​

در ریاضیات و به‌ویژه در تئوری گروه‌ها ، ما به pگروه پروفر یا گروه شبه دوری 1 می‌گوییم ، برای یک عدد اول معین p ، هر گروهی که هم‌شکل به گروه ضربی است.

{\ displaystyle \ mathbf {C} _ {p ^ {\ infty}} = \ {\ exp (2 \ pi in / p ^ {m}) \ mid n \ in \ mathbf {Z}, m \ in \ mathbf {نه} \}}2

توسط ریشه های پیچیده واحدی که دستورات آن توان های p هستند تشکیل شده است .

بنابراین یک گروه p آبلی شمارش پذیر است .

گروه‌های بروفر که با یکدیگر یکریخت هستند، ما به راحتی از گروه P بروفر صحبت می‌کنیم، بدون اینکه به طور خاص یکی را مشخص کنیم. اگر یک عدد اول p وجود داشته باشد، می گوییم که گروه G یک گروه بروفر است .

p -گروه از بروفر هستند تا به افتخار ریاضیدان به نام هاینتس پروفر .

 

خلاصه

تعاریف معادل [ ویرایش | کد را اصلاح کنید]

فرض کنید p یک عدد اول و G یک گروه باشد. هر یک از پنج ویژگی زیر معادل G یک گروه P بروفر است (و بنابراین هر یک از این ویژگی‌ها می‌تواند به عنوان تعریفی برای گروه‌های بروفر عمل کند):

الف) G نسبت به ضریب یکریخت است {\ displaystyle \ mathbf {Z} [1 / p] / \ mathbf {Z},} یا {\ displaystyle \ mathbf {Z} [1 / p]}زیر گروه ( Q ، +) را نشان دهید که توسط اعداد شکل تشکیل شده است{\ displaystyle n / p ^ {m}}، با {\ displaystyle n \ in \ mathbf {Z}, m \ in \ mathbf {N}}.

توجیه. هممورفیسم{\ displaystyle \ mathbf {Z} [1 / p] \ فلش راست \ mathbf {C} _ {p ^ {\ infty}}: q \ mapsto \ exp (2 \ pi iq)} سوژه ای است و می پذیرد {\ mathbf {Z}} برای هسته

ب) G ریخت به خارج قسمت F / R، که در آن F یک است گروه آبلی آزاد (یعنی یک Z - مدول آزاد ) اعتراف شمارش پذیر اساس بی نهایت {\ displaystyle \ {\ a_ {0}, a_ {1}, \ ldots a_ {n}, \ ldots \}} و R زیر گروه F تولید شده توسط {\ displaystyle \ {\, pa_ {0}, a_ {0} -pa_ {1}, a_ {1} -pa_ {2}, \ ldots a_ {n} -pa_ {n + 1}, \ ldots \} }3 .

ج) G یک ارائه را می پذیرد

{\ displaystyle \ langle x_ {1}, x_ {2}, \ dots | x_ {1} ^ {p} = 1, x_ {2} ^ {p} = x_ {1}, x_ {3} ^ {p } = x_ {2}، \ نقطه \ محدوده.}

توجیه. بگذارید L یک گروه آزاد (غیر آبلی ) باشد که یک مبنای بی نهایت شمارش پذیر را می پذیرد{\ displaystyle \ {\ c_ {0}, c_ {1}, \ ldots c_ {n}, \ ldots \}}و S زیرگروه طبیعی L تولید شده توسط{\ displaystyle \ {c_ {0} ^ {p}, c_ {0} c_ {1} ^ {- p}, c_ {1} c_ {2} ^ {- p}, \ ldots c_ {n} c_ { n + 1} ^ {- p}, \ ldots \}}. برای هر عدد طبیعی i ، اجازه دهید{\ displaystyle x_ {i}} تصویر متعارف از {\ displaystyle c_ {i}}در L/S. واضح است که در دو{\ displaystyle x_ {i}}، همیشه یکی وجود دارد که توان دیگری است، بنابراین {\ displaystyle x_ {i}}بین آنها سوئیچ کنید از آنجایی که آنها L/S تولید می کنند، بنابراین L/S آبلی است، به عبارت دیگر S شامل گروه مشتق شده از D (L) از L است. بنابراین، طبق قضیه سوم یکریختی ، L/S به (L/D) یکریخت است. L)) / (S / D (L)). اکنون L/D (L) یک گروه آبلی آزاد (به عنوان یک گروه آبلی) است که به عنوان پایه تصاویر را پذیرفته است.}{\ displaystyle \ {\ d_ {0}, d_ {1}, \ ldots d_ {n}, \ ldots \}} در L / D (L) عناصر {\ displaystyle \ {\ c_ {0}, c_ {1}, \ ldots c_ {n}, \ ldots \}}، و S / D (L) زیر گروه L / D (L) تولید شده توسط است {\ displaystyle \ {d_ {0} ^ {p}, d_ {0} d_ {1} ^ {- p}, d_ {1} d_ {2} ^ {- p}, \ ldots d_ {n} d_ { n + 1} ^ {- p}, \ ldots \}}. با کمک نکته ب نتیجه می گیریم.

د) G یک خانواده زاینده را می پذیرد {\ displaystyle \ (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbf {Z}}} مانند {\ displaystyle \ a_ {0} \ not = 1}، {\ displaystyle \ a_ {0} ^ {p} = 1} و{\ displaystyle \ a_ {n + 1} ^ {p} = a_ {n}} برای همه چیزn \ geq 04 .

ه) G اتحاد یک دنباله صعودی نامتناهی است {\ displaystyle C_ {0} \ leq C_ {1} \ leq \ ldots \ leq C_ {n} \ leq \ ldots}که در آن، برای هر شاخص n ، C n یک گروه دوری از مرتبه p n 5 است .

خواص متفرقه [ ویرایش | کد را اصلاح کنید]

  • هر زیرگروهی که دارای گروهی از بروفر باشد دوری است و به‌ویژه تمام‌شده است ( در اینجا زیرگروه خود یک گروه G به معنای زیرگروه G متمایز از G است، و گروه دوری ، ما در اینجا به معنای گروه تک مولدی محدود است ). برای هر عدد طبیعی n ، گروه بروفر یک و تنها یک زیر گروه از مرتبه p n را می پذیرد . مجموعه ای از زیر گروه های یک گروه بروفر به خوبی با گنجاندن مرتب شده است. این مجموعه سفارش داده شده نوتری 6 نیست .
  • گروه p بروفر تنها گروه p است که همه زیرگروه‌های آبلی نامتناهی آن دوری هستند.
  • گروه‌های بروفر تنها گروه‌های آبلی نامتناهی هستند که زیرگروه‌های مناسب آنها متناهی هستند.
  • یک گروه آبلی نامتناهی G یک گروه بروفر است اگر و فقط اگر برای هر زیرگروه H مناسب G 7 یکریخت با G / H باشد.

گروه های بروفر قابل تقسیم هستند . اهمیت آنها از قضیه زیر ناشی می شود:

هر گروه آبلی قابل تقسیم، مجموع مستقیم یک خانواده (متناهی یا نامتناهی) از گروه هایی است که هر یک از آنها یک گروه پروفر یا گروهی یکریخت با گروه افزایشی اعداد گویا هستند .

برای مثال، گروه افزودنی Q / Z مجموع مستقیم زیرگروه‌های سیلو آن است که چیزی جز گروه‌های بروفر (برای هر عدد اول) نیستند.

مراجع 

​

​https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_Pr%C3%BCfer

​