ساختار گروه (مانند بالا) بلکه به ساختار اضافی نیز احترام می‌گذارد. به عنوان مثال، یک یکریختی گروه های توپولوژیکی اغلب لازم است که پیوسته باشد.

فهرست

شهود [ ویرایش ]

هدف از تعریف هممورفیسم گروهی ایجاد توابعی است که ساختار جبری را حفظ کند. یک تعریف معادل هممورفیسم گروهی این است: تابع h : G → H یک یکریختی گروهی است اگر هر زمان که

a ∗ b = c داریم h ( a ) ⋅ h ( b ) = h ( c ).

به عبارت دیگر، گروه H به نوعی ساختار جبری مشابه G دارد و هممورفیسم h آن را حفظ می کند.

انواع [ ویرایش ]

یکریختی

هممورفیسم گروهی که تزریقی (یا یک به یک) است. یعنی تمایز را حفظ می کند.

اپی مورفیسم

هممورفیسم گروهی که به صورت پوششی (یا روی) است. به عنوان مثال، به هر نقطه در هم دامنه می رسد.

ایزومورفیسم

هممورفیسم گروهی که دو شکلی است . یعنی تزریقی و ظاهری. معکوس آن نیز یک یکریختی گروهی است. در این مورد، گروه G و H نامیده می شوند ریخت ؛ آنها فقط در نشانه گذاری عناصر خود متفاوت هستند و برای همه اهداف عملی یکسان هستند.

اندومورفیسم

هممورفیسم، h : G → G ; دامنه و هم دامنه یکسان هستند. آندومورفیسم G نیز نامیده می شود .

اتومورفیسم

یک اندومورفیسم که دو شکلی است و از این رو یک یکریختی است. مجموعه ای از تمام خودریختی یک گروه G ، با ترکیب های تابعی به عنوان عمل، خود را یک گروه، به شکل گروه خودریختی از G . با Aut( G ) نشان داده می شود . به عنوان مثال، گروه اتومورفیسم ( Z ، +) تنها شامل دو عنصر است، تبدیل همانی و ضرب با -1. به Z /2 Z هم شکل است .

تصویر و هسته [ ویرایش ]

مقالات اصلی: تصویر (ریاضیات) و هسته (جبر)

ما هسته h را مجموعه ای از عناصر در G تعریف می کنیم که به همانی در H نگاشت می شوند

$\operatorname {ker} (h)\equiv \left\{u\in G\colon h(u)=e_{H}\right\}.$

و تصویر h بودن

$\operatorname {im} (h)\equiv h(G)\equiv \left\{h(u)\colon u\in G\right\}.$

هسته و تصویر هممورفیسم را می توان به عنوان اندازه گیری نزدیک بودن آن به هم شکل بودن تفسیر کرد. اول ریخت قضیه که تصویری از یک همریخت گروه، h( G ) ریخت به گروه خارج قسمت است G / KER h .

هسته hاست زیر گروه نرمال از G و تصویر از hیک زیر گروه از H :

${\begin{aligned}h\left(g^{-1}\circ u\circ g\right)&=h(g)^{-1}\cdot h(u)\cdot h(g)\\ &=h(g)^{-1}\cdot e_{H}\cdot h(g)\\&=h(g)^{-1}\cdot h(g)=e_{H}.\end {هم راستا}}$

اگر و تنها اگر ker( h ) = { e G }، یکریختی ، h ، یک یکریختی گروهی است . یعنی h تزریقی (یک به یک) است. تزریق مستقیماً نشان می دهد که یک عنصر منحصر به فرد در هسته وجود دارد و یک عنصر منحصر به فرد در هسته تزریق را انجام می دهد:

${\begin{تراز شده}&&h(g_{1})&=h(g_{2})\\\پیکان راست چپ &&h(g_{1})\cdot h(g_{2})^{-1}&=e_ {H}\\\پیکان راست چپ &&h\چپ(g_{1}\circ g_{2}^{-1}\right)&=e_{H},\ \operatorname {ker} (h)=\{e_{ G}\}\\\پیکان راست &&g_{1}\circ g_{2}^{-1}&=e_{G}\\\پیکان راست چپ &&g_{1}&=g_{2}\end{تراز شده}}$

مثالها [ ویرایش ]

در نظر بگیرید دورای گروه Z / 3 Z = {0، 1، 2} و گروه از اعداد صحیح Z با علاوه بر این. نقشه h : Z → Z /3 Z با h ( u ) = u mod 3 یک یکریختی گروهی است. این پوشا و مغز آن شامل تمام اعداد صحیح که توسط 3 بخش می باشد.

گروه را در نظر بگیرید
$G\equiv \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\bigg |}a>0,b\in \mathbf {R} \right\}$
برای هر عدد مختلط u تابع f u : G → C * توسط:
${\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}\mapsto a^{u}$
هممورفیسم گروهی است.
گروه ضربی از اعداد حقیقی مثبت ( R + , ⋅) را برای هر عدد مختلط u تابع f u در نظر بگیرید : R + → C که توسط:
$f_{u}(a)=a^{u}$
هممورفیسم گروهی است.

نقشه نمایی بازده همریخت گروه از گروه اعداد حقیقی R با علاوه بر این به یک گروه از اعداد غیر صفر واقعی R با ضرب *. هسته {0} است و تصویر از اعداد واقعی مثبت تشکیل شده است.
نقشه نمایی همچنین یک هممورفیسم گروهی از گروه اعداد مختلط C با اضافه شدن به گروه اعداد مختلط غیر صفر C * با ضرب به دست می دهد. همانطور که از فرمول اویلر مشاهده می شود، این نقشه فوق العاده است و دارای هسته {2π ki : k ∈ Z } است . میدان‌هایی مانند R و C که دارای هم‌مورفیسم از گروه افزایشی خود به گروه ضربی خود هستند ، میدان‌های نمایی نامیده می‌شوند .

دسته بندی گروه ها [ ویرایش ]

اگر h : G → H و k : H → K هممورفیسم های گروهی باشند، پس k ∘ h : G → K نیز خواهد بود. این نشان می دهد که کلاس همه گروه ها، همراه با هممورفیسم های گروهی به عنوان مورفیسم، یک دسته را تشکیل می دهند .

هممورفیسم های گروه های آبلی [ ویرایش ]

اگر G و H هستند آبلی (یعنی جابجایی) گروه، پس از آن مجموعه ( G ، H ) homاز همه هممورفیسم ها گروه از G به H به خودی خود یک گروه آبلی است: مجموع h + K از دو هممورفیسم ها تعریف شده توسط

( h + k ) ( u ) = h ( u ) + k ( u ) برای همه u در G .

جابجایی H برای اثبات اینکه h + k دوباره یک یکریختی گروهی است مورد نیاز است.

افزودن هممورفیسم‌ها به این معنا با ترکیب هم‌مورفیسم‌ها سازگار است: اگر f در Hom( K , G ) باشد ، h ، k عناصر Hom( G ، H ) هستند و g در Hom( H ، L ) باشد. ، سپس

( h + k ) ∘ f = ( h ∘ f ) + ( k ∘ f ) و g ∘ ( h + k ) = ( g ∘ h ) + ( g ∘ k ) .

از آنجا که ترکیب است انجمنی ، این نشان می دهد که مجموعه ای پایان ( G ) از همه اندومورفیسم یک گروه آبلی به شکل یک حلقه از حلقه روپوست از G . به عنوان مثال، حلقه از روپوست از گروه آبلی متشکل از مجموع مستقیم از متر نسخه از Z / N Z ریخت به حلقه است متر -by- متر ماتریس با ورودی در Z / N Z . سازگاری فوق همچنین نشان می‌دهد که دسته‌بندی همه گروه‌های آبلی با هم‌مورفیسم‌های گروهی، یک دسته پیش‌افزایشی را تشکیل می‌دهد.; وجود مبالغ مستقیم و هسته های خوش رفتار، این دسته را به نمونه اولیه یک دسته آبلی تبدیل می کند .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

قضیه اساسی در مورد هممورفیسم ها

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Group_homomorphism

+ نوشته شده در شنبه بیست و دوم آبان ۱۴۰۰ ساعت 3:14 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ریاضیات

آموزش ریاضی