از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

 


مجموعه پیش فشرده - همچنین به "فشردگی" به اینجا تغییر مسیر می دهد. برای سایر کاربردها ، فشردگی (ابهام زدایی) را ببینید .

 

بر اساس معیارهای فشردگی فضای اقلیدسی که در قضیه هاینه بورل بیان شده است ، فاصله A = (−∞ ، −2] فشرده نیست زیرا متناهی نشده است. فاصله C = (2 ، 4) فشرده نیست زیرا فاصله B = [0، 1] فشرده است زیرا هم بسته و هم متناهی است.

در ریاضیات ، به طور خاص توپولوژی عمومی ، فشردگی است یک ویژگی است که تعمیم مفهوم یک زیر مجموعه از فضای اقلیدسی بودن بسته (شامل تمام آن نقطه حدی ) و متناهی (داشتن تمام نقاط آن در برخی از راه دور ثابت یکدیگر دروغ). [1] [2] نمونه هایی از فضاهای فشرده عبارتند از: یک فاصله حقیقی بسته ، اتحاد تعداد متناهیی از بازه های بسته ، یک مستطیل یا مجموعه ای متناهی از نقاط. این مفهوم برای فضاهای توپولوژیکی کلی تر تعریف شده است به طرق مختلف ، که معمولاً در فضای اقلیدسی معادل هستند اما در سایر فضاها ممکن است نابرابر باشند.

یکی تعمیم گونه ای است که یک فضای توپولوژیکی است پی در پی فشرده اگر هر دنباله نامتناهی از نقاط نمونه برداری از فضا بی نهایت توالی که از همگرایی به برخی از نقطه از فضا. [3] بولزانو-وایرشتراس قضیه بیان می کند که یک زیر مجموعه از فضای اقلیدسی فشرده در این معنا ترتیبی است اگر و تنها اگر آن را بسته است و متناهی شده است. بنابراین ، اگر فرد تعداد نامتناهیی از نقاط بسته در بازه واحد [0 ، 1] را انتخاب کند ، برخی از آن نقاط به طور دلخواه به عدد حقیقی در آن فضا نزدیک می شوند. به عنوان مثال ، برخی از اعداد در دنباله 1/2 ، 4/5 ، 1/3 ، 5/6 ، 1/4 ، 6/7 ،…تا 0 جمع می شود (در حالی که دیگران تا 1 جمع می شوند). مجموعه ای از نقاط مشابه در هیچ نقطه ای از فاصله واحد باز (0 ، 1) جمع نمی شود ، بنابراین فاصله واحد باز فشرده نیست. اگرچه زیر مجموعه (زیرفضای) فضای اقلیدسی می تواند فشرده باشد ، اما کل فضا به دلیل متناهی نبودن فشرده نیست. به عنوان مثال ، با توجه به{\ mathbb {R}}^{1}، کل خط عددی حقیقی ، دنباله ای از نقاط 0 ، 1 ، 2 ، 3 ،… ، هیچ دنباله ای ندارد که به هیچ عدد حقیقی همگرا شود.

فشردگی به طور رسمی توسط موریس فرشت در سال 1906 برای تعمیم قضیه بولزانو -وایرشتراس از فضاهای نقاط هندسی به فضاهای توابع معرفی شد . قضیه آرزلو-آسکولی و وجود پیانو قضیه نمونه نشان کاربردهای این مفهوم فشردگی به تجزیه و تحلیل کلاسیک. پس از معرفی اولیه ، مفاهیم معادل مختلفی از فشردگی ، از جمله فشردگی متوالی و فشردگی نقطه متناهی ، در فضاهای متریک کلی توسعه داده شد . [4]با این حال ، در فضاهای توپولوژیکی کلی ، این مفاهیم فشردگی لزوماً معادل نیستند. مفيدترين مفهوم - و تعريف استاندارد اصطلاح فشرده نشده - از نظر وجود خانواده هاي متناهی مجموعه هاي باز كه فضا را "مي پوشانند " به اين معنا كه هر نقطه از فضا در مجموعه اي قرار دارد كه عبارتند از: خانواده. این تصور ظریف تر ، که توسط پاول الکساندروف و پاول اوریسون در سال 1929 مطرح شد ، فضاهای فشرده را به عنوان تعمیم مجموعه های متناهی به نمایش می گذارد . در فضاهایی که از این نظر فشرده هستند ، اغلب می توان اطلاعاتی را که به صورت محلی در آن نگهداری می شوند وصله کرد- یعنی در همسایگی هر نقطه - به عبارت های متناظر که در فضا وجود دارند ، و بسیاری از قضایا از این ویژگی برخوردارند.

اصطلاح مجموعه فشرده گاهی اوقات مترادف فضای فشرده استفاده می شود ، اما اغلب به زیرفضای فشرده یک فضای توپولوژیکی نیز اشاره دارد.

 

فهرست

توسعه تاریخی [ ویرایش ]

در قرن نوزدهم ، چندین ویژگی ریاضی متفاوت درک شد که بعداً به عنوان پیامدهای فشردگی تلقی می شوند. از یک سو ، برنارد بولزانو ( 1817 ) آگاه بود که هر دنباله متناهی نقاط (به عنوان مثال در خط یا صفحه) دارای فرعی است که در نهایت باید خودسرانه به نقطه دیگری نزدیک شود ، به نام نقطه متناهی . اثبات بولتانو متکی به روش تقسیم بندی بود: دنباله در فاصله ای قرار می گیرد که سپس به دو قسمت مساوی تقسیم می شود و قسمتی که بی نهایت تعداد عبارتهای دنباله را انتخاب می کند. سپس می توان این فرآیند را با تقسیم فاصله کوچکتر حاصله به قسمتهای کوچکتر و کوچکتر - تا زمانی که در نقطه حد مطلوب بسته شود ، تکرار کرد. اهمیت کامل قضیه بولتانو ، و روش اثبات آن ، تقریباً 50 سال بعد که توسط کارل وایرشتراس دوباره کشف شد ، ظاهر نمی شد . [5]

در دهه 1880 ، مشخص شد که نتایج مشابه قضیه بولزانو -وایرشتراس را می توان برای فضاهای توابع و نه فقط اعداد یا نقاط هندسی فرموله کرد . ایده در نظر گرفتن عملکردها به عنوان نقاطی از یک فضای تعمیم یافته به تحقیقات جولیو آسکولی و سزار آرزلو برمی گردد . [6] نقطه اوج تحقیقات آنها ، قضیه آرزلو-آسکولی ، تعمیم قضیه بولزانو -واشتراس به خانواده های دارای عملکردهای مستمر بود ، نتیجه دقیق آن این بود که می توان یکنواخت همگرا را استخراج کرد.توالی توابع از خانواده توابع مناسب. حد یکنواخت این دنباله دقیقاً همان نقش "نقطه متناهی" بولتانو را ایفا کرد. در اوایل قرن بیستم ، نتایج مشابه نتایج آرزلو و آسکولی در ناحیه معادلات انتگرالی شروع شد ، که توسط دیوید هیلبرت و ارهارد اشمیت مورد بررسی قرار گرفت . برای طبقه خاصی از توابع گرین که از حل معادلات انتگرال ناشی می شود ، اشمیت نشان داده بود که ویژگی مشابه قضیه آرزلی - آسکولی به معنای همگرایی متوسط ​​است - یا همگرایی در چیزی که بعداً فضای هیلبرت نامیده شد . این در نهایت منجر به تصور اپراتور فشرده شدبه عنوان شاخه ای از مفهوم کلی یک فضای فشرده. این موریس فرشت بود که در سال 1906 جوهر ویژگی بولزانو -وایرشتراس را تقطیر کرد و اصطلاح فشردگی را برای اشاره به این پدیده کلی به کار برد (وی این اصطلاح را در مقاله 1904 خود [7] که منجر به پایان نامه معروف 1906 شد ، به کار برد. )

با این حال ، مفهوم متفاوتی از فشردگی به طور کلی نیز به آرامی در پایان قرن 19 از مطالعه پیوستار پدید آمد ، که برای تدوین دقیق تجزیه و تحلیل اساسی تلقی شد. در سال 1870 ، ادوارد هاینهه نشان داد که یک تابع پیوسته تعریف شده در یک فاصله بسته و متناهی در واقع به طور یکنواخت پیوسته است . در اثبات ، او از یک لما استفاده کرد که از هر پوشش قابل شمارش فاصله با فواصل بازتر کوچکتر ، می توان تعداد متناهیی از این موارد را انتخاب کرد که آن را نیز پوشانده است. اهمیت این لما توسط امیل بورل ( 1895 ) تشخیص داده شد و به مجموعه های دلخواه فواصل توسطپیر کازین (1895) و هنری لبسب ( 1904 ). قضیه هاینه بورل ، به عنوان نتیجه در حال حاضر شناخته شده است، یکی دیگر از ویژگی خاص برخوردار شده توسط مجموعه بسته و متناهی از اعداد حقیقی است.

این ویژگی از آنجا که اجازه می دهد از اطلاعات محلی در مورد یک مجموعه (مانند تداوم یک تابع) به اطلاعات جهانی در مورد مجموعه (مانند تداوم یکنواخت یک تابع) منتقل شود ، بسیار مهم بود. این احساس توسط لبگ (1904) بیان شد ، که همچنین از آن در توسعه انتگرالی که اکنون نام او را بر خود دارد استفاده کرد . سرانجام ، مکتب توپولوژی نقطه ای روسیه ، تحت هدایت پاول الکساندروف و پاول اوریسون ، فشردگی هاینهه-بورل را به گونه ای فرموله کرد که بتوان آن را در مفهوم مدرن یک فضای توپولوژیکی به کار برد . الکساندروف و اوریسون (1929)نشان داد که نسخه اولیه فشردگی به دلیل Fréchet ، که امروزه فشردگی متوالی (نسبی) نامیده می شود ، تحت شرایط مناسب از نسخه فشردگی که بر اساس وجود پوششهای فرعی متناهی فرموله شده است. این مفهوم فشردگی بود که غالب شد ، زیرا نه تنها یک ویژگی قوی تر بود ، بلکه می تواند در یک محیط کلی تر با حداقل ماشین آلات فنی اضافی تدوین شود ، زیرا فقط بر ساختار مجموعه های باز تکیه می کند. در یک فضا

مثالهای اساسی [ ویرایش ]

هر فضای متناهی کاملاً فشرده است. یک مثال غیر بدیهی از یک فضای فشرده است (بسته شده است) فاصله واحد [0،1] از اعداد حقیقی . اگر فرد تعداد نامتناهیی از نقاط متمایز را در بازه واحد انتخاب کند ، باید در آن بازه مقداری نقطه تجمع وجود داشته باشد . به عنوان مثال ، عبارات عدد فرد دنباله 1 ، 1/2 ، 1/3 ، 3/4 ، 1/5 ، 5/6 ، 1/7 ، 7/8 ، ... خودسرانه به 0 نزدیک می شوند ، در حالی که عدد زوج به طور خودسرانه به 1 نزدیک می شوند ، دنباله مثال ذکر شده اهمیت درج نقاط مرزی فاصله را نشان می دهد ، زیرا نقاط متناهیباید در خود فضا باشد-فاصله باز (یا نیمه باز) اعداد حقیقی فشرده نیست. همچنین بسیار مهم است که فاصله زمانی متناهی شود ، زیرا در فاصله [0 ،) ، می توان دنباله نقاط 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ... را انتخاب کرد ، که هیچ زیر دنباله ای در نهایت به طور خودسرانه به آن نزدیک نمی شود هر عدد حقیقی داده شده

در دو بعد ، دیسک های بسته فشرده هستند ، زیرا برای هر تعداد نامتناهیی از نقاط دیسک نمونه برداری شده ، برخی از زیرمجموعه های آن نقاط باید خودسرانه یا به نقطه ای درون دیسک یا به نقطه ای در مرز نزدیک شوند. با این حال ، یک دیسک باز فشرده نیست ، زیرا دنباله ای از نقاط می توانند به مرز متمایل شوند - بدون نزدیک شدن خودسرانه به هیچ نقطه ای در فضای داخلی. به همین ترتیب ، کره ها فشرده هستند ، اما یک کره فاقد یک نقطه است زیرا دنباله ای از نقاط هنوز هم می توانند به نقطه از دست رفته تمایل داشته باشند ، در نتیجه خودسرانه به هیچ نقطه ای در فضا نزدیک نمی شوند. خطوط و هواپیماها فشرده نیستند ، زیرا می توان مجموعه ای از نقاط مساوی را در هر جهت معین بدون نزدیک شدن به هیچ نقطه ای در نظر گرفت.

تعاریف [ ویرایش ]

بسته به سطح کلیت ، ممکن است تعاریف مختلفی از فشردگی اعمال شود. زیر مجموعه ای از فضای اقلیدسی به ویژه اگر بسته و متناهی باشد فشرده نامیده می شود . این به معنی این، توسط قضیه بولزانو-وایرشتراس ، که هر بی نهایت دنباله از مجموعه ای تا به توالی که از همگرایی به یک نقطه در مجموعه. مفاهیم مختلف معادل فشردگی ، مانند فشردگی متوالی و فشردگی نقطه متناهی ، می تواند در فضاهای متریک کلی توسعه داده شود . [4]

در مقابل ، مفاهیم مختلف فشردگی در فضاهای توپولوژیکی کلی معادل نیستند و مفیدترین مفهوم فشردگی - که در ابتدا دو فشاری نامیده می شد - با استفاده از جلد های متشکل از مجموعه های باز تعریف می شود (به تعریف جلد باز در زیر مراجعه کنید). این که این شکل از فشردگی برای زیر مجموعه های بسته و متناهی فضای اقلیدسی صادق است ، به عنوان قضیه هاینهه بورل شناخته می شود . فشرده ، وقتی به این شکل تعریف می شود ، اغلب به فرد اجازه می دهد اطلاعاتی را که در محلی - در یک محله شناخته شده است - بگیرداز هر نقطه از فضا - و گسترش آن به اطلاعاتی که در سطح جهان در سراسر فضا وجود دارد. یک مثال از این پدیده قضیه دیریکله است که در ابتدا توسط هاینهه به کار گرفته شد ، که یک تابع پیوسته در فاصله فشرده به طور یکنواخت پیوسته است . در اینجا ، تداوم یک ویژگی محلی از تابع است و تداوم یکنواخت ویژگی جهانی مربوطه است.

تعریف جلد باز [ ویرایش ]

به طور رسمی ، یک فضای توپولوژیکی X در صورتی فشرده نامیده می شود که هر یک از پوشش های باز آن دارای یک زیرپوشش متناهی باشد . [8] است که، X فشرده است اگر برای هر مجموعه C از زیر مجموعه های باز از X به طوری که

{\ displaystyle X = \ bigcup _ {x \ in C} x}،

یک زیر مجموعه متناهی F از C وجود دارد به طوری که

{\ displaystyle X = \ bigcup _ {x \ in F} x.}

برخی از شاخه های ریاضیات مانند هندسه جبری ، که معمولاً تحت تأثیر مکتب فرانسوی بوربکی قرار گرفته اند ، از اصطلاح شبه فشرده برای مفهوم کلی استفاده می کنند و اصطلاح فشرده را برای فضاهای توپولوژیکی که هم هاسدورف و هم شبه فشرده هستند ، ذخیره می کنند . مجموعه ای فشرده است که گاهی اوقات به عنوان یک اشاره فشرده ، جمع متراکم .

فشرده زیر مجموعه ها [ ویرایش ]

یک زیرمجموعه K از یک توپولوژیک X اگر به عنوان یک زیرفضا (در توپولوژی زیرفضا ) فشرده باشد ، فشرده است . این است که، K فشرده است اگر برای هر مجموعه خودسرانه C از زیر مجموعه های باز از X به طوری که

{\ displaystyle K \ subseteq \ bigcup _ {c \ in C} c}،

یک زیر مجموعه متناهی F از C وجود دارد به طوری که

{\ displaystyle K \ subseteq \ bigcup _ {c \ in F} c}به

فشردگی یک ویژگی "توپولوژیکی" است. یعنی اگر{\ displaystyle K \ زیرمجموعه Z \ زیرمجموعه Y}، با زیر مجموعه Z مجهز به توپولوژی زیرفضا ، پس K در Z فشرده است اگر و فقط اگر K در Y فشرده باشد.

تعاریف معادل [ ویرایش ]

اگر X یک فضای توپولوژیکی است ، موارد زیر معادل هستند:

  1. X فشرده است.
  2. هر پوشش باز از X است متناهی زیر پوشش .
  3. X دارای یک پایگاه فرعی است به طوری که هر پوشش فضا ، توسط اعضای زیر پایه ، دارای یک زیرپوشش متناهی ( قضیه زیر پایه اسکندر ) است.
  4. X است لیندلوف و قابل شمارش فشرده . [9]
  5. هر مجموعه ای از زیر مجموعه های بسته X با ویژگی تقاطع متناهی دارای تقاطع غیر خالی است.
  6. هر شبکه روی X دارای یک زیر شبکه همگرا است ( برای اثبات به مقاله در شبکه ها مراجعه کنید).
  7. هر فیلتر در X دارای یک اصلاح همگرا است.
  8. هر شبکه روی X دارای یک نقطه خوشه است.
  9. هر فیلتر روی X دارای یک نقطه خوشه است.
  10. هر فوق فیلتر روی X حداقل به یک نقطه همگرا می شود.
  11. هر زیر مجموعه ای بی نهایت از X دارای یک نقطه تجمع کامل است . [10]

فضای اقلیدسی [ ویرایش ]

برای هر زیرمجموعه A از فضای اقلیدسی ، A فشرده است اگر و فقط اگر بسته و متناهی باشد . این قضیه هاینهه بورل است .

از آنجا که یک فضای اقلیدسی یک فضای متریک است ، شرایط زیر بخش بعدی نیز برای همه زیر مجموعه های آن اعمال می شود. از بین همه شرایط معادل ، در عمل به آسانی می توان تأیید کرد که یک زیرمجموعه بسته و متناهی است ، به عنوان مثال ، برای یک فاصله بسته یا یک توپ n بسته .

فضاهای متریک [ ویرایش ]

برای هر فضای متریک ( X ، d ) موارد زیر معادل هستند (با فرض انتخاب قابل شمارش ):

  1. ( X ، d ) فشرده است.
  2. ( X ، د ) است کامل و کاملا متناهی (این نیز معادل فشردگی برای فضاهای یکنواخت ). [11]
  3. ( X ، d ) به ترتیب فشرده است. یعنی هر دنباله ای در X دارای یک دنباله همگرا است که حد آن در X است (این نیز معادل فشردگی برای فضاهای یکنواخت قابل شمارش اول است ).
  4. ( X ، د ) است حد فشرده نقطه (نیز نامیده می شود ضعیف قابل شمارش فشرده)؛ یعنی هر زیر مجموعه بی نهایت X حداقل یک نقطه متناهی در X دارد .
  5. ( X ، د ) است قابل شمارش فشرده ؛ یعنی هر جلد باز قابل شمارش X دارای یک زیرپوشش متناهی است.
  6. ( X ، d ) تصویری از یک تابع پیوسته از مجموعه کانتور است . [12]
  7. هر دنباله کاهشی مجموعه های بسته F1 ⊇ F2 ⊇ ... در ( X ، d ) دارای یک تقاطع غیر خالی است.
  8. ( X ، d ) بسته و کاملاً متناهی است.

یک فضای متریک فشرده ( X ، d ) ویژگی های زیر را نیز برآورده می کند:

  1. لمای عددی لبگ : برای هر جلد باز X ، یک عدد δ > 0 وجود دارد به طوری که هر زیر مجموعه ای از قطر X < δ در برخی از اعضای جلد موجود است.
  2. ( X ، د ) است دوم قابل شمارش ، از هم جدا و لیندلوف - این سه شرط معادل برای فضاهای متریک می باشد. این صحبت درست نیست؛ به عنوان مثال ، یک فضای گسسته قابل شمارش این سه شرط را برآورده می کند ، اما فشرده نیست.
  3. X بسته و متناهی است (به عنوان زیرمجموعه هر فضای متریک که متریک متناهی آن d است ). عکس ممکن است برای یک فضای غیر اقلیدسی شکست بخورد. به عنوان مثال خط حقیقی مجهز به متریک گسسته بسته است و متناهی اما فشرده نیست، به عنوان مجموعه ای از تمام تک از فضای پوشش باز است که اذعان می کند هیچ زیر پوشش متناهی است. کامل است اما کاملاً متناهی نیست.

مشخصه با عملکردهای پیوسته [ ویرایش ]

اجازه دهید X یک فضای توپولوژیکی و C ( X ) حلقه توابع حقیقی پیوسته در X باشد. برای هر p ∈ X ، نقشه ارزیابی{\ displaystyle \ operatorname {ev} _ {p} \ colon C (X) \ to \ mathbf {R}} داده شده توسط ev p ( f ) = f ( p ) همومورفیسم حلقه است. هسته از EV ص است ایده آل حداکثر ، از میدان مانده C ( X ) / KER EV ص زمینه از اعداد حقیقی، توسط است اولین قضیه ریخت . یک فضای توپولوژیک X است pseudocompact اگر و تنها اگر هر ایده آل حداکثر در C ( X ) دارای میدان مانده اعداد حقیقی. برای فضاهای کاملاً منظم، این معادل هر ایده آل حداکثر است که هسته یک همومورفیسم ارزیابی است. [13] فضاهای شبه فشار وجود دارد که فشرده نیستند.

به طور کلی ، برای فضاهای غیر شبه فشار همیشه حداکثر ایده آل m در C ( X ) وجود دارد به طوری که میدان باقی مانده C ( X )/ m یک میدان هایپررئال ( غیر ارشمیدس ) است . چارچوب تجزیه و تحلیل غیر استاندارد اجازه می دهد تا برای زیر خصوصیات جایگزین فشردگی: [14] یک فضای توپولوژیک X فشرده است اگر و تنها اگر هر نقطه X از گسترش طبیعی * X است بی نهایت نزدیک به یک نقطه X 0 از X (بیشتر دقیقا ،X در موجود موناد از X 0 ).

تعریف فوق حقیقی [ ویرایش ]

یک فضا X فشرده است اگر پسوند فوق حقیقی آن *X (ساخته شده ، به عنوان مثال ، توسط ساختار فوق العاده قدرت ) دارای این ویژگی است که هر نقطه از *X بی نهایت به نقطه ای از X ⊂ *X نزدیک است . به عنوان مثال ، یک بازه حقیقی باز X = (0 ، 1) فشرده نیست زیرا پسوند فوق حقیقی آن *(0،1) حاوی بی نهایت کوچک است که بی نهایت به 0 نزدیک است ، که نقطه ای از X نیست .

شرایط کافی [ ویرایش ]

  • یک زیر مجموعه بسته از یک فضای فشرده فشرده است. [15]
  • اتحاد متناهی مجموعه های فشرده فشرده است.
  • یک تصویر پیوسته از یک فضای فشرده فشرده است. [16]
  • محل تلاقی هر مجموعه غیر خالی از زیرمجموعه های فشرده یک فضای هاسدورف فشرده (و بسته) است.
    • اگر X هاسدورف نباشد ، تقاطع دو زیر مجموعه فشرده ممکن است فشرده نباشد (برای مثال به پاورقی مراجعه کنید). [یادداشت 1]
  • کالا از هر مجموعه ای از فضاهای فشرده است. (این قضیه تیخونف است که معادل بدیهیات انتخاب است .)
  • در یک فضای متریز ، زیرمجموعه ای فشرده است اگر و فقط اگر به صورت متوالی فشرده باشد (با فرض انتخاب قابل شمارش )
  • مجموعه ای متناهی که دارای هر گونه توپولوژی است فشرده است.

ویژگی های فضاهای فشرده [ ویرایش ]

  • یک زیر مجموعه فشرده از یک فضای هاسدورف X بسته شده است.
    • اگر X هاسدورف نباشد ، ممکن است یک زیرمجموعه فشرده از X زیرمجموعه بسته X نباشد (برای مثال به پاورقی مراجعه کنید). [یادداشت 2]
    • اگر X هاسدورف نباشد ، بسته شدن یک مجموعه فشرده ممکن است فشرده نباشد (برای مثال به پاورقی مراجعه کنید). [نکته 3]
  • در هر فضای بردار توپولوژیکی (TVS) ، یک زیر مجموعه فشرده کامل است . با این حال ، هر TVS غیر-هاوسدورف شامل زیر مجموعه های فشرده (و در نتیجه کامل) است که بسته نیستند .
  • اگر A و B زیرمجموعه های فشرده جدا از یک فضای هاسدورف X هستند ، پس مجموعه باز و جدا نشده U و V در X وجود دارد به طوری که A ⊆ U و B ⊆ V وجود دارد .
  • تزریق مداوم از یک فضای فشرده به یک فضای هاسدورف یک هومومورفیسم است .
  • یک فضای فشرده هاسدورف معمولی و منظم است .
  • اگر یک فضای X فشرده و هاسدورف است، پس از آن هیچ توپولوژی بهتری را بر روی X فشرده و توپولوژی درشت در X هاسدورف است.
  • اگر زیرمجموعه ای از یک فضای متریک ( X ، d ) فشرده باشد ، d متناهی می شود.

توابع و فضاهای فشرده [ ویرایش ]

از آنجا که یک تصویر پیوسته از یک فضای فشرده فشرده است ، قضیه ارزش فوق العاده : یک تابع مداوم با ارزش حقیقی در یک فضای فشرده خالی در بالا متناهی شده و به برتری خود می رسد. [17] (کمی کلی تر ، این امر در مورد یک عملکرد نیمه پیوسته فوقانی صادق است.) به عنوان یک نوع عکس از جملات بالا ، تصویر پیش از یک فضای فشرده در زیر یک نقشه مناسب فشرده است.

فشرده سازی [ ویرایش ]

هر فضا توپولوژیکی X یک زیرفضا متراکم باز از یک فضای فشرده است که حداکثر یک نقطه بیشتر از X دارد ، با فشرده سازی یک نقطه ای الکساندورف . با همان ساختار ، هر فضای فشرده هاسدورف X یک زیرفضای متراکم باز از یک فضای فشرده هاسدورف است که حداکثر یک نقطه بیشتر از X دارد .

سفارش فضاهای فشرده [ ویرایش ]

یک زیرمجموعه فشرده فشرده از اعداد حقیقی دارای بزرگترین عنصر و حداقل عنصر است.

اجازه دهید X یک سادگی دستور داد مجموعه ای وقف با توپولوژی سفارش . سپس X اگر و فقط اگر X یک شبکه کامل باشد (یعنی همه زیرمجموعه ها دارای برتری و اینفیموم هستند) فشرده است. [18]

مثالها [ ویرایش ]

  • هر فضای توپولوژیکی متناهی ، از جمله مجموعه خالی ، فشرده است. به طور کلی ، هر فضایی با توپولوژی متناهی (فقط تعداد متناهیی مجموعه باز) فشرده است. این شامل توپولوژی بی اهمیت است .
  • هر فضایی که حامل توپولوژی کوفینیت باشد فشرده است.
  • با فشرده سازی یک نقطه ای الکساندروف ، هر فضای فشرده محلی هاوسدورف را می توان با افزودن یک نقطه به آن به یک فضای فشرده تبدیل کرد . فشردگی یک نقطه ای از home به دایره S 1 هومومورفیک است . فشرده نقطه از ℝ 2 همانریخت است به حوزه S 2 . با استفاده از فشرده سازی یک نقطه ای ، می توانید با شروع با یک فضای غیرهوسدورف ، به راحتی فضاهای فشرده ای را که هاسدورف نیستند ، بسازید.
  • توپولوژی جهت سمت راست و یا توپولوژی سفارش چپ در هر متناهی مجموعه ای کاملا مرتب و فشرده است. به طور خاص ، فضای سیرپینسکی فشرده است.
  • هیچ فضای مجزایی با تعداد بی نهایت نقطه فشرده نیست. مجموعه ای از تمام تک از فضای پوشش باز است که اذعان می کند هیچ زیر پوشش متناهی است. فضاهای گسسته متناهی فشرده هستند.
  • در ℝ حمل توپولوژی حد پایین تر ، هیچ مجموعه غیر قابل شمارش فشرده است.
  • در توپولوژی قابل شمارش روی یک مجموعه غیر قابل شمارش ، هیچ مجموعه ای بی نهایت فشرده نیست. مانند مثال قبلی ، فضا به طور کلی فشرده نیست اما همچنان لیندلوف است .
  • فاصله واحد بسته [0 ، 1] فشرده است. این از قضیه هاینهه بورل ناشی می شود . فاصله باز (0 ، 1) فشرده نیست: پوشش باز {\ textstyle \ left ({\ frac {1} {n}} ، 1-{\ frac {1} {n}} \ right)}برای n = 3 ، 4 ،…  دارای زیرپوشش متناهی نیست. به طور مشابه ، مجموعه اعداد منطقی در بازه بسته [0،1] فشرده نیست: مجموعه اعداد منطقی در فواصل زمانی{\ textstyle \ left [0، {\ frac {1} {\ pi}}-{\ frac {1} {n}} \ right] {\ text {and}} \ left [{\ frac {1} { \ pi}}+{\ frac {1} {n}} ، 1 \ راست]}تمام منطقی ها را در [0 ، 1] برای n = 4 ، 5 ، ... بپوشانید ،  اما این جلد یک زیرپوشش متناهی ندارد. در اینجا، مجموعه در توپولوژی فضا باز حتی اگر آنها به عنوان زیر مجموعه ای از باز نیست  ℝ .
  • مجموعه ℝ از همه اعداد حقیقی است فشرده به عنوان یک پوشش فواصل باز می کند که یک زیر پوشش متناهی وجود ندارد. به عنوان مثال ، فواصل ( n - 1 ،  n + 1)  ، که در آن n تمام مقادیر صحیح را در Z می گیرد ، ℝ را پوشش دهید ، اما هیچ زیرپوشش متناهیی وجود ندارد.
  • از سوی دیگر، طولانی خط اعداد حقیقی حمل توپولوژی مشابه است فشرده، توجه داشته باشید که جلد شرح داده شده هرگز به نقاط بی نهایت نمی رسد. در واقع ، مجموعه دارای همومورفیسم [−1 ، 1] است که هر بی نهایت را به واحد مربوطه ترسیم می کند و هر عدد حقیقی را بر علامت آن ضرب می کند در عدد منحصر به فرد در قسمت مثبت فاصله که در صورت تقسیم بر مقدار مطلق آن حاصل می شود. یکی منهای خود ، و از آنجا که هومومورفیسم پوشش ها را حفظ می کند ، می توان ویژگی هاینه-بورل را استنباط کرد.
  • برای هر عدد طبیعی n را از N -sphere فشرده است. باز هم از قضیه هاینهه – بورل ، توپ واحد بسته هر فضای بردار با اندازه متناهی متراکم است. این برای ابعاد نامتناهی صادق نیست. در حقیقت ، یک فضای بردار نرمال در صورتی متناهی است که تنها و تنها در صورتی که توپ واحد بسته آن فشرده باشد.
  • از سوی دیگر ، توپ بسته واحد دوگانه یک فضای معمولی برای توپولوژی ضعیف* فشرده است. ( قضیه Alaoglu )
  • مجموعه کانتور فشرده است. در واقع ، هر فضای متریک فشرده تصویری پیوسته از مجموعه کانتور است.
  • مجموعه K همه توابع f  : → [0، 1] را از خط عدد حقیقی تا فاصله واحد بسته در نظر بگیرید و یک توپولوژی بر روی K تعریف کنید تا توالی\ {f_ {n} \}در K همگام با f ∈ K اگر و فقط اگر\ {f_ {n} (x) \}برای همه اعداد حقیقی x به سمت f ( x ) همگرا می شود . فقط یک توپولوژی از این دست وجود دارد. آن را توپولوژی همگرایی نقطه ای یا توپولوژی محصول می نامند . سپس K یک فضای توپولوژیکی فشرده است. این از قضیه تیخونف ناشی می شود .
  • مجموعه K همه توابع f را در نظر بگیرید  : [0، 1]  → [0، 1] که شرایط لیپشیتز را برآورده می کند | f ( x ) -  f ( y ) | | x  -  y | برای همه x ،  y  ∈  [0،1] . در مورد K متریک ناشی از فاصله یکنواخت را در نظر بگیرید {\ displaystyle d (f، g) = \ sup _ {x \ in [0،1]} | f (x) -g (x) |.}سپس با قضیه آرزلو-آسکولی فضای K فشرده است.
  • طیف هر عملگر خطی کراندار در فضای باناخ یک زیر مجموعه فشرده ناتهی از است اعداد مختلط ℂ . برعکس ، هر زیر مجموعه فشرده ای از ℂ به این ترتیب ، به عنوان طیف برخی از عملگرهای خطی متناهی ، بوجود می آید. به عنوان مثال ، یک اپراتور مورب در فضای هیلبرت\ ell ^{2}ممکن است هر زیر مجموعه فشرده و خالی از ℂ به عنوان طیف داشته باشد.

مثالهای جبری [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Compact_space