مثالها [ ویرایش ]

در زیر چند مثال برای برجسته کردن ایده کلی آورده شده است. خواننده می تواند با مراجعه به مقالات ذکر شده در مقدمه مثال های متعدد دیگری بسازد.

جبرهای تانسور [ ویرایش ]

اجازه دهید سیشود دسته فضاهای برداری ک-Vect بیش از یک زمینه ک و اجازه دهید Dدسته جبرها باشد ک-Alg بیش ازک(فرض می شود یکپارچه و انجمنی باشد ). اجازه دهید

U : ک-Alg →ک-Vect

تابع فراموشی باشد که به هر جبر فضای برداری زیرین آن را اختصاص می دهد.

با توجه به هر فضای برداری V بر فراز کمی توانیم جبر تانسور را بسازیم تلویزیون). جبر تانسور با این واقعیت مشخص می شود:

«هر نقشه خطی از V به یک جبر آرا می توان به طور منحصر به فرد به یکریختی جبر ازتلویزیون) به آ"

این عبارت یک ویژگی اولیه جبر تانسور است زیرا بیانگر این واقعیت است که جفت {\displaystyle (T(V),i)}، جایی که {\displaystyle i:V\to U(T(V))} نقشه گنجاندن است، یک همریختی جهانی از فضای برداری است V به تابع U.

از آنجایی که این ساختار برای هر فضای برداری کار می کند V، نتیجه می گیریم که تی تابعی از ک-وکت بهک-Alg . این به این معنی است کهتیدر کنار عامل صفر رها شده استU(به بخش زیر در رابطه با تابع های الحاقی مراجعه کنید ).

ضربها [ ویرایش یک ضرب طبقه بندی شده را می توان با ساخت جهانی مشخص کرد. برای مشخص بودن، می‌توان ضرب دکارتی را در مجموعه ، ضرب مستقیم در Grp ، یا توپولوژی ضرب را در Top ، جایی که ضربها وجود دارد، در نظر گرفت.

اجازه دهید ایکس و Y اشیاء یک دسته باشند سیبا ضربها محدود ضرب ازایکس و Y یک شی است ایکس × Y همراه با دو همریختی

\pi _{1} : {\displaystyle X\times Y\to X}

\pi _{2} : {\displaystyle X\times Y\to Y}

به طوری که برای هر شی دیگری ز از سی و همریختی ها f: Z \ تا X و {\displaystyle g:Z\to Y} یک همریختی منحصر به فرد وجود دارد {\displaystyle h:Z\to X\times Y} به طوری که {\displaystyle f=\pi _{1}\circ h} و {\displaystyle g=\pi _{2}\circ h}.

برای درک این توصیف به عنوان یک ویژگی جهانی، دسته را در نظر بگیرید Dمی شود دسته بندی ضربها {\displaystyle C\times C}و تابع مورب را تعریف کنید

{\displaystyle \Delta :C\to C\times C}

توسط {\displaystyle \Delta (X)=(X,X)} و {\displaystyle \Delta (f:X\to Y)=(f,f)}. سپس{\displaystyle (X\times Y,(\pi _{1},\pi _{2}))} یک همریختی جهانی از \ دلتا  به شی (X,Y) از {\displaystyle C\times C}: اگر (f,g) هر گونه همریختی از {\displaystyle (Z,Z)} به (X,Y)، پس باید با یک همریختی برابری کند {\displaystyle \Delta (h:Z\to X\times Y)=(h,h)} از جانب {\displaystyle \Delta (Z)=(Z,Z)} به {\displaystyle \Delta (X\times Y)=(X\بار Y,X\بار Y)} به دنبال {\displaystyle (\pi _{1},\pi _{2})}.

محدودیت ها و محدودیت ها [ ویرایش ]

ضربها طبقه‌بندی نوع خاصی از محدودیت در نظریه دسته‌بندی هستند. می توان مثال فوق را به محدودیت ها و محدودیت های دلخواه تعمیم داد.

اجازه دهید جی و سی دسته بندی با جییک دسته شاخص کوچک و اجازه دهید{\displaystyle C^{J}}مقوله تابع مربوطه باشد. عمل کننده مورب

{\displaystyle \Delta :C\to C^{J}}

تابعی است که هر شی را ترسیم می کند ن که در سی به تابع ثابت {\displaystyle \Delta (N):J\to C} به ن (یعنی {\displaystyle \Delta (N)(X)=N} برای هر ایکس که در جی).

یک تابع داده شده است {\displaystyle F:J\to C} (به عنوان یک شی در {\displaystyle C^{J}})، حد ازاف، اگر وجود داشته باشد، چیزی نیست جز یک همریختی جهانی از \ دلتا  به اف. دوگانه، colimit ازاف یک همریختی جهانی از اف به \ دلتا .

خواص [ ویرایش ]

وجود و منحصر به فرد بودن [ ویرایش ]

تعریف کمیت وجود آن را تضمین نمی کند. یک تابع داده شده استF:C\to D و یک شی ایکس از سی، ممکن است یک همریختی جهانی وجود داشته باشد یا نباشد ایکس به اف. اگر، با این حال، یک همریختی جهانی{\displaystyle (A,u)}وجود دارد، پس اساسا منحصر به فرد است. به طور خاص، تا یک ایزوهمریختی منحصر به فرد منحصر به فرد است : اگر{\displaystyle (A',u')} یک جفت دیگر است، پس یک ایزوهمریختی منحصر به فرد وجود دارد {\displaystyle k:A\to A'} به طوری که {\displaystyle u'=F(k)\circ u}. این به راحتی با جایگزینی قابل مشاهده است{\displaystyle (A,u')} در تعریف همریختی جهانی.

جفت است {\displaystyle (A,u)}که اساسا در این مد منحصر به فرد است. شیآخود فقط تا ایزوهمریختی منحصر به فرد است. در واقع، اگر{\displaystyle (A,u)} یک همریختی جهانی است و {\displaystyle k:A\to A'} هر ایزوهمریختی پس از آن جفت است {\displaystyle (A',u')}، جایی که {\displaystyle u'=F(k)\circ u} همچنین یک همریختی جهانی است.

فرمولاسیون معادل [ ویرایش ]

تعریف همریختی جهانی را می توان به روش های مختلفی بازنویسی کرد. اجازه دهیدF:C\to D تابع باشید و اجازه دهید ایکس شیء بودن D. پس جملات زیرمعادل هستند:

عبارات دوگانه نیز معادل هستند:

  • {\displaystyle (A,u)} یک همریختی جهانی از اف به ایکس
  • {\displaystyle (A,u)}یک شی پایانی از دسته کاما است{\displaystyle (F\downnarrow X)}
  • {\displaystyle (A,u)} یک نمایندگی از {\displaystyle {\text{Hom}}_{D}(F(-)،X)}

ارتباط با تابع های الحاقی [ ویرایش ]

فرض کنید {\displaystyle (A_{1},u_{1})} یک همریختی جهانی از X_{1} به اف و {\displaystyle (A_{2},u_{2})} یک همریختی جهانی از X_{2} به اف. با خاصیت جهانی همریختی های جهانی، با توجه به هر گونه شکلی{\displaystyle h:X_{1}\to X_{2}} یک همریختی منحصر به فرد وجود دارد {\displaystyle g:A_{1}\to A_{2}} به طوری که نمودار زیر تغییر می کند:

مورفیسم های جهانی می توانند مانند یک تبدیل طبیعی بین تابع ها تحت شرایط مناسب رفتار کنند.

اگر هر شیX_{i} از D یک همریختی جهانی را می پذیرد اف، سپس تکلیف X_{i}\mapsto A_{i} و h\mapsto g یک تابع را تعریف می کند {\displaystyle G:D\to C}. نقشه هاu_{i}سپس یک تبدیل طبیعی از را تعریف کنید1_C (عملکرد هویت روشن است سی) به {\displaystyle F\circ G}. کارکردها{\displaystyle (F,G)}سپس یک جفت تابع الحاقی هستند ، باجی چپ به اف و اف حق الحاق به جی.

عبارات مشابهی در مورد وضعیت دوگانه همریختی های پایانی از اعمال می شود اف. اگر چنین همریختی هایی برای هر وجود داشته باشدایکس که در سی یک تابع به دست می آورد G: C \ به D که حق الحاق به اف (بنابراین اف سمت چپ به جی).

در واقع، تمام جفت‌های تابع الحاقی از ساختارهای جهانی به این شکل ناشی می‌شوند. اجازه دهیداف و جی یک جفت تابع الحاقی با واحد باشد \eta  و هم واحد \epsilon  ( برای تعاریف به مقاله مربوط به تابع های الحاقی مراجعه کنید). سپس برای هر شی در یک همریختی جهانی داریمسی و D:

  • برای هر شی ایکس که در سی، {\displaystyle (F(X)،\eta _{X})} یک همریختی جهانی از ایکس به جی. یعنی برای همه{\displaystyle f:X\to G(Y)} منحصر به فرد وجود دارد {\displaystyle g:F(X)\to Y} که نمودارهای زیر برای آن جابجایی دارند.
  • برای هر شی Y که در D، {\displaystyle (G(Y)،\epsilon _{Y})} یک همریختی جهانی از اف به Y. یعنی برای همه{\displaystyle g:F(X)\to Y} منحصر به فرد وجود دارد {\displaystyle f:X\to G(Y)} که نمودارهای زیر برای آن جابجایی دارند.

واحد و واحد یک پیوست، که تبدیل طبیعی بین تابع ها هستند، نمونه مهمی از مورفیسم های جهانی هستند.

ساختارهای جهانی کلی تر از جفت فاکتورهای الحاقی هستند: یک ساختار جهانی مانند یک مسئله بهینه سازی است. اگر و تنها در صورتی که این مشکل راه حلی برای هر شیء داشته باشد، یک جفت الحاقی ایجاد می کندسی (به طور معادل، هر شی از D).

تاریخچه [ ویرایش ]

خواص جهانی ساختارهای توپولوژیکی مختلف توسط پیر ساموئل در سال 1948 ارائه شد . آنها بعداً توسط بورباکی به طور گسترده مورد استفاده قرار گرفتند . مفهوم نزدیک به تابع های الحاقی به طور مستقل توسط دانیل کان در سال 1958 معرفی شد.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

  •