گروه همتوپی [ ویرایش ]

 

همتوپی از دو نقشه دایره ای که نقطه پایه را ثابت نگه می دارند

 

اضافه کردن دو نقشه دایره ای که نقطه پایه را ثابت نگه می دارد

ویژگی متمایز یک فضای توپولوژیکی ساختار پیوستگی آن است که بر حسب مجموعه های باز یا همسایگی رسمیت یافته است . نقشه مداوم یک تابع بین فضاهای که به حفظ تداوم است. هموتوپی یک مسیر پیوسته بین نقشه های مداوم است. گفته می شود که دو نقشه که توسط یک هموتوپی به هم متصل شده اند همتوپیکی هستند. ایده مشترک همه این مفاهیم، ​​کنار گذاشتن تغییراتی است که بر نتایج مورد علاقه تأثیر نمی‌گذارند. به عنوان مثال عملی مهم است قضیه مانده از تجزیه و تحلیل پیچیده، که در آن "منحنی های بسته" نقشه های پیوسته از دایره به صفحه مختلط هستند، و جایی که دو منحنی بسته اگر در فضای توپولوژیکی متشکل از صفحه منهای نقاط تکینگی همتوپیک باشند، نتیجه انتگرالی یکسانی را ایجاد می کنند.

اولین گروه هموتوپی، یا گروه بنیادی ، π 1 ( X ) از یک ( مسیر متصل ) فضای توپولوژیکی X بنابراین با نقشه های پیوسته از یک دایره نوک تیز ( S 1 ، s ) به فضای نوک تیز ( X ، x ) آغاز می شود ، جایی که نقشه ها از یک جفت به نقشه دیگر s به x . این نقشه ها (یا به طور معادل، منحنی های بسته ) با هم در کلاس های هم ارزی بر اساس هموتوپی (با حفظ "نقطه پایه" x گروه بندی می شوند .ثابت)، به طوری که دو نقشه اگر همتوپیک باشند در یک کلاس قرار می گیرند. همانطور که یک نقطه از هم متمایز می شود، یک کلاس نیز متمایز می شود: همه نقشه ها (یا منحنی ها) همتوپیک به نقشه ثابت S 1 ↦ x ، همتوپیک تهی نامیده می شوند. کلاس ها با مقدمه ای از جمع، به یک گروه جبری انتزاعی تبدیل می شوند که از طریق یک "نیز استوا" تعریف می شود. این خرج کردن، استوای یک کره نوک تیز (در اینجا یک دایره) را به نقطه متمایز نشان می دهد، و یک " دسته گل " ایجاد می کند - دو کره نوک تیز که در نقطه مشخص خود به هم متصل شده اند. دو نقشه‌ای که اضافه می‌شوند، کره‌های بالایی و پایینی را به‌طور جداگانه ترسیم می‌کنند، و بر روی نقطه متمایز توافق می‌کنند، و ترکیب با خرج کردن، نقشه مجموع را نشان می‌دهد.

به طور کلی، من توریم هموتوپی گروه، π من ( X ) با اشاره آغاز می شود من -sphere ( S من ، ها ) ، و در غیر این صورت از همان روش زیر است. کلاس هموتوپیک تهی به عنوان هویت جمع گروه عمل می کند، و برای X برابر با S n (برای n مثبت ) - گروه های هموتوپی کره ها - گروه ها آبلی هستند و به طور ممتناهی بودن تولید می شوند . اگر برای برخی i همه نقشه‌ها همتوپیک پوچ هستند، گروه π iاز یک عنصر تشکیل شده است و گروه بی اهمیت نامیده می شود .

یک نقشه پیوسته بین دو فضای توپولوژیکی باعث ایجاد یک هم شکلی گروهی بین گروه های هموتوپی مرتبط می شود. به طور خاص، در صورتی که نقشه مستمر است پوشا و یکبهیک (یک همسانریختی )، به طوری که دو فضا دارند توپولوژی همان، و سپس خود من گروه های هموتوپی هفتم می ریخت برای همه من . با این حال، صفحه واقعی دقیقاً همان گروه های هموتوپی را به عنوان یک نقطه منفرد دارد (همانطور که فضای اقلیدسی با هر بعد دیگری دارد)، و صفحه واقعی با یک نقطه برداشته شده دارای همان گروه های دایره است، بنابراین گروه ها به تنهایی برای تشخیص کافی نیستند. فضاها اگرچه از دست دادن قدرت تمایز مایه تاسف است، اما می‌تواند محاسبات خاصی را نیز آسان‌تر کند.

نمونه های کم بعدی [ ویرایش ]

نمونه‌های کم‌بعدی گروه‌های هموتوپی کره‌ها حسی از موضوع را ارائه می‌کنند، زیرا این موارد خاص را می‌توان در فضای سه بعدی معمولی تجسم کرد ( هچر 2002 ). با این حال، چنین تجسمی‌هایی برهان ریاضی نیستند و پیچیدگی احتمالی نقشه‌های بین کره‌ها را نشان نمی‌دهند.

π 1 ( S 1 ) =\mathbb {Z} [ ویرایش ]

 

عناصر \scriptstyle\pi_1(S^1)

ساده ترین مورد مربوط به روش هایی است که یک دایره (1-کره) را می توان به دور دایره دیگر پیچیده کرد. این را می توان با پیچیدن یک نوار لاستیکی به دور انگشت خود مشاهده کرد: می توان آن را یک بار، دو بار، سه بار و غیره پیچید. بسته بندی می تواند در یکی از دو جهت باشد و بسته بندی ها در جهت مخالف پس از تغییر شکل از بین می روند. گروه هموتوپی π 1 ( S 1 ) بنابراین یک گروه حلقوی ناممتناهی بودن است و نسبت به گروه هم شکل است\mathbb {Z} از اعداد صحیح تحت جمع: یک کلاس هموتوپی با یک عدد صحیح با شمارش تعداد دفعاتی که یک نگاشت در کلاس هموتوپی به دور دایره می پیچد شناسایی می شود. این عدد صحیح را همچنین می توان به عنوان عدد پیچ در پیچ یک حلقه در اطراف مبدا در صفحه در نظر گرفت .

شناسایی ( ایزومورفیسم گروهی ) گروه هموتوپی با اعداد صحیح اغلب به صورت تساوی نوشته می شود: بنابراین π 1 ( S 1 ) =\mathbb {Z} .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy_groups_of_spheres