برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

پارامترسازی وایل مکانیک کوانتومی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: تبدیل وینگر-ویل

کاربردی که هرمان ویل را به درک صریح گروه هایزنبرگ سوق داد ، این پرسش بود که چرا تصویر شرودینگر و تصویر هایزنبرگ از نظر فیزیکی برابر هستند. به طور خلاصه ، دلیل آن قضیه استون وون نویمان است : یک نمایش واحد منحصر به فرد با عمل داده شده از عنصر جبر مرکزی لی z ، تا معادل واحدی وجود دارد: عناصر غیرحرفه ای جبر همگی معادل موقعیت و حرکت معمول هستند. اپراتورها

بنابراین ، تصویر شرودینگر و تصویر هایزنبرگ معادل هستند - آنها فقط روشهای متفاوتی برای تحقق این بازنمایی اساساً منحصر به فرد هستند.

نمایندگی تتا [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نمایندگی تتا

همان نتیجه منحصر به فرد توسط دیوید ممفورد برای گروه های هایزنبرگ گسسته ، در نظریه معادلات او در تعریف انواع آبلی استفاده شد . این یک تعمیم وسیع از رویکرد مورد استفاده در توابع بیضوی ژاکوبی است ، که در مورد گروه پیمانه 2 هایزنبرگ ، از مرتبه 8 است. ساده ترین مورد نمایندگی تتا از گروه هایزنبرگ است ، که مورد جداگانه تابع تتا را نشان می دهد. به

تحلیل فوریه [ ویرایش ]

گروه هایزنبرگ در تجزیه و تحلیل فوریه نیز حضور دارد ، جایی که در برخی از فرمول بندی های قضیه استون وون نویمان مورد استفاده قرار می گیرد . در این مورد ، گروه هایزنبرگ را می توان درک کرد که بر روی فضای توابع مربع انتگرال عمل می کند. در نتیجه نمایشی از گروه هایزنبرگ است که گاهی اوقات نمایندگی ویل نیز نامیده می شود.

به عنوان یک منیفولد ساب ریمانی [ ویرایش ]

گروه سه بعدی هایزنبرگ H 3 ( R ) در واقعیات نیز می تواند به عنوان یک منیفولد صاف و به طور خاص ، یک مثال ساده از یک منیفولد زیر ریمانی درک شود . [7] با توجه به نقطه P = ( X ، Y ، Z ) در R 3 ، تعریف یک دیفرانسیل 1-فرم Θ در این نقطه به عنوان

\ Theta_p = dz - \ frac {1} {2} \ left (xdy - ydx \ right).

این یک فرم متعلق به بسته نرم افزاری کتانژانت از R 3 ؛ به این معنا که،

\ Theta_p: T_p \ mathbf {R}^3 \ به \ mathbf {R}

یک نقشه روی بسته مماس است . اجازه دهید

H_p = \ {v \ in T_p \ mathbf {R}^3 \ mid \ Theta_p (v) = 0 \}.

این دیده می شود که H است subbundle از کلاف مماس T R 3 . هم متر در H است با طرح ریزی بردار به فضای دو بعدی میرسد توسط بردارها در داده X و Y جهت. یعنی بردارهای داده شدهv = (v_1 ، v_2 ، v_3) و w = (w_1 ، w_2 ، w_3)در T R 3 ، محصول داخلی توسط

\ langle v ، w \ rangle = v_1w_1+v_2w_2.

ساختار حاصله H را به منیفولد گروه هایزنبرگ تبدیل می کند. یک چارچوب متعارف روی منیفولد توسط فیلدهای بردار لی داده شده است

X = \ frac {\ partial} {\ partial x} - \ frac {1} {2} y \ frac {\ partial} {\ partial z} ،

Y = \ frac {\ partial} {\ partial y} + \ frac {1} {2} x \ frac {\ partial} {\ partial z} ،

Z = \ frac {\ partial} {\ partial z} ،

که از روابط [ X ، Y ] = Z و [ X ، Z ] = [ Y ، Z ] = 0 اطاعت می کنند . به عنوان زمینه های بردار لی ، اینها یک پایه ثابت برای چپ برای عمل گروهی را تشکیل می دهند. ژئودزیک در منیفولد مارپیچی هستند، طرح ریزی به محافل در دو بعد. یعنی اگر

\ گاما (t) = (x (t) ، y (t) ، z (t))

یک منحنی ژئودزیک است ، سپس منحنی c (t) = (x (t) ، y (t)) قوس یک دایره است و

z (t) = \ frac {1} {2} \ int_c xdy-ydx

با انتگرال محدود به صفحه دو بعدی. به این معنا که ارتفاع منحنی متناسب با مساحت دایره ای است که توسط قوس دایره ای گسترش یافته است ، که در ادامه قضیه استوکس به وجود می آید .

گروه هایزنبرگ از گروه ابلیان جمع و جور محلی [ ویرایش ]

به طور کلی امکان تعریف گروه هایزنبرگ از یک گروه ابلیان فشرده K محلی ، مجهز به اندازه گیری Haar وجود دارد . [8] چنین گروهی دارای دوگانه Pontrjagin است {\ hat {K}}، متشکل از همه پیوسته U (1)شخصیت های دارای ارزش در K ، که همچنین دارای گروه فشرده محلی abelian هستند اگر دارای توپولوژی جمع و جور باز باشند . گروه هایزنبرگ مرتبط با گروه ابلیان فشرده محلی K زیر گروه گروه واحد{\ displaystyle L^{2} (K)}ایجاد شده توسط ترجمه از K و ضرب در عناصر از{\ hat {K}}به

با جزئیات بیشتر ، فضای هیلبرت {\ displaystyle L^{2} (K)} شامل توابع مجتمع با ارزش پیچیده است fدر K . ترجمه ها در K یک نمایندگی واحد از K را به عنوان عملگر تشکیل می دهند{\ displaystyle L^{2} (K)}:

{\ displaystyle (T_ {x} f) (y) = f (x+y)}

برای {\ displaystyle x ، y \ در K}به ضرب بر کاراکتر نیز همینطور است:

{\ displaystyle (M _ {\ chi} f) (y) = \ chi (y) f (y)}

برای {\ displaystyle \ chi \ in {\ hat {K}}}به این اپراتورها رفت و آمد نمی کنند و در عوض رضایت می دهند

{\ displaystyle (T_ {x} M _ {\ chi} T_ {x}^{-1} M _ {\ chi}^{-1} f) (y) = {\ overline {\ chi (x)}} f (y)}

ضرب در یک عدد مختلط مدول واحد ثابت.

بنابراین گروه هایزنبرگ {\ displaystyle H (K)}مرتبط با K نوعی از پسوند مرکزی از{\ displaystyle K \ times {\ hat {K}}}، از طریق دنباله ای دقیق از گروه ها:

{\ displaystyle 1 \ to U (1) \ to H (K) \ to K \ times {\ hat {K}} \ to 0.}

گروههای هایزنبرگ به طور کلی توسط 2 کوکیل در گروه کوهومولوژی توصیف می شوند {\ displaystyle H^{2} (K ، U (1))}به وجود دوگانگی بینک و {\ hat {K}} باعث ایجاد یک دوچرخه متعارف می شود ، اما به طور کلی موارد دیگر وجود دارد.

گروه هایزنبرگ به طور غیرقابل کاهش به آنها عمل می کند {\ displaystyle L^{2} (K)}به در واقع ، کاراکترهای پیوسته نقاط [9] را جدا می کنند بنابراین هر عملگر واحد از{\ displaystyle L^{2} (K)} که با آنها رفت و آمد می کند L^{\ infty} چند برابر . اما رفت و آمد با ترجمه ها نشان می دهد که ضرب ثابت است. [10]

نسخه ای از قضیه استون - فون نویمان ، که توسط جورج مکی ثابت شده است ، برای گروه هایزنبرگ موجود است{\ displaystyle H (K)}به [11] [12] تبدیل فوریه اینتروینتر منحصر به فرد بین بازنمایی است{\ displaystyle L^{2} (K)} و {\ displaystyle L^{2} ({\ hat {K}})}به برای جزئیات ، بحث را در قضیه استون - فون نویمان#رابطه با تبدیل فوریه مشاهده کنید.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Heisenberg_group