مشتق [ ویرایش ]

[آیکون]

این بخش نیاز به گسترش دارد . شما می توانید با اضافه کردن به آن کمک کنید . ( ژوئن 2020 )

مقالات اصلی: مشتق رسمی و مشتق (جبر دیفرانسیل)

(رسمی) مشتق چند جمله ای

{\displaystyle a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}}

چند جمله ای است

{\displaystyle a_{1}+2a_{2}X+\cdots +na_{n}X^{n-1}.}

در مورد چند جمله‌ای با ضرایب واقعی یا مختلط ، این مشتق استاندارد است . فرمول فوق مشتق چند جمله ای را تعریف می کند حتی اگر ضرایب به حلقه ای تعلق داشته باشد که هیچ مفهومی از حد در آن تعریف نشده باشد. مشتق حلقه چند جمله ای را جبر دیفرانسیل می کند .

وجود مشتق یکی از ویژگی های اصلی یک حلقه چند جمله ای است که با اعداد صحیح مشترک نیست و برخی از محاسبات را در حلقه چند جمله ای آسان تر از اعداد صحیح می کند.

فاکتورسازی بدون مربع [ ویرایش ]

مقاله اصلی: چند جمله ای بدون مربع

درون یابی لاگرانژ [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: چند جمله‌ای لاگرانژ § شکل باریسنتریک

تجزیه چند جمله ای [ ویرایش ]

مقاله اصلی: تجزیه چند جمله ای

فاکتورسازی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: فاکتورسازی چند جمله ای

به جز برای فاکتورسازی، تمام ویژگی‌های قبلی K [ X ] مؤثر هستند ، زیرا اثبات‌های آن‌ها، همانطور که در بالا نشان داده شد، با الگوریتم‌هایی برای آزمایش ویژگی و محاسبه چندجمله‌ای که وجود آنها ادعا شده است، مرتبط است. علاوه بر این این الگوریتم کارآمد هستند، به عنوان خود پیچیدگی محاسباتی است درجه دوم تابعی از اندازه ورودی.

وضعیت برای فاکتورسازی کاملاً متفاوت است: اثبات فاکتورگیری منحصر به فرد هیچ اشاره ای به روشی برای فاکتورسازی نمی دهد. در حال حاضر برای اعداد صحیح، هیچ الگوریتم شناخته شده ای برای فاکتورسازی آنها در زمان چند جمله ای وجود ندارد . این اساس سیستم رمزنگاری RSA است که به طور گسترده برای ارتباطات اینترنتی امن استفاده می شود.

در مورد K [ X ] ، عوامل و روش‌های محاسبه آنها به شدت به K بستگی دارد . بر روی اعداد مختلط، ضرایب تقلیل ناپذیر (آنهایی که نمی توان آنها را بیشتر فاکتور گرفت) همه درجه یک هستند، در حالی که بر روی اعداد واقعی، چندجمله ای های تقلیل ناپذیر درجه 2 وجود دارد، و بر روی اعداد گویا، چند جمله ای های تقلیل ناپذیر از هر کدام وجود دارد. درجه. به عنوان مثال، چند جمله ای{\displaystyle X^{4}-2} نسبت به اعداد گویا تقلیل ناپذیر است، به عنوان عامل در نظر گرفته می شود {\displaystyle (X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X^{2}+{\sqrt {2}})} بیش از اعداد واقعی و، و به عنوان {\displaystyle (X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(Xi{\sqrt[{4}]{2}})( X+i{\sqrt[{4}]{2}})} بیش از اعداد مختلط

وجود یک الگوریتم فاکتورسازی به میدان زمین نیز بستگی دارد. در مورد اعداد حقیقی یا مختلط، قضیه آبل-روفینی نشان می‌دهد که ریشه‌های چند جمله‌ای و در نتیجه عوامل تقلیل‌ناپذیر را نمی‌توان دقیقاً محاسبه کرد. بنابراین، یک الگوریتم فاکتورسازی فقط می تواند تقریبی از عوامل را محاسبه کند. الگوریتم های مختلفی برای محاسبه چنین تقریبی طراحی شده است، به ریشه یابی چند جمله ای ها مراجعه کنید .

یک مثال از یک میدان K وجود دارد به طوری که الگوریتم های دقیقی برای عملیات حسابی K وجود دارد، اما هیچ الگوریتمی برای تصمیم گیری در مورد اینکه آیا یک چند جمله ای از شکل وجود دارد وجود ندارد.{\displaystyle X^{p}-a}است غیر قابل تقلیل و یا یک ضرب از چند جمله ای از درجه پایین تر است. [11]

از طرف دیگر، در مورد اعداد گویا و روی میدان های محدود، وضعیت بهتر از فاکتورسازی اعداد صحیح است ، زیرا الگوریتم های فاکتورگیری وجود دارند که دارای پیچیدگی چند جمله ای هستند . آنها در اکثر سیستم های جبر کامپیوتری با هدف عمومی پیاده سازی می شوند .

چند جمله ای حداقل [ ویرایش ]

اگر θ یک عنصر از یک است انجمنی K جبر L از ارزیابی چند جمله ای در θ منحصر به فرد است جبر همریخت φ از K [ X ] به L است که نقشه ها X به تتا و عناصر تاثیر نمی گذارد K خود را (آن است هویت نقشه روی K ). این شامل جایگزینی X با θ در هر چند جمله ای است. به این معنا که،

{\displaystyle \varphi \left(a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\right)=a_ {m}\theta ^{m}+a_{m-1}\theta ^{m-1}+\cdots +a_{1}\theta +a_{0}.}

تصویر این هممورفیسم ارزیابی ، جبر فرعی ایجاد شده توسط x است که لزوماً جابجایی است. اگر φ تزریقی باشد، زیر جبر تولید شده توسط θ نسبت به K [ X ] هم شکل است . در این مورد، این زیر جبر اغلب با K [ θ ] نشان داده می شود . ابهام نماد معمولاً بی ضرر است، زیرا هم شکلی است.

اگر هممورفیسم ارزیابی تزریقی نباشد، به این معنی است که هسته آن یک ایده آل غیر صفر است ، متشکل از همه چند جمله ای هایی که با جایگزینی X با θ، صفر می شوند . این است ایده آل عبارت است از تمام مضربی از برخی چند جمله ای MONIC، این است که به نام چند جمله ای حداقل از X . اصطلاح حداقل به این دلیل است که درجه آن در بین درجات عناصر ایده آل حداقل است.

دو مورد اصلی وجود دارد که چند جمله ای های حداقل در نظر گرفته می شوند.

در نظریه میدان و نظریه اعداد ، یک عنصر θ یک فیلد پسوند L از K است جبری بیش از K اگر آن را یک ریشه برخی چند جمله ای با ضرایب در است K . بنابراین، چند جمله‌ای حداقل بر روی K از θ ، چند جمله‌ای مونی با درجه حداقل است که دارای θ به عنوان ریشه است. از آنجایی که L یک میدان است، این چند جمله ای حداقل لزوماً بر K غیر قابل تقلیل است . برای مثال، چند جمله‌ای حداقلی (بیش از واقعی‌ها و همچنین بیش از معقولات) ازعدد مختلط i است{\displaystyle X^{2}+1}. چند جمله ای cyclotomic چندجمله ای حداقل هستند ریشه های وحدت .

در جبر خطی ، به N × N ماتریس مربع بیش از K تشکیل انجمنی K جبر از ابعاد محدود (به عنوان فضای برداری). بنابراین هممورفیسم ارزیابی نمی تواند تزریقی باشد، و هر ماتریس دارای یک چند جمله ای حداقلی (نه لزوما غیر قابل تقلیل) است. با قضیه کیلی-همیلتون ، هممورفیسم ارزیابی، چند جمله ای مشخصه یک ماتریس را به صفر می رساند. نتیجه این است که چند جمله ای حداقل چند جمله ای مشخصه را تقسیم می کند و بنابراین درجه چند جمله ای حداقل حداکثر n است .

حلقه ضریب [ ویرایش ]

در مورد K [ X ] ، حلقه ضریب یک ایده‌آل می‌تواند، مانند حالت کلی، به عنوان مجموعه‌ای از کلاس‌های هم ارزی ساخته شود . با این حال، از آنجایی که هر کلاس هم ارزی دقیقاً حاوی یک چند جمله ای با درجه حداقل است، ساختار دیگری اغلب راحت تر است.

با توجه به یک چند جمله ای ص درجه د از حلقه ی خارج قسمت از K [ X ] توسط ایده آل تولید شده توسط P را می توان با شناسایی فضای برداری از چندجملهای از درجه کمتر از د ، با "ضرب به پیمانه ص " به عنوان یک ضرب، مدول ضرب p متشکل از باقی مانده تحت تقسیم بر p حاصلضرب (معمول) چندجمله ای ها. این حلقه ضریب به صورت های مختلف نشان داده می شود{\displaystyle K[X]/pK[X]،} {\displaystyle K[X]/\langle p\rangle,} {\displaystyle K[X]/(p)،} یا به سادگی{\displaystyle K[X]/p.}

حلقه {\displaystyle K[X]/(p)}یک میدان است اگر و فقط اگر p یک چند جمله ای تقلیل ناپذیر باشد. در واقع، اگر P غیر قابل تقلیل است، هر چند جمله ای غیر صفر Q از درجه پایین تر اولند با ص ، و قضیه بزو اجازه می دهد تا محاسبات تحقیق و ها که SP + QR = 1 ؛ بنابراین، R است وارون ضربی از Q پیمانه ص . برعکس، اگر p تقلیل‌پذیر باشد، چند جمله‌ای a، b درجاتی کمتر از deg( p ) وجود دارد.به طوری که ab = p  ; بنابراین a، b غیر صفر مقسوم علیه صفر مدول p هستند و نمی توانند معکوس باشند.

به عنوان مثال، تعریف استاندارد میدان اعداد مختلط را می توان با گفتن اینکه حلقه ضریب است خلاصه کرد.

{\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)،}

و اینکه تصویر X در\mathbb {C} با i نشان داده می شود . در واقع، با توضیحات بالا، این خارج قسمت شامل تمام چندجملهای از یک درجه در من ، که فرم + دو ، با و ب در{\mathbb R}.باقیمانده تقسیم اقلیدسی که برای ضرب دو عنصر حلقه ضریب لازم است، با جایگزین کردن i 2 با -1 در حاصل ضرب آنها به عنوان چند جمله ای به دست می آید (این دقیقاً تعریف معمول حاصل ضرب اعداد مختلط است).

اجازه دهید θ یک عنصر جبری در یک K جبر . با جبری ، یکی به این معنی است که θ دارای یک چند جمله ای حداقل p است . حلقه اول ریخت قضیه ادعا میکند که همریخت جانشینی القا ریخت از{\displaystyle K[X]/(p)}روی تصویر K [ θ ] هممورفیسم جایگزینی. به ویژه، اگر A یک پسوند ساده از K باشد که توسط θ ایجاد شده است ، این امکان شناسایی A و را فراهم می کند{\displaystyle K[X]/(p).}این شناسایی به طور گسترده در نظریه اعداد جبری استفاده می شود .