•  

جایگزینی مجموعه ای از سه شی [ ویرایش ]

سه بلوک رنگی (قرمز ، سبز و آبی) را در نظر بگیرید که در ابتدا به ترتیب RGB قرار گرفته بودند. گروه متقارن S 3 است پس از آن گروه از همه امکان پذیر بازآرایی از این بلوک. اگر ما با معنی عمل "مبادله دو بلوک اول"، و ب اقدام "مبادله دو بلوک گذشته"، ما می توانیم تمام جایگشت های ممکن از نظر این دو اقدام ارسال.

به صورت ضرب ، ما به طور سنتی xy را برای عمل ترکیبی می نویسیم "ابتدا y را انجام دهید ، سپس x را انجام دهید ". بنابراین ab عمل RGB ↦ RBG ↦ BRG است ، یعنی "آخرین بلوک را بگیرید و آن را به جلو منتقل کنید". اگر برای "ترک بلوک به عنوان آنها" (عمل هویت)، پس ما می توانیم شش ارسال جایگشت از مجموعه ای از سه بلوک به عنوان اقدامات زیر است:

  • e  : RGB ↦ RGB یا ()
  • a  : RGB ↦ GRB یا (RG)
  • b  : RGB ↦ RBG یا (GB)
  • ab  : RGB ↦ BRG یا (RBG)
  • ba  : RGB ↦ GBR یا (RGB)
  • aba  : RGB ↦ BGR یا (RB)

نماد در پرانتز علامت دوران است .

توجه داشته باشید که عمل aa روی RGB ↦ GRB ↦ RGB تأثیر می گذارد و بلوک ها را همانطور که بودند باقی می گذارد. بنابراین می توانیم aa = e بنویسیم . به طور مشابه ،

  • bb = e ،
  • ( aba ) ( aba ) = e ، و
  • ( ab ) ( ba ) = ( ba ) ( ab ) = e ؛

بنابراین هر یک از اقدامات فوق عکس معکوس دارد.

با بازرسی ، ما همچنین می توانیم ارتباط و بسته شدن (دو مورد از بدیهیات گروه ضروری ) را تعیین کنیم. به عنوان مثال توجه داشته باشید که

  • ( ab ) a = a ( ba ) = aba ، و
  • ( ba ) b = b ( ab ) = bab .

گروه غیر آبلی از آنجا که، برای مثال، AB ≠ BA . از آنجا که از اقدامات اساسی a و b ساخته شده است ، می گوییم که مجموعه { a ، b } آن را تولید می کند.

گروه ارائه دارد

\ langle r، a \ mid r^{3}، a^{2}، arar \ rangle

یا

\ langle a، b \ mid a^{2} = b^{2} = (ab)^{3} = 1 \ rangle ، نیز نوشته شده است \ langle a، b \ mid a^{2}، b^{2}، (ab)^{3} \ rangle

جایی که a و b مبادله هستند و r = ab یک جایگشت حلقوی است. توجه داشته باشید که ارائه دوم به این معنی است که این گروه یک گروه Coxeter است . (در واقع ، همه گروههای دو وجهی و تقارن گروههای کاکستر هستند.)

خلاصه عملیات گروهی [ ویرایش ]

با ژنراتورهای a و b ، کوتاه نویسی های اضافی c  : = aba ، d  : = ab و f  : = ba را مشخص می کنیم ، به طوری که a ، b ، c ، d ، e و f همه عناصر این گروه هستند. سپس می توان عملیات گروه را در قالب جدول کیلی خلاصه کرد :

*هآبجدf
ههآبجدf
آآهدfبج
ببfهدجآ
ججدfهآب
ددجآبfه
ffبجآهد

توجه داشته باشید که عناصر غیر همسان غیر هویتی تنها در صورتی حرکت می کنند که معکوس یکدیگر باشند. بنابراین ، گروه بدون مرکز است ، یعنی مرکز گروه فقط از عنصر هویت تشکیل شده است.

کلاسهای مزدوج [ ویرایش ]

ما به راحتی می توانیم سه نوع جایگزینی از سه بلوک ، کلاسهای مزدوج گروه را تشخیص دهیم:

  • بدون تغییر () ، یک عنصر گروهی از نظم 1
  • تعویض دو بلوک: (RG) ، (RB) ، (GB) ، سه عنصر گروه از نظم 2
  • جایگزینی دوران ای هر سه بلوک: (RGB) ، (RBG) ، دو عنصر گروه از مرتبه 3

به عنوان مثال ، (RG) و (RB) هر دو از شکل ( x y ) هستند. جایگزینی حروف R ، G و B (یعنی (GB)) نماد (RG) را به (RB) تغییر می دهد. بنابراین ، اگر (GB) ، سپس (RB) و سپس معکوس (GB) ، که (GB) است را اعمال کنیم ، جایگشت حاصل (RG) است.

توجه داشته باشید که عناصر گروه مزدوج همیشه از نظم یکسانی برخوردارند ، اما به طور کلی دو عنصر گروه که دارای ترتیب یکسان هستند نیازی به ترکیب ندارند.

زیرگروه ها [ ویرایش ]

از قضیه لاگرانژ می دانیم که هر زیر گروهی بی اهمیت از یک گروه با 6 عنصر باید دارای مرتبه 2 یا 3 باشد. در واقع دو جایگشت حلقوی هر سه بلوک ، با هویت ، زیرگروهی از مرتبه 3 ، شاخص 2 و مبادله دو بلوک ، هر کدام با هویت ، سه زیرگروه مرتبه 2 ، شاخص 3 را تشکیل می دهند. وجود زیرگروه های مرتبه 2 و 3 نیز نتیجه قضیه کوشی است .

اولین ذکر است {()، (RGB)، (RBG)}، متناوب گروه 3 .

کاست های سمت چپ و کاست های راست A 3 با هم منطبق هستند (مانند هر زیرگروهی از شاخص 2) و از A 3 و مجموعه ای از سه مبادله {(RB) ، (RG) ، (BG) } تشکیل شده است.

کاست های سمت چپ {() ، (RG)} عبارتند از:

  • {() ، (RG)}
  • {(RB) ، (RGB)}
  • {(GB) ، (RBG)}

کاست های راست {(RG) ، ()} عبارتند از:

  • {(RG) ، ()}
  • {(RBG) ، (RB)}
  • {(RGB) ، (GB)}

بنابراین یک 3 است طبیعی ، و سه زیر گروه غیر بدیهی دیگر نه. گروه خارج قسمت G / 3 ریخت است C 2 .

G = {\ mathrm {A}} _ {3} \ rtimes H، یک ضرب نیمه مستقیم ، که در آن H زیر گروهی از دو عنصر است: () و یکی از سه مبادله. این تجزیه همچنین نتیجه (مورد خاص) قضیه شور -زاسنهاوس است .

از نظر جایگشت ، دو عنصر گروهی G / A 3 مجموعه جایگشتهای زوج و مجموعه جایگشتهای فرد هستند.

اگر گروه اصلی آن است که توسط دوران 120 درجه ای یک صفحه در مورد یک نقطه ایجاد می شود و بازتاب نسبت به خطی در آن نقطه ایجاد می شود ، گروه عامل دارای دو عنصر است که می توان آنها را به عنوان زیر مجموعه ها توصیف کرد "فقط می چرخند ( یا کاری انجام ندهید) "و" از آینه عکس بگیرید ".

توجه داشته باشید که برای گروه تقارن یک مربع ، تغییر ناهموار رأس به عکس آینه مربوط نمی شود ، بلکه به عملیاتی که برای مستطیل ها مجاز نیست ، یعنی دوران 90 درجه و اعمال محور انعکاسی مورب مربوط نمی شود.

ضرب نیمه مستقیم [ ویرایش ]

{\ mathrm {C}} _ ​​{3} \ rtimes _ {\ varphi} {\ mathrm {C}} _ ​​{2} است {\ mathrm {C}} _ ​​{3} \ times {\ mathrm {C}} _ ​​{2}اگر هر دو φ (0) و φ (1) هویت باشند. اگر φ (0) هویت و φ (1) اتومورفیسم غیر پیش پا افتاده C 3 است که عناصر را وارونه می کند ، ضرب نیمه مستقیم نسبت به گروه دایدرال مرتبه 6 ایزومورف است .

بنابراین به دست می آوریم:

( n 1 ، 0) * ( n 2 ، h 2 ) = ( n 1 + n 2 ، h 2 )

( n 1 ، 1) * ( n 2 ، h 2 ) = ( n 1 - n 2 ، 1 + h 2 )

برای همه n 1 ، n 2 در C 3 و h 2 در C 2 . به طور خلاصه تر ،

{\ displaystyle (n_ {1} ، h_ {1})*(n_ {2} ، h_ {2}) = (n_ {1}+(-1)^{h_ {1}} n_ {2} ، h_ {1}+h_ {2})}

برای همه n 1 ، n 2 در C 3 و h 1 ، h 2 در C 2 .

در یک میز کیلی:

 001020011121
00001020011121
10102000112101
20200010210111
01012111002010
11110121100020
21211101201000

توجه داشته باشید که برای رقم دوم ما اساساً یک جدول 2 × 2 داریم که برای هر 4 سلول 4 عدد برابر 3 3 3 دارد. برای رقم اول نیمه چپ جدول با نیمه راست یکسان است ، اما نیمه بالایی با نیمه پایینی متفاوت است.

برای ضرب مستقیم ، جدول یکسان است با این تفاوت که اولین رقم های نیمه پایینی جدول همانند نیمه بالایی است.

اقدام گروهی [ ویرایش ]

[آیکون]

این بخش نیاز به توسعه با: نمودار دارد. با افزودن به آن می توانید کمک کنید . ( آوریل 2015 )

در نظر بگیرید D 3 در راه هندسی، به عنوان یک گروه تقارن از isometries از هواپیما، و در نظر گرفتن مربوطه اقدام گروه در مجموعه ای از 30 امتیاز به طور مساوی فاصله در یک دایره، در یکی از محورهای گشت شماره 0 تا 29 با 0.

این بخش مفاهیم اقدام گروهی را برای این مورد نشان می دهد.

عمل G روی X نامیده می شود

  • گذرا اگر برای هر دو x ، y در X یک g در G وجود داشته باشد به طوری که g · x = y ؛ این مورد نیست
  • وفادار (یا م ) ثر ) اگر برای هر دو g متفاوت ، h در G x در X وجود داشته باشد به طوری که g · x ≠ h · x ؛ این به این دلیل است که ، به جز هویت ، گروه های تقارن حاوی عناصری نیستند که "هیچ کاری نمی کنند"
  • رایگان اگر برای هر دو g متفاوت ، h در G و همه x در X ما g · x ≠ h · x داریم ؛ این چنین نیست زیرا بازتاب هایی وجود دارد

مدارها و تثبیت کننده ها [ ویرایش ]

 

مدارهای 30 نقطه به طور مساوی بر روی یک دایره تحت عمل گروهی D3

مدار از یک نقطه X در X مجموعه ای از عناصر است X که X را می توان با عناصر منتقل G . مدار x با Gx نشان داده می شود :

Gx = \ left \ {g \ cdot x \ mid g \ in G \ right \}

مدارهای {0، 10، 20}، {1، 9، 11، 19، 21، 29}، {2، 8، 12، 18، 22، 28}، {3، 7، 13، 17، 23، 27} ، {4 ، 6 ، 14 ، 16 ، 24 ، 26} و {5 ، 15 ، 25}. نقاط درون یک مدار "معادل" هستند. اگر یک گروه تقارن برای یک الگو اعمال شود ، در هر مدار رنگ یکسان است.

مجموعه همه مدارهای X تحت عمل G به صورت X / G نوشته می شود .

اگر Y است زیر مجموعه از X ، ما ارسال GY برای مجموعه { گرم · Y  : Y ∈ Y و گرم ∈ G }. اگر GY = Y (که معادل GY ⊆ Y است ) زیرمجموعه Y را تحت G ناموجود می نامیم . در این حالت ، G نیز روی Y عمل می کند . اگر g · y = زیرگروه Y زیر G ثابت نامیده می شودY برای همه گرم در G و Y در Y . اتحاد مثلاً دو مدار تحت G ثابت است ، اما ثابت نیست.

برای هر x را در X ، تعریف کنیم زیر گروه تثبیت کننده از X (همچنین به نام گروه همسانی و یا گروه کوچک ) به عنوان مجموعه ای از تمام عناصر در G است که ثابت X :

G_ {x} = \ {g \ in G \ mid g \ cdot x = x \}

اگر x یک نقطه بازتاب (0 ، 5 ، 10 ، 15 ، 20 ، یا 25) باشد ، تثبیت کننده آن گروه مرتبه دو است که شامل هویت و بازتاب در x است . در موارد دیگر تثبیت کننده گروه بی اهمیت است.

برای x ثابت در X ، نقشه G تا X را که توسط g ↦ g · x داده شده است در نظر بگیرید. تصویر این نقشه مدار است X و coimage مجموعه ای از تمام سمت چپ است cosets از G X . قضیه ضریب استاندارد نظریه مجموعه سپس یک بیجا طبیعی بین G / G x و Gx می دهد . به طور خاص ، تزریق با hG x ↦ h · x داده می شودبه این نتیجه به عنوان قضیه تثبیت کننده مدار شناخته می شود . در دو مورد یک مدار کوچک ، تثبیت کننده بی اهمیت نیست.

اگر دو عنصر x و y متعلق به یک مدار باشند ، زیر گروههای تثبیت کننده آنها ، G x و G y ، ایزومورف هستند . دقیق تر: اگر y = g · x ، سپس G y = gG x g −1 . در مثال ، این مورد به عنوان مثال برای 5 و 25 ، هر دو نقطه بازتاب اعمال می شود. بازتاب حدود 25 مربوط به دوران 10 ، بازتاب حدود 5 و دوران −10 است.

نتیجه نزدیک به قضیه تثبیت کننده مدار ، لمای برنساید است :

\ left | X/G \ right | = {\ frac {1} {\ left | G \ right |}} \ sum _ {g \ in G} \ left | X^{g} \ right |

جایی که X g مجموعه نقاطی است که با g ثابت شده اند . به این معنا که تعداد مدارها برابر است با تعداد متوسط ​​نقاط ثابت در هر عنصر گروه.

برای هویت هر 30 نقطه ثابت است ، برای دو دوران هیچ کدام ، و برای سه بازتاب هر کدام دو: {0 ، 15} ، {5 ، 20} و {10 ، 25}. بنابراین ، میانگین شش ، تعداد مدارها است.

نظریه نمایندگی [ ویرایش ]