از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد


فضای مور (توپولوژی جبری)در توپولوژی جبری ، یک حوزه همسانی یک IS N - iیفولد X داشتن گروه های همسانی یک نفر - حوزه ، برای برخی از اعداد صحیحn\geq 1. به این معنا که،

{\displaystyle H_{0}(X,\mathbb {Z} )=H_{n}(X,\mathbb {Z})=\mathbb {Z} }

و

{\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z})=\{0\}}برای تمام دیگر i .

بنابراین X یک فضای متصل است ، با یک عدد بتی غیر صفر بالاتر ، یعنی،{\displaystyle b_{n}=1}. به این معنی نیست که X به سادگی متصل است ، فقط گروه بنیادی آن کامل است (به قضیه Hurewicz مراجعه کنید ).

یک حوزه همسانی iطقی به طور مشابه تعریف می شود اما با استفاده از همسانی با ضرایب عقلی.

 

فهرست

کره همسانی پوانکاره [ ویرایش ]

کره همسانی پوانکاره (همچنین به عنوان فضای دوازده وجهی پوانکاره شناخته می شود) نمونه خاصی از کره همسانی است که اولین بار توسط هانری پوانکاره ساخته شد . از آنجایی که یک 3 iیفولد کروی است ، تنها همسانی 3 کره (علاوه بر خود 3 کره ) با یک گروه بنیادی محدود است . گروه بنیادی آن به عنوان گروه ایکوس وجهی دوتایی شناخته می شود و دارای نظم 120 است. از آنجایی که گروه بنیادی 3 کره بی اهمیت است، این نشان می دهد که 3 چندگانه با گروه های همسانی مشابه 3 کره وجود دارد که همومورف نیستند. آی تی.

ساخت و ساز [ ویرایش ]

ساخت ساده این فضا با یک دوازده وجهی آغاز می شود . هر وجه دوازده وجهی با وجه مخالف خود مشخص می شود و از پیچش حداقلی جهت عقربه های ساعت برای ردیف کردن چهره ها استفاده می شود. با چسباندن هر جفت وجه مخالف با استفاده از این شناسایی، یک 3 iیفولد بسته به دست می‌آید. ( برای ساخت مشابه، با استفاده از «پیچش» بیشتر، فضای سیفرت-وبر را ببینید که iجر به یک هذلولی 3 iیفولد می شود .)

از طرف دیگر، کره همسانی پوانکاره را می توان به عنوان فضای ضریب SO(3) / I که در آن I گروه ایکو وجهی است (یعنی گروه تقارن چرخشی ایکو وجهی iظم و دوازده وجهی، هم شکل به گروه متناوب ساخته شده است. {\displaystyle A_{5}}الف_{5}). به طور شهودی تر، این بدان معنی است که کره همسانی پوانکاره فضای تمام موقعیت های هندسی قابل تمایز یک ایکوساهدر (با مرکز و قطر ثابت) در فضای 3 اقلیدسی است. همچنین می توانید به جای به تصویب پوشش جهانی از SO (3) است که می تواند به عنوان گروه واحد متوجه چهارگان و همانریخت به 3 کره است. در این مورد، کره همسانی پوانکاره هم شکل است{\displaystyle S^{3}/{\widetilde {I}}} جایی که {\displaystyle {\widetilde {I}}}است گروه بیست وجهی باینری ، کامل پوشش دو از i جاسازی شده درS^{3}.

روش دیگر جراحی دهن است . کره همسانی پوانکاره از عمل جراحی +1 بر روی گره سه‌فولیوی سمت راست حاصل می‌شود .

کیهان شناسی [ ویرایش ]

در سال 2003، فقدان ساختار در بزرگ‌ترین مقیاس (بالای 60 درجه) در پس‌زمینه مایکروویو کیهانی که به مدت یک سال توسط فضاپیمای WMAP مشاهده شد، به پیشنهاد ژان پیر لومینه از رصدخانه پاریس و همکارانش iجر شد که شکل جهان یک کره پوانکاره است. [1] [2] در سال 2008، ستاره شناسان بهترین جهت گیری را در آسمان برای مدل پیدا کردند و برخی از پیش بینی های مدل را با استفاده از سه سال مشاهدات توسط فضاپیمای WMAP تأیید کردند. [3] از سال 2016، انتشار تجزیه و تحلیل داده ها از فضاپیمای پلانکنشان می دهد که هیچ توپولوژی غیر پیش پا افتاده قابل مشاهده ای در جهان وجود ندارد. [4]

ساخت و سازها و نمونه ها [ ویرایش ]

  • جراحی بر روی یک گره در S 3 3 کره با کادربندی +1 یا -1 یک کره همسانی می دهد.
  • به طور کلی‌تر، جراحی روی یک پیوند، هر زمان که ماتریس داده‌شده با اعداد تقاطع (خارج از مورب) و فریم‌ها (روی مورب) دارای 1+ یا -1 باشد، یک کره همسانی به دست می‌دهد.
  • اگر p ، q و r دو به دو اعداد صحیح مثبت نسبتاً اول باشند، پیوند تکینگی x p + y q + z r = 0 (به عبارت دیگر، تقاطع یک 5 کره کوچک در اطراف 0 با این سطح مختلط) است. یک iیفولد بریسکورن که یک همسانی 3 کره ای است، به نام Σ( p , q , r ) 3 کره ای بریسکورن . اگر یکی از p ، q و r 1 باشد و Σ(2، 3، 5) کره پوانکاره باشد، نسبت به کره 3 استاندارد همومورف است.
  • مجموع متصل دو همسانی گرا 3-حوزه های همسانی 3-کره است. همسانی 3 کره ای را که نمی توان به صورت مجموع متصل دو همسانی 3 کره نوشت، تقلیل ناپذیر یا اول نامیده می شود و هر همسانی 3 کره را می توان به صورت مجموع متصل از همسانی 3 کره به روشی اساسا iحصر به فرد نوشت. ( تجزیه اولیه (3 iیفولد) را ببینید .)
  • فرض کنید که a_1، \ldots، a_rاعداد صحیحی هستند که همگی حداقل 2 هستند به طوری که هر دو عدد همزمان هستند. سپس فضای فیبر سیفرت

\{b,(o_{1},0);(a_{1},b_{1}),\dots ,(a_{r},b_{r})\}\,

بر روی کره با الیاف استثنایی درجه a 1 ، ...، a r یک کره همسانی است، که در آن b 's طوری انتخاب می شوند که

b+b_{1}/a_{1}+\cdots +b_{r}/a_{r}=1/(a_{1}\cdots a_{r}).

(وجود دارد همیشه یک راه برای انتخاب ب است، و حوزه همسانی می کند در انتخاب بستگی دارد (تا یکریختی) نیست ب است.) اگر R است حداکثر 2 این فقط معمول 3-کره است. در غیر این صورت آنها حوزه های همسانی غیر پیش پا افتاده متمایز هستند. اگر s 'را 2، 3، 5 و این را می دهد حوزه پوانکاره. اگر حداقل 3 a وجود داشته باشد، نه 2، 3، 5، آنگاه این یک همسانی غیر چرخه ای 3 کره با گروه بنیادی نامتناهی است که دارای هندسه تورستون است که بر اساس پوشش جهانی SL 2 ( R ) مدل شده است .

متغیرها [ ویرایش ]

  • ثابت روخلین است{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }- ارزش ثابت همسانی 3-کره.
  • ثابت کاسسون یک عدد صحیح به ارزش یکسان از همسانی 3-حوزه، که وزارت دفاع کاهش 2 ثابت روخلین است.

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

اگر همسانی 3-حوزه به استاندارد 3-حوزه همانریخت نمی باشد، پس از آن تعلیق از یک مثال از یک 4 بعدی است چند برابر همسانی است که نمی iیفولد توپولوژیکی . تعلیق دوگانه A به 5 کره استاندارد همومورف است، اما مثلث بندی آن (القا شده توسط برخی مثلث بندی A ) یک iیفولد PL نیست . به عبارت دیگر، این مثالی از یک کمپلکس ساده محدود است که یک iیفولد توپولوژیکی است اما iیفولد PL نیست. (این iیفولد PL نیست زیرا پیوند یک نقطه همیشه 4 کره نیست.)

گالوسکی و استرن نشان دادند که تمام iیفولدهای توپولوژیکی فشرده (بدون مرز) با ابعاد حداقل 5، همومورف به کمپلکس های ساده هستند، اگر و فقط اگر همسانی 3 کره Σ با روخلین ثابت 1 وجود داشته باشد، به طوری که مجموع متصل Σ#Σ از Σ با خودش وجود داشته باشد. یک 4 iیفولد غیر حلقوی صاف را محدود می کند. از سال 2013 ، وجود چنین همسانی 3 کره یک مشکل حل نشده بود. در 11 مارس 2013، سیپریان مانولسکو پیش چاپی را در ArXiv ارسال کرد [5]با این ادعا که نشان می دهد چنین کره همسانی با خاصیت داده شده وجود ندارد، و بنابراین، 5 iیفولد وجود دارد که همومورفیک به کمپلکس های ساده نیستند. به ویژه، مثالی که در ابتدا توسط گالوسکی و استرن ارائه شد (نگاه کنید به گالوسکی و استرن، یک 5 iیفولد جهانی با توجه به مثلث‌سازی‌های ساده، در توپولوژی هندسی (مجموعه مقالات کنفرانس توپولوژی جورجیا، آتن جورجیا، 1977، انتشارات آکادمیک، نیویورک، ص 345 -350)) مثلثی نیست.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع