گروه دو وجهی به عنوان گروه تقارن در دو بعدی و گروه دوران به صورت سه بعدی [ ویرایش ]

نمونه ای از گروه مجرد D n و روشی رایج برای تجسم آن ، گروه ایزومتری های صفحه اقلیدسی است که مبدأ را ثابت نگه می دارد. این گروه ها یکی از دو سری گروه نقطه ای مجزا را در دو بعد تشکیل می دهند . D N شامل N دوران از تقسیم عددی بر مضرب 360 ° / N در مورد منشاء و بازتاب در سراسر N خطوط از مبدا، و زوایای مضرب 180 درجه / N با یکدیگر. این است گروه تقارن از یک چند ضلعی منتظم با N طرف (برایn ≥ 3 ؛ این امر به موارد n = 1 و n = 2 گسترش می یابدکه در آن ما صفحه ای داریم که به ترتیب نقطه ای از "مرکز" "1-gon" و "2-gon" یا بخش خطی دارد).

D N است تولید شده توسط یک دوران R از سفارش N و بازتاب ها از مرتبه 2 به طوری که

{\ displaystyle \ mathrm {srs} = \ mathrm {r} ^{-1} \،}

از نظر هندسی: یک دوران در آینه شبیه یک دوران معکوس است.

از نظر اعداد مختلط : ضرب درe^{2 \ pi i \ over n}و ترکیب پیچیده .

به شکل ماتریس ، با تنظیم

{\ displaystyle \ mathrm {r} _ {1} = {\ begin {bmatrix} \ cos {2 \ pi \ over n} &-\ sin {2 \ pi \ over n} \\ [4pt] \ sin {2 \ pi \ over n} & \ cos {2 \ pi \ over n} \ end {bmatrix}} \ qquad \ mathrm {s} _ {0} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end { bmatrix}}}

و تعریف کننده \ mathrm {r} _ {j} = \ mathrm {r} _ {1}^{j} و \ mathrm {s} _ {j} = \ mathrm {r} _ {j} \، \ mathrm {s} _ {0} برای j \ in \ {1، \ ldots، n-1 \}ما می توانیم قوانین ضرب برای D ارسال N به عنوان

{\ displaystyle {\ شروع {تراز} \ mathrm {r} _ {j} \، \ mathrm {r} _ {k} & = \ mathrm {r} _ {(j+k) {\ text {mod}} n} \\\ mathrm {r} _ {j} \، \ mathrm {s} _ {k} & = \ mathrm {s} _ {(j+k) {\ text {mod}} n} \\\ mathrm {s} _ {j} \، \ mathrm {r} _ {k} & = \ mathrm {s} _ {(jk) {\ text {mod}} n} \\\ mathrm {s} _ {j } \، \ mathrm {s} _ {k} & = \ mathrm {r} _ {(jk) {\ text {mod}} n} \ end {چین}}}

( دوران و بازتاب مختصات را مقایسه کنید .)

گروه دو وجهی D 2 است توسط دوران R از 180 درجه تولید، و بازتاب ها در سراسر X محور. عناصر D 2 پس از آن می تواند به عنوان {E، R، S، RS} که در آن e است که همانی یا null تحول و RS بازتاب است در سراسر نشان داده می شود Y محور.

 

چهار عنصر D 2 (محور x در اینجا عمودی است)

D 2 است ریخت به گروه چهارتایی کلاین .

برای n > 2 عملیات دوران و بازتاب به طور کلی حرکت نمی کند و D n آبلی نیست . به عنوان مثال ، در D 4 ، دوران 90 درجه به دنبال انعکاس نتیجه متفاوتی از بازتاب به دنبال دوران 90 درجه ایجاد می کند.

 

D 4 غیر آبلی است (محور x عمودی است که در اینجا).

بنابراین ، فراتر از کاربرد آشکار آنها در مشکلات تقارن در سطح ، این گروه ها از جمله ساده ترین نمونه های گروههای غیر ابلی هستند ، و به همین دلیل اغلب به عنوان مثالهای متقابل آسان برای قضایایی که متناهی به گروههای ابلی هستند بوجود می آیند.

2 نفر از عناصر D N می تواند نوشته شود E ، R ، R 2 ، ...، R N -1 ، ها ، RS ، R 2 بازدید کنندگان ، ...، R N -1 بازدید کنندگان . اولین نفر عناصر ذکر شده دوران هستند و باقی مانده N عناصر محور بازتاب (که تمامی آنها سفارش 2) می باشد. حاصل دو دوران یا دو بازتاب یک دوران است. حاصل دوران و بازتاب یک بازتاب است.

تا کنون، ما در نظر گرفته اند D N به یک زیر گروه از O (2) ، یعنی گروهی از دوران (در مورد منشاء) و بازتاب (در میان محورهای از مبدا) از فضا. با این حال ، نماد D n برای زیرگروه SO (3) نیز استفاده می شود که از نوع گروه مجرد D n است : گروه تقارن مناسب یک چند ضلعی منتظم که در فضای سه بعدی تعبیه شده است (اگر n- 3). چنین رقمی را می توان به عنوان یک جامد معمولی منحط در نظر گرفت که صورت آن دو بار شمارش شده است. بنابراین ، آن را دیهدرون (یونانی: جامد با دو صورت) نیز می نامند که نام را توضیح می دهدگروه دو وجهی (به قیاس گروه چهار ضلعی ، هشت ضلعی و ایکوساهدرال ، به ترتیب به گروه های تقارن مناسب یک چهار ضلعی معمولی ، هشت ضلعی و ایکوساهدرون اشاره می شود).

نمونه هایی از تقارن دو بعدی دوبعدی [ ویرایش ]

خواص [ ویرایش ]