اصطلاحات [ ویرایش ]

از نظر ریاضی با فرم دوخطی یک تانسور از نوع (0،2) در هر نقطه از فضازمان مرتبط است که متریک مینکوفسکی نامیده می شود . [nb 5] متریک مینکوفسکی، فرم دوخطی، و حاصلضرب درونی مینکوفسکی همگی یک شی هستند. این یک تابع دو خطی است که دو بردار (متضاد) را می پذیرد و یک عدد واقعی را برمی گرداند. در مختصات، این ماتریس 4×4 است که فرم دوخطی را نشان می دهد.

برای مقایسه، در نسبیت عام ، یک منیفولد لورنتزی L به همین ترتیب مجهز به یک تانسور متریک g است که یک فرم دوخطی متقارن غیرمنحط در فضای مماس T p L در هر نقطه p از L است . در مختصات، بسته به موقعیت فضا-زمان ممکن است با یک ماتریس 4×4 نشان داده شود . بنابراین فضای مینکوفسکی یک مورد خاص نسبتا ساده از منیفولد لورنتسی است. تانسور متریک آن در مختصات همان ماتریس متقارن در هر نقطه از M است و آرگومان‌های آن در بالا می‌توانند به‌عنوان بردارهایی در خود فضازمان گرفته شوند.

بنابراین فضای مینکوفسکی با معرفی اصطلاحات بیشتر (اما نه ساختار بیشتر)، یک فضای شبه اقلیدسی با ابعاد کل n = 4 و امضا (3، 1) یا (1، 3) است . عناصر فضای مینکوفسکی را رویدادها می نامند . فضای مینکوفسکی  اغلب با ℝ 3,1 یا ℝ 1,3 نشان داده می شود تا بر امضای انتخاب شده تأکید شود، یا فقط M . شاید ساده ترین مثال از منیفولد شبه ریمانی باشد .

یک مثال جالب از مختصات غیر اینرسی برای (بخشی از) فضازمان مینکوفسکی مختصات بورن هستند . مجموعه مفید دیگری از مختصات مختصات مخروط نور است .

معیارهای شبه اقلیدسی [ ویرایش ]

مقالات اصلی: فضای شبه اقلیدسی و منیفولدهای لورنتسی

حاصلضرب درونی مینکوفسکی یک ضزب درونی نیست ، زیرا مثبت-معین نیست ، یعنی شکل درجه دوم η ( v , v ) برای غیر صفر v لازم نیست مثبت باشد . شرط مثبت ـ قطعی جای خود را به شرط ضعیف تر عدم انحطاط داده است. شکل دو خطی نامشخص است . متریک مینکوفسکی η تانسور متریک فضای مینکوفسکی است. این یک متریک شبه اقلیدسی یا به طور کلی یک متریک شبه ریمانی ثابت در مختصات دکارتی است. به این ترتیب، یک فرم دوخطی متقارن غیر منحط است، یک نوع (0، 2)تانسور آن را می پذیرد دو استدلال تو ص ، V p، بردارها در T p M ، p ∈ M ، فضای مماس در p در M . با توجه به تشخيص شرعي فوق الذكر T p M با خود M ، آرگومانهاي u , v را با u و v در M مي پذيرد .

به عنوان یک قرارداد نمادگذاری، بردارهای v در M ، که 4-بردار نامیده می شوند، با حروف کج نشان داده می شوند، و نه، همانطور که در تنظیمات اقلیدسی معمول است، با حروف پررنگ v . دومی به طور کلی برای بخش 3 بردار (که در زیر معرفی می شود) یک بردار 4 محفوظ است.

تعریف [14]

{\displaystyle u\cdot v=\eta (u,\,v)}

یک ساختار ضزب مانند درونی روی M ایجاد می‌کند ، که قبلاً و همچنین از این به بعد، حاصلضرب درونی مینکوفسکی نامیده می‌شود ، شبیه به ضزب درونی اقلیدسی ، اما هندسه متفاوتی را توصیف می‌کند. به آن ضزب نقطه نسبیتی نیز می گویند . اگر دو استدلال یکسان باشند،

{\displaystyle u\cdot u=\eta (u,u)\equiv \|u\|^{2}\equiv u^{2}،}

مقدار حاصل را هنجار مینکوفسکی مربع می نامند . ضزب داخلی مینکوفسکی  ویژگی های زیر را برآورده می کند.

خطی بودن در آرگومان اول

{\displaystyle \eta (au+v,\,w)=a\eta (u,\,w)+\eta (v,\,w),\quad \forall u,\,v\in M,\ ;\forall a\in \mathbb {R} }

تقارن

{\displaystyle \eta (u,\,v)=\eta (v,\,u)}

عدم انحطاط

{\displaystyle \eta (u,\,v)=0,\;\forall v\in M\ \Rightarrow \ u=0}

دو شرط اول دلالت بر دوخطی بودن دارند. تفاوت تعیین کننده بین یک ضزب شبه درونی و یک ضزب درونی مناسب این است که اولی لازم نیست قطعی مثبت باشد، یعنی η ( u , u ) < 0 مجاز است.

مهمترین ویژگی حاصلضرب درونی و هنجار مجذور این است که اینها مقادیری هستند که تحت تأثیر تبدیلات لورنتس قرار ندارند . در واقع، می توان آن را به عنوان ویژگی تعیین کننده تبدیل لورنتس در نظر گرفت که حاصلضرب داخلی را حفظ می کند (یعنی مقدار شکل دوخطی مربوطه روی دو بردار). این رویکرد به طور کلی برای همه گروه‌های کلاسیک قابل تعریف در گروه کلاسیک به کار گرفته می‌شود . در آنجا، ماتریس Φ در حالت O(3, 1) (گروه لورنتس) با ماتریس η که در زیر نمایش داده می شود یکسان است .

دو بردار پنجم و W گفته می شود متعامد اگر η ( V ، W ) = 0 . برای تفسیر هندسی متعامد در حالت خاصی که η ( v , v ) ≤ 0 و η ( w , w ) ≥ 0 (یا بالعکس)، به تعامد هذلولی مراجعه کنید .

بردار e بردار واحد نامیده می شود اگر η ( e , e ) = 1± . اساس برای M شامل بردار واحد متعامد یک نام بر اساس عمود . [ نیازمند منبع ]

برای یک قاب اینرسی معین ، یک مبنای متعارف در فضا، همراه با بردار واحد زمان، یک مبنای متعارف در فضای مینکوفسکی را تشکیل می‌دهد. تعداد بردارهای واحد مثبت و منفی در هر مبنایی از این قبیل یک جفت اعداد ثابت است که برابر با امضای فرم دوخطی مرتبط با حاصلضرب داخلی است. این قانون اینرسی سیلوستر است .

بیشتر اصطلاحات (اما نه بیش ساختار): متریک مینکوفسکی است شبه ریمانی متریک ، به طور خاص، لورنتزی متریک ، حتی بیشتر به طور خاص، لورنتس متریک، مادی و معنوی برای 4 فضازمان تخت بعدی با ابهام باقی مانده، تنها بودن کنوانسیون امضا .