​

 

اقدام مونودرومی [ ویرایش ]

 

مقاله اصلی: مونودرومی

دوباره فرض کنید {\ displaystyle p \ colon C \ to X}یک نگاشت پوششی است و C (و بنابراین X نیز پیوسته است و مسیر محلی پیوسته است. اگر x در X باشد و c متعلق به فیبر بیش از x باشد (یعنی ،{\ displaystyle p (c) = x}) ، و {\ displaystyle \ gamma \ colon [0،1] \ to X} راهی است با {\ displaystyle \ gamma (0) = \ gamma (1) = x}، سپس این مسیر به یک مسیر منحصر به فرد در C با نقطه شروع c منتقل می شود . نقطه پایانی این مسیر بلند شده نیازی به c ندارد ، اما باید در فیبر بیش از x قرار داشته باشد. به نظر می رسد که این نقطه پایانی فقط به کلاس γ در گروه اساسی π 1 ( X ، x ) بستگی دارد . به این ترتیب ما یک عمل گروهی درست از π 1 ( X ، x ) بر روی فیبر بر روی x بدست می آوریم . این به عنوان عمل مونودرومی شناخته می شود .

دو عمل روی فیبر روی x وجود دارد  : Aut ( p ) در سمت چپ و π 1 ( X ، x ) در سمت راست عمل می کند. این دو عمل از نظر زیر سازگار هستند: f \ cdot (c \ cdot \ gamma) = (f \ cdot c) \ cdot \ gamma برای همه f در Aut ( p ) ، c در p -1 ( x ) و γ در π 1 ( X ، x ) .

اگر P یک پوشش جهانی، پس از آن (است ص ) را می توان به طور طبیعی با شناسایی گروه مقابل از π 1 ( X ، X ) به طوری که عمل سمت چپ از گروه مخالف π 1 ( X ، X ) همزمان با عمل Aut ( p ) روی فیبر بیش از x . توجه داشته باشید که Aut ( p ) و π 1 ( X ، x ) در این حالت به طور یکریختی طبیعی هستند (زیرا یک گروه همیشه به طور طبیعی در مقابل آن از طریق g یکریخت است↦ g − 1 ) .

اگر p یک پوشش معمولی است ، پس Aut ( p ) به طور یکریختی طبیعی تا یک عامل π 1 ( X ، x ) است .

به طور کلی (برای فضاهای خوب) ، Aut ( p ) به طور یکریختی طبیعی با ضریب نرمال کننده p * ( π 1 ( C ، c )) در π 1 ( X ، x ) بر روی p * ( π 1 ( C ،c)) ، جایی که p ( c ) = x .

اطلاعات بیشتر در مورد ساختار گروه [ ویرایش ]

بگذارید p  : C → X یک نگاشت پوششی باشد که در آن X و C به هم پیوسته هستند. بگذارید x ∈ X نقطه پایانی X باشد و c ∈ C یکی از تصاویر پیش از آن در C باشد ، یعنی p ( c ) = x . یک همومورفیسم ناشی از گروههای اساسی p # وجود دارد  : π 1 ( C ، c ) → π 1 ( X ،x ) که با خاصیت بالابری پوشش ها تزریقی است. به طور خاص اگر γ یک حلقه بسته در است ج به طوری که P # ([ γ ]) = 1 ، این است که P ∘ γ است تهی هموتوپ در X ، پس از آن در نظر گرفتن تهی هموتوپی از ص ∘ γ به عنوان یک نگاشت  F  : D 2 → X از 2 دیسک D 2 تا X به طوری که محدودیت f به مرز S 1 از D2 برابر است با p ∘ γ . با ویژگی بلند کردن ، نگاشت  f به یک نگاشت پیوسته g  : D 2 → C منتقل می شود به طوری که محدودیت g به مرز S 1 از D 2 برابر γ است . بنابراین، γ است تهی هموتوپ در C ، به طوری که هسته از ص #  : π 1 ( C ، C ) → π 1 ( X، x ) بی اهمیت است و بنابراین p #  : π 1 ( C ، c ) → π 1 ( X ، x ) یک همومورفیسم تزریقی است.

بنابراین، π 1 ( C ، C ) ریخت به زیر گروه است ص # ( π 1 ( C ، C )) از π 1 ( X ، X ) . اگر c 1 ∈ C پیش تصویر دیگری از x در C است ، زیر گروه های p # ( π 1 ( C ، c )) و p # ( π 1( C ، C 1 )) می مزدوج در π 1 ( X ، X ) توسط ص -Image از یک منحنی در C اتصال ج به ج 1 . بنابراین یک نگاشت پوششی p  : C → X یک کلاس صمیمیت از زیرگروه های π 1 ( X ، x ) تعریف می کند و می توان نشان داد که پوششهای معادل X همان طبقه پیوستگی زیر گروه های π 1 ( X را تعریف می کند.، x ) .

برای یک پوشش p  : C → X ، گروه p # ( π 1 ( C ، c )) نیز برابر است با

{\ displaystyle \ Gamma _ {p} (c) = \ {[\ gamma]: \ gamma _ {C} {\ text {یک منحنی بسته در}} C {\ text {عبور از}} c \ در C است \} ،}

مجموعه کلاسهای هموتوپی آن منحنی های بسته γ بر اساس x که بالابرهای آنها γ C در C ، با شروع از c ، منحنی بسته در c است . اگر X و C پیوسته به مسیر باشند ، درجه پوشش p (یعنی اصل هر فیبر p ) برابر با شاخص [ π 1 ( X ، x ) است: p # ( π 1 ( C ، c )) ] از زیر گروه p # ( π 1 ( C ، c )) در π 1 ( X ، x ) .

یک نتیجه کلیدی از نظریه فضای پوشش می گوید که برای یک فضای "به اندازه کافی خوب" X (یعنی اگر X پیوسته به مسیر باشد ، به صورت محلی به مسیر پیوسته شده و به صورت نیمه محلی به سادگی پیوسته شده باشد ) در واقع بین کلاسهای هم ارزایی مسیر یک بیهودگی وجود دارد. -پوش های پیوسته X و کلاسهای پیوستگی زیرگروههای گروه اصلی π 1 ( X ، x ) . گام اصلی برای اثبات این نتیجه ، ایجاد یک پوشش جهانی است ، یعنی یک پوشش مربوط به زیرگروه بی اهمیت π 1 ( X ، x ) . زمانی که وجود یک پوشش جهانیC از X ایجاد می شود ، اگر H ≤ π 1 ( X ، x ) یک زیر گروه دلخواه باشد ، فضای C / H پوشش X مربوط به H است . همچنین باید بررسی شود که دو پوشش X مربوط به زیرگروه یکسان (کلاس پیوند) π 1 ( X ، x ) معادل هستند. مجموعه های سلولی پیوسته و منیفولدهای پیوسته نمونه هایی از فضاهای "به اندازه کافی خوب" هستند.

فرض کنید N ( Γ ص ) شود عادی از Γ ص در π 1 ( X ، X ) . گروه تبدیل عرشه Aut ( p ) در گروه عامل N (Γ p )/Γ p یکریخت است . اگر P پوشش جهانی است، پس از آن Γ ص است گروه بی اهمیت ، و ریخت به است پی 1 ( X ).

فرض کنید این استدلال را معکوس کنیم. فرض کنید N یک زیرگروه نرمال از π 1 ( X ، X ) . با استدلال های بالا ، این یک پوشش (منظم) p  : C → X را تعریف می کند . بگذارید c 1 در C در فیبر x باشد. سپس برای هر دیگر ج 2 در فیبر از X است، دقیقا به یک تبدیل عرشه طول می کشد که وجود دارد ج 1 به ج 2 . این تغییر عرشه مربوط به منحنی g در C استاتصال c 1 به c 2 .

روابط با گروپوئیدها [ ویرایش ]

یکی از راههای بیان محتوای جبری نظریه پوشش فضاها ، استفاده از گروپوئیدها و گروپوئیدهای اساسی است . فانکتور دوم معادل سازی دسته ها را ارائه می دهد

{\ displaystyle \ pi _ {1}: \ operatorname {TopCov} (X) \ به \ operatorname {GpdCov} (\ pi _ {1} X)}

بین طبقه بندی فضاهای پوششی یک فضای مناسب X و دسته مورفیسم های پوشش گروپوئید π 1 ( X ). بنابراین نوع خاصی از نگاشت  فضاهای به خوبی توسط نوع خاصی از مدل همریختی از  گروپوئیدs. این دسته از پوشش همریختیs یک  گروپوئید G است معادل با دسته از اقدامات G در مجموعه، و این اجازه می دهد تا بهبود طبقه بندی های سنتی تر از پوشش.

روابط با طبقه بندی فضاها و هم شناسی گروهی [ ویرایش ]

اگر X ارتباط است، مجموعه سلول با گروه های هموتوپی π N ( X ) = 0 برای همه N ≥ 2 ، پس از آن فضای پوشش جهانی T از X انقباض است، به شرح زیر از استفاده از قضیه وایتهد به T . در این مورد X یک فضای طبقه بندی کننده است یا K ( G ، 1) برای G = π 1 ( X ) .

علاوه بر این، برای هر نفر ≥ 0 گروه سلولی N بخاطر سپردن حلقه C N ( T ) (است که، یک گروه آبلی رایگان با اساس داده شده توسط N -cells در T ) همچنین دارای یک طبیعی Z G - ماژول ساختار. در اینجا برای یک n -cell σ در T و برای g در G سلول g σ دقیقاً ترجمه شده از σ با تبدیل پوشش T مربوط به g است . علاوه بر این ، C n( T ) یک رایگان Z G -module با رایگان Z G -basis توسط نمایندگان داده G -orbits از N -cells در T . در این مورد مجتمع زنجیره ای توپولوژیکی استاندارد

\ cdots {\ overset {\ partial} {\ to}} C_ {n} (T) {\ overset {\ partial} {\ to}} C_ {n-1} (T) {\ overset {\ partial} { \ to}} \ cdots {\ overset {\ partial} {\ to}} C_ {0} (T) {\ overset {\ varepsilon} {\ to}} \ mathbf {Z} ،

که در آن ε است نگاشت تقویت ، یک است رایگان Z G وضوح از Z (که در آن Z با بی اهمیت مجهز Z G ساختار -module، گرم = متر برای هر گرم ∈ G و هر متر ∈ Z ). این قطعنامه را می توان مورد استفاده برای محاسبه های کوهمولوژی گروه از G با ضرایب دلخواه.

روش گراهام الیس برای محاسبه وضوح گروه و سایر جنبه های جبر همولوژیک ، همانطور که در مقاله وی در J. Symbolic Comp نشان داده شده است. و صفحه وب وی که در زیر ذکر شده است ، ساختن یک پوشش جهانی از یک K ( G ، 1) آینده نگر به طور استقرایی همزمان با یک هموتوپی قراردادی از این پوشش جهانی است. این دومی است که روش محاسباتی را ارائه می دهد.

کلیات [ ویرایش ]

به عنوان یک تئوری هموتوپی ، مفهوم پوشش فضاها زمانی خوب عمل می کند که گروه تبدیل عرشه گسسته باشد ، یا معادل آن ، زمانی که فضا بصورت محلی به هم پیوسته است . با این حال ، هنگامی که گروه تبدیل عرشه یک گروه توپولوژی است که توپولوژی آن گسسته نیست ، مشکلات بوجود می آیند. برای فضاهای پیچیده تر ، مانند گوشواره هاوایی ، پیشرفت هایی حاصل شده است . برای اطلاعات بیشتر به منابع موجود مراجعه کنید.

تعدادی از این مشکلات با تصور نیمه پوشش به دلیل جرمی برازاس برطرف می شود ، مقاله زیر را ببینید. هر نگاشت پوششی یک نیمه پوشش است ، اما نیمه پوشش ها قانون "2 از 3" را برآورده می کند: با توجه به ترکیب h = fg نگاشت فضاها ، اگر دو نگاشت از نیمه پوشش هستند ، سوم نیز چنین است. این قانون برای پوشش ها صدق نمی کند ، زیرا ترکیب نگاشت های پوششی نیازی به نگاشت پوششی ندارد.

تعمیم دیگر اعمال گروهی است که رایگان نیستند. راس ژئوگگان در بررسی خود در سال 1986 ( MR 0760769 ) بر روی دو مقاله توسط MA Armstrong در مورد گروه های اساسی فضاهای مداری نوشت: "این دو مقاله نشان می دهد که کدام قسمت از نظریه فضایی پوشش اولیه از حالت آزاد به حالت غیر رایگان منتقل می شود. این نوعی از مطالب اساسی که باید در کتابهای درسی استاندارد گروههای بنیادی در پنجاه سال گذشته وجود داشته باشد. " در حال حاضر ، به نظر می رسد که "توپولوژی و گروه های گروهی" ذکر شده در زیر تنها متن اصلی توپولوژی است که چنین نتایجی را پوشش می دهد.

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

 

قفل گیمبال رخ می دهد زیرا هر نگاشت  T 3 → RP 3 یک نگاشت پوششی نیست. به طور خاص ، نگاشت مربوطه هر عنصر T 3 ، یعنی سه گانه مرتب شده (a ، b ، c) زاویه (اعداد واقعی mod 2 π ) را به ترکیب سه محور محور مختصات R x (a) حمل می کند. ∘R y (b) ∘R z (c) به ترتیب با آن زوایا. هر یک از این چرخش ها و ترکیب آنها ، عنصری از گروه چرخش SO (3) است که از نظر توپولوژیکی RP 3 است . این انیمیشن مجموعه ای از سه گیمبال را نشان می دهد که به هم پیوسته شده اند تا بتوانند سه کار کننددرجه آزادی. هنگامی که هر سه گیمبال در یک راستا قرار می گیرند (در یک صفحه) ، سیستم فقط می تواند در دو بعد از این پیکربندی حرکت کند ، نه سه ، و در قفل گیمبال قرار دارد . در این حالت می تواند تکان بخورد یا خم شود ، اما نچرخد (در سطحی که محورها در آن قرار دارند بچرخد).

یک کاربرد کاربردی مهم برای پوشش فضاها در نمودارهای SO (3) ، گروه چرخش ، رخ می دهد . این گروه به دلیل استفاده از چرخش های سه بعدی در ناوبری ، مهندسی دریانوردی و مهندسی هوافضا ، در بسیاری از موارد دیگر ، به طور گسترده ای در مهندسی روی می دهد . توپولوژیکی، SO (3) است واقعی تصویری فضای RP 3 ، با گروه اساسی Z / 2، و تنها (غیر بدیهی) پوشش فضایی ابر کره S 3 ، که گروه اسپین (3) ، و ارائه شده توسط واحد چهارگانبه بنابراین کواترنیون ها یک روش ترجیحی برای نشان دادن چرخش های فضایی هستند - به کواترنیون ها و چرخش فضایی مراجعه کنید .

با این حال، آن است که اغلب مطلوب برای نشان چرخش توسط مجموعه ای از سه شماره، شناخته شده به عنوان زاویه اویلر (در انواع متعدد)، هر دو به دلیل این است مفهومی برای کسی که با چرخش مسطح آشنا ساده تر، و از آنجا که می توان ترکیبی از سه ساخت یک حلقه به چرخش را در سه بعد تولید می کند. از نظر توپولوژیکی ، این مربوط به نگاشت ای از 3 زاویه T 3 از سه زاویه تا فضای پیش بینی کننده واقعی RP 3 از چرخش ها است و نگاشت حاصله دارای نقص هایی است زیرا این نگاشت نمی تواند یک نگاشت پوششی باشد. به طور خاص ، شکست نگاشت به عنوان یک هومومورفیسم محلی در نقاط خاص ، قفل گیمبال نامیده می شود.، و در انیمیشن سمت راست نشان داده می شود - در برخی نقاط (هنگامی که محورها همسطح هستند) رتبه نگاشت 2 است و نه 3 ، بدین معنی که تنها 2 بعد چرخش را می توان از آن نقطه با تغییر زوایا متوجه شد. به این مشکلاتی را در برنامه های کاربردی ایجاد می کند و با تصور فضای پوشش رسمی می شود.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Covering_space

​