ریاضیات

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

تصویر یک مجموعه محدب که تا حدودی شبیه یک دایره تغییر شکل یافته است. پاره خط، که در بالا به رنگ مشکی نشان داده شده است، که نقاط x و y را به هم می پیوندد، کاملاً درون مجموعه قرار دارد که به رنگ سبز نشان داده شده است. از آنجایی که این برای هر مکان احتمالی هر دو نقطه در مجموعه فوق صادق است، مجموعه محدب است.

تصویر یک مجموعه غیر محدب. با قسمت خط بالا که به موجب آن از سیاه به قرمز تغییر می کند، نشان داده شده است. توضیح اینکه چرا این مجموعه بالا، که با رنگ سبز نشان داده شده است، غیر محدب است.

در هندسه ، یک زیرمجموعه از فضای اقلیدسی ، یا به طور کلی، یک فضای وابسته بر روی واقعی ها ، محدب است اگر با توجه به هر دو نقطه در زیر مجموعه، زیرمجموعه شامل کل پاره خطی باشد که به آنها می پیوندد. به طور معادل، یک مجموعه محدب یا یک ناحیه محدب ، زیرمجموعه‌ای است که هر خط را به یک پاره خط (احتمالاً خالی) قطع می‌کند. [1] [2] به عنوان مثال، یک مکعب جامد یک مجموعه محدب است، اما هر چیزی که توخالی است یا دارای فرورفتگی است، مثلاً به شکل هلال ، محدب نیست.

مرز یک مجموعه محدب است که همیشه یک منحنی محدب . تقاطع از تمام مجموعه محدب که حاوی یک زیر مجموعه داده از فضای اقلیدسی است به نام بدنه محدب از . این کوچکترین مجموعه محدب حاوی A است .

تابع محدب است مقدار واقعی تابع در تعریف فاصله با ملکی که آن کتیبه (مجموعه ای از نقاط در بالا و یا نمودار تابع) مجموعه ای محدب است. کمینه سازی محدب زیرشاخه ای از بهینه سازی است که مسئله کمینه سازی توابع محدب را در مجموعه های محدب مطالعه می کند. شاخه ای از ریاضیات که به مطالعه خصوصیات مجموعه های محدب و توابع محدب اختصاص دارد، آنالیز محدب نامیده می شود .

مفهوم مجموعه محدب را می توان به شرح زیر تعمیم داد.

فهرست

• 1تعاریف
  • 1.1مجموعه غیر محدب
• 2خواص
  • 2.1تقاطع ها و اتحادیه ها
  • 2.2مجموعه های محدب بسته
  • 2.3مجموعه ها و مستطیل های محدب
  • 2.4نمودارهای Blaschke-Santaló
  • 2.5سایر خواص
• 3بدنه محدب و مجموع مینکوفسکی
  • 3.1بدنه های محدب
  • 3.2اضافه شدن مینکوفسکی
  • 3.3بدنه محدب مجموع مینکوفسکی
  • 3.4مینکوفسکی مجموع مجموعه های محدب
• 4تعمیم و بسط برای تحدب
  • 4.1مجموعه های ستاره ای محدب (ستاره ای شکل).
  • 4.2تحدب متعامد
  • 4.3هندسه نااقلیدسی
  • 4.4توپولوژی سفارش
  • 4.5فضاهای تحدب
• 5همچنین ببینید
• 6منابع
• 7لینک های خارجی

تعاریف [ ویرایش ]

یک تابع محدب است اگر و تنها در صورتی که رونوشت آن ، ناحیه (به رنگ سبز) بالای نمودار آن (به رنگ آبی)، مجموعه ای محدب باشد.

فرض کنید S یک فضای برداری یا یک فضای وابسته روی اعداد واقعی ، یا، به طور کلی، روی برخی از فیلدهای مرتب شده باشد. این شامل فضاهای اقلیدسی است که فضاهای وابسته هستند. زیر مجموعه C از S است محدب اگر، برای همه X و Y در C از پاره خط اتصال X و Y در شامل C . این بدان معنی است که ترکیب افین (1 - t ) x + ty متعلق به استC ، برای همه x و y در C ، و t در بازه [0، 1] . این نشان می‌دهد که تحدب (ویژگی محدب بودن) تحت تبدیل‌های وابسته ثابت است . این همچنین به این معنی است که یک مجموعه محدب در یک فضای برداری توپولوژیکی واقعی یا پیچیده به مسیر متصل است ، بنابراین متصل است .

یک مجموعه C استبه شدت محدب اگر هر نقطه روی پاره خط اتصالXوY از نقاط پایانی است در داخلداخلیازC.

مجموعه ای C است کاملا محدب اگر آن محدب و متعادل کننده شده .

محدب زیر مجموعه از R (مجموعه ای از اعداد حقیقی) فواصل و نقاط هستند R . برخی از نمونه‌های زیرمجموعه‌های محدب صفحه اقلیدسی عبارتند از چندضلعی‌های منتظم جامد، مثلث‌های جامد، و تقاطع مثلث‌های جامد. چند نمونه از زیر مجموعه های محدب فضای سه بعدی اقلیدسی ، جامدات ارشمیدسی و جامدات افلاطونی هستند . polyhedra به کپلر Poinsot شده نمونه هایی از مجموعه غیر محدب.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Convex_set