رایش ]

هر گروهی را می توان با در نظر گرفتن توپولوژی گسسته به یک گروه توپولوژیکی تبدیل کرد . چنین گروه هایی را گروه های گسسته می نامند . به این معنا، نظریه گروه های توپولوژیکی، نظریه گروه های معمولی را در بر می گیرد. ناگسسته (یعنی توپولوژی بدیهی) همچنین باعث می شود هر گروه به یک گروه توپولوژیک.

اعداد حقیقی ،\mathbb {R} با توپولوژی معمول یک گروه توپولوژیکی تحت اضافه تشکیل دهید. اقلیدسی N فضا- \mathbb {R} n نیز یک گروه توپولوژیکی تحت اضافه است و به طور کلی، هرفضای برداری توپولوژیکییک گروه توپولوژیکی (آبلی) را تشکیل می دهد. برخی از نمونه های دیگر ازآبلی گروه توپولوژیک هستندگروه دایره S 1 ، یاچنبره ( S 1 ) N برای هر عدد طبیعیn را.

گروه های موسیقی کلاسیک از نمونه های مهم گروه های توپولوژیکی غیر آبلی است. به عنوان مثال، گروه خطی عمومی GL( n ،\mathbb {R} ) از همه ماتریس های n- by- n معکوس با ورودی های واقعی را می توان به عنوان یک گروه توپولوژیکی با توپولوژی تعریف شده با مشاهده GL( n , \mathbb {R} ) به عنوان زیرفضای فضای اقلیدسی\mathbb {R} n × n . گروه کلاسیک دیگر گروهمتعامد O( n ) است، گروهی از تمامنقشه های خط یاز\mathbb {R} n به خودش کهطولهمه بردارهارا حفظمی کند. گروه متعامدفشردهبه عنوان یک فضای توپولوژیک. بسیاری ازهندسه اقلیدسی رامی توان به عنوان مطالعه ساختار گروه متعامد، یا گروه نزدیک O ( n ) ⋉ در نظر گرفت.\mathbb {R} N ازیکریختی از\mathbb {R} N .

گروه هایی که تاکنون ذکر شد، همگی گروه های لی هستند ، به این معنی که آنها منیفولدهای Pافی هستند به گونه ای که عملیات گروه روان باشد ، نه فقط پیوسته. گروه‌های لی بهترین گروه‌های توپولوژیکی هستند. بسیاری از سوالات در مورد گروه های لی را می توان به سوالات جبری Pرف در مورد جبرهای لی تبدیل کرد و سپس حل کرد.

نمونه ای از یک گروه توپولوژیکی که گروه لی نیست، گروه افزودنی است \mathbb {Q} از اعداد گویا ، با توپولوژی به ارث رسیده از\mathbb {R} . این یک فضای قابل شمارش است و توپولوژی گسسته ای ندارد. یک مثال مهم برای نظریه اعداد گروه است\mathbb {Z} p ازاعداد Pحیح p- adic، برای یکعدد اول p، به معنایحد معکوسگروه های محدود\mathbb {Z} / p n به عنوان n به بی نهایت می رود. گروه\mathbb {Z} p به خوبی رفتار می کند که فشرده است (در واقع، همومورفیک بهمجموعه کانتور است)، اما با گروه های لی (واقعی) تفاوت دارد زیراکاملاً جدا شده است. به طور کلی، یک نظریه ازگروه های لی p- adic وجود دارد، از جمله گروه های فشرده مانندGL( n ،\mathbb {Z} p )و همچنینگروه های فشرده محلیمانندGL( n ،\mathbb {Q} p )، جایی که\mathbb {Q} P به Pورت محلی فشرده استد رستاز P اعداد adic ارزیابی.

گروه \mathbb {Z} p یکگروه متناهی است. به زیرگروهی از ضرب هم شکل است{\displaystyle \prod _{n\geq 1}\mathbb {Z} /p^{n}} به گونه ای که توپولوژی آن توسط توپولوژی ضرب، که در آن گروه های محدود القا می شود {\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}}توپولوژی گسسته داده می شود. دسته بزرگ دیگری از گروه های طرفدار متناهی که در نظریه اعداد مهم هستند، گروه های گالوا مطلق هستند .

برخی از گروه‌های توپولوژیکی را می‌توان به‌عنوان گروه‌های لی با ابعاد نامتناهی مشاهده کرد . این عبارت بهتر است به طور غیررسمی درک شود، تا شامل چندین خانواده مختلف از مثال ها باشد. به عنوان مثال، یک فضای برداری توپولوژیکی ، مانند فضای باناخ یا فضای هیلبرت ، یک گروه توپولوژیکی آبلی است که در حال اضافه شدن است. برخی دیگر از گروه‌های بی‌بعدی که با درجات مختلف موفقیت مورد مطالعه قرار گرفته‌اند، گروه‌های حلقه ، گروه‌های کک مودی ، گروه‌های دیفئومورفیسم ، گروه‌های همومورفیسم و گروه‌های سنج هستند .

در هر جبر باناخ با هویت ضربی، مجموعه عناPر معکوس یک گروه توپولوژیکی را تحت ضرب تشکیل می دهند. به عنوان مثال، گروه عملگرهای محدود معکوس در فضای هیلبرت به این ترتیب بوجود می آیند.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_group