ادامه فضای همبند موضعی

خواص [ ویرایش ]

پیوند محلی ، طبق تعریف ، یک ویژگی محلی فضاهای توپولوژیکی است ، یعنی یک ویژگی توپولوژیکی P به این صورت که یک فضای X دارای ویژگی P است اگر و تنها در صورتی که هر نقطه x در X یک پایگاه همسایه مجموعه هایی را که دارای ویژگی P هستند ، بپذیرد . بر این اساس ، همه "استعاره های" موجود در مالکیت محلی برای ارتباط محلی وجود دارد. به خصوص:
یک فضا به صورت محلی وصل می شود اگر و فقط در صورتی که پایه ای از زیر مجموعه های (باز) همبندشده را پذیرفته باشد.
مجزای $\ coprod _ {i} X_ {i}$ از یک خانواده $\ {X_ {i} \}$ فضاها به صورت محلی اگر و فقط اگر هر یک همبنداست $X_ {i}$ به صورت محلی همبنداست به طور خاص ، از آنجا که یک نقطه واحد قطعاً به صورت محلی همبنداست ، نتیجه می گیرد که هر فضای مجزایی به صورت محلی همبنداست. از طرف دیگر ، یک فضای مجزا کاملاً قطع شده است ، بنابراین تنها در صورتی همبندمی شود که حداکثر یک نقطه داشته باشد.
برعکس ، یک فضای کاملاً قطع شده در صورت و تنها در صورت گسسته به صورت محلی همبندمی شود. این می تواند برای توضیح واقعیت فوق الذکر استفاده شود که اعداد منطقی به صورت محلی به هم همبندنیستند.
یک فضای محصول خالی $\ تولید _ {i} X_ {i}$ اگر و فقط اگر هر یک به صورت محلی همبنداست $X_ {i}$ به صورت محلی همبنداست و همه اما به طور قطعی بسیاری از آنها $X_ {i}$ همبندهستند [7]
هر فضای بیش از حد همبندمحلی و همبنداست.

اجزا و اجزای مسیر [ ویرایش ]

نتیجه زیر تقریباً بلافاصله از تعاریف ناشی می شود ، اما کاملاً مفید خواهد بود:

لما: اجازه دهید X یک فضا باشد و $\ {Y_ {i} \}$ یک خانواده از زیر مجموعه های X . فرض کنید که $\ bigcap _ {i} Y_ {i}$ غیر خالی است سپس ، اگر هر کدام $Y_ {i}$ همبنداست (به ترتیب ، مسیر همبنداست) سپس اجتماع Y_ {i}} $\ bigcup _ {i} Y_ {i}$ همبنداست (به ترتیب ، مسیر همبنداست). [8]

اکنون دو رابطه در یک توپولوژیک X را در نظر بگیرید : برای $x ، y \ در X$ ، نوشتن:

$x \ equ _ {c} y$ اگر یک زیر مجموعه همبنداز X وجود داشته باشد که شامل x و y باشد . و

$x \ equ _ {{رایانه}} y$ اگر یک مسیر همبندبه زیر مجموعه X وجود داشته باشد که شامل هر دو x و y باشد.

بدیهی است که هر دو رابطه بازتابی و متقارن هستند. علاوه بر این، اگر X و Y در آن وجود دارد همبند(به ترتیب، مسیر متصل) زیر مجموعه و Y و Z در یک همبند(به ترتیب، مسیر متصل) زیر مجموعه همبند B ، پس از آن نشان می دهد که لم $A \ فنجان B$ یک زیر مجموعه همبند(به ترتیب ، مسیر متصل) است که شامل x ، y و z است . بنابراین هر رابطه یک رابطه معادل سازی است ، و یک تقسیم بندی از X را به کلاس های هم ارزی تعریف می کند . ما این دو پارتیشن را به نوبه خود در نظر می گیریم.

برای x در X ، مجموعه $C_ {x}$ از همه نقاط y به طوری که $y \ equ _ {c} x$ است به نام وصل از X . [9] لما نشان می دهد که $C_ {x}$ حداکثر زیر مجموعه منحصر به فرد همبندX است که حاوی x است . [10] از زمان بسته شدن $C_ {x}$ همچنین یک زیرمجموعه همبندحاوی x است ، [11] از آن نتیجه می گیرد $C_ {x}$ بسته است. [12]

اگر X دارای اجزای همبندبسیار محدود باشد ، هر جزء مکمل یک اتحاد محدود از مجموعه های بسته و بنابراین باز است. به طور کلی ، اجزای همبندنیازی به باز بودن ندارند ، زیرا ، به عنوان مثال ، فضاهای کاملاً قطع وجود دارد (به عنوان مثال ، $C_ {x} = \ {x \}$ برای همه نقاط x ) که گسسته نیستند ، مانند فضای Cantor. با این حال ، اجزای همبندیک فضای همبند محلی نیز باز هستند ، و بنابراین مجموعه های بسته شده هستند . [13] از این رو نتیجه می گیرد که یک فضای همبندمحلی X یک اتحاد جدا از هم توپولوژیکی است $\ coprod C_ {x}$ اجزای همبندمتمایز آن برعکس ، اگر برای هر زیرمجموعه باز U از X ، اجزای همبندU باز باشند ، پس X پایه ای از مجموعه های همبندرا می پذیرد و بنابراین محلی همبندمی شود. [14]

به طور مشابه x در X ، مجموعه $PC_ {x}$ از همه نقاط y به طوری که x} $y \ equ _ {{رایانه}} x$ است به نام جزء مسیر از X . [15] همانطور که در بالا ذکر شد ، $PC_ {x}$ همچنین اجتماع همه زیرمجموعه های همبندبه X است که حاوی x هستند ، بنابراین توسط Lemma خود مسیر همبنداست. از آنجا که مجموعه مجموعه مسیر همبندهستند ، ما داریم ${\ displaystyle PC_ {x} \ subseteq C_ {x}}$ برای همه ایکس در X .

با این حال ، بستن مجموعه همبندبه مسیر نیازی به همبند مسیری ندارد: برای مثال ، منحنی سینوسی توپولوژیست بسته شدن زیرمجموعه باز U است که از تمام نقاط (x ، y) با x> 0 ، و U ، همومورفیک یک فاصله در خط واقعی ، مطمئناً مسیر همبنداست. علاوه بر این ، اجزای مسیر منحنی سینوسی C توپولوژی U هستند ، که باز است اما بسته نیست و $C \ setminus U$ ، که بسته است اما باز نیست.

یک فضا بصورت محلی به هم همبنداست اگر و فقط اگر برای همه زیر مجموعه های باز U ، اجزای مسیر U باز باشد. [15] بنابراین اجزای مسیر یک فضای همبندبه مسیر محلی ، پارتیشن X را به مجموعه های باز و جدا از هم به صورت جفت به هم می دهد. به این ترتیب زیر فضایی همبندباز از یک فضای همبندبه مسیر محلی الزاماً مسیر همبنداست. [16] علاوه بر این ، اگر یک فضا بصورت محلی به مسیر همبندباشد ، پس به صورت محلی نیز همبنداست ، بنابراین برای همه x در X ، $C_ {x}$ همبندو باز است ، بنابراین مسیر همبنداست ، یعنی ، $C_ {x} = PC_ {x}$ به یعنی ، برای یک مسیر محلی همبندبه یکدیگر ، اجزا و اجزای مسیر با هم منطبق هستند.

مثالها [ ویرایش ]

مجموعه I × I (جایی که I = [0،1]) در توپولوژی نظم فرهنگ لغت دقیقاً یک جزء دارد (زیرا همبنداست) اما به طور غیرقابل شمارش اجزای مسیر زیادی دارد. در واقع ، هر مجموعه ای از فرم { a } × I یک جزء مسیر برای هر یک از متعلق به I است .
فرض کنید f یک نقشه پیوسته از R تا R ℓ باشد ( R در توپولوژی حد پایین ). از آنجا که R همبنداست ، و تصویر یک فضای همبندزیر یک نقشه پیوسته باید همبندشود ، تصویر R زیر f باید همبندشود. بنابراین ، تصویر R زیر f باید زیرمجموعه ای از جزء R be باشد. از آنجا که این تصویر ناتهی، نقشه تنها مداوم از است R به R ℓ، نقشه های ثابت هستند. در واقع ، هر نقشه پیوسته از یک فضای همبندبه یک فضای کاملاً قطع باید ثابت باشد.

شبه جزء [ ویرایش ]

بگذارید X یک فضای توپولوژیکی باشد. رابطه سوم را بر روی X تعریف می کنیم : $x \ equ _ {{qc}} y$ اگر X به مجموعه های باز A و B تفکیک نشود به طوری که x عنصر A و y عنصر B باشد. این رابطه معادل سازی بر روی X و کلاس معادل سازی است $QC_ {x}$ حاوی x شبه جزء x نامیده می شود . [10]

$QC_ {x}$ همچنین می تواند به عنوان تقاطع همه زیر مجموعه های مسدود شده X که حاوی x هستند مشخص شود . [10] بر این اساس $QC_ {x}$ بسته است؛ به طور کلی لازم نیست باز باشد

از قرار معلوم، مشخصا $C_ {x} \ subseteq QC_ {x}$ برای همه ایکس در X . [10] به طور کلی ما محتویات زیر را در بین اجزای مسیر ، اجزا و شبه جزء در x داریم :

$PC_ {x} \ subseteq C_ {x} \ subseteq QC_ {x}.$

اگر X بصورت محلی همبنداست ، مانند بالا ، $C_ {x}$ یک مجموعه بسته است که شامل x است ، بنابراین $QC_ {x} \ subseteq C_ {x}$ و بنابراین $QC_ {x} = C_ {x}$ به از آنجا که همبند مسیری محلی به معنای اتصال محلی است ، نتیجه می شود که در تمام نقاط x یک فضای همبندبه مسیر محلی داریم

$PC_ {x} = C_ {x} = QC_ {x}.$

طبقه دیگری از فضاهایی که شبه جزء با اجزای آن موافق هستند ، کلاس فضاهای جمع و جور هاسدورف است. [17]

مثالها [ ویرایش ]

نمونه ای از فضایی که شبه جزء آن با اجزای آن برابر نیست ، دنباله ای با نقطه محدود دوگانه است. این فضا کاملاً قطع شده است ، اما هر دو نقطه محدود در یک شبه جزء یکسان قرار دارند ، زیرا هر مجموعه بسته ای که یکی از آنها را شامل می شود باید دارای یک دنباله از دنباله و بنابراین نقطه دیگر نیز باشد.
فضا ${\ displaystyle (\ {0 \} \ cup \ {{\ frac {1} {n}} \ mid n \ in \ mathbb {Z} ^{+} \}) \ times [-1،1] \ setminus \ {(0،0) \}}$ محلی فشرده است و هاسدورف اما تنظیم می کند ${\ displaystyle \ {0 \} \ بار [-1،0)}$ و ${\ displaystyle \ {0 \} \ زمان (0،1]}$ دو جزء مختلف هستند که در یک شبه جزء یکسان قرار دارند.
فضای آرنز، فورت به صورت محلی همبندنیست، اما با این حال قطعات و quasicomponents همزمان: در واقع $QC_ {x} = C_ {x} = \ {x \}$ برای تمام نقاط ایکس . [18]

شرایط کافی [ ویرایش ]

قضیه - اجازه دهید $ایکس$ یک فضای ضعیف همبند محلی باشد. سپس $ایکس$ به صورت محلی همبنداست

نشان دادن اثبات

اتحاد نامحدود مشخصی از کاهش فضاهای جارو ، نمونه ای از فضایی است که در نقطه ای ضعیف محلی در یک نقطه خاص همبنداست ، اما محلی در آن نقطه همبندنیست. [19]

اول قابل شمارش فضای هاسدورف $(X ، \ tau)$ اگر و فقط اگر بصورت محلی همبنداست $\ تاو$ برابر است با توپولوژی نهایی در $ایکس$ ناشی از مجموعه ${\ displaystyle C \ left ([0،1]؛ X \ right)}$ از تمام مسیرهای پیوسته ${\ displaystyle [0،1] \ به (X ، \ tau).}$