از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در این فضای توپولوژیکی ، V یک محله از p است و شامل یک مجموعه باز همبند (دیسک سبز تیره) است که حاوی p است .

در توپولوژی و دیگر شاخه های ریاضیات ، اگر هر نقطه بر اساس محله ای متشکل از مجموعه های باز و همبند همبند شود ، یک فضای توپولوژیکی X بصورت محلی همبند می شود .

 

فهرست

پیش زمینه [ ویرایش ]

در طول تاریخ توپولوژی ، اتصال و فشردگی دو مورد از بیشترین خواص توپولوژیکی بوده است. در واقع ، مطالعه این ویژگی ها حتی در زیر مجموعه های اقلیدسی و به رسمیت شناختن استقلال آنها از شکل خاص معیار اقلیدسی ، نقش زیادی در روشن شدن مفهوم یک ویژگی توپولوژیکی و در نتیجه یک فضای توپولوژیکی ایفا کرد. با این حال ، در حالی که ساختار زیر مجموعه های فشرده فضای اقلیدسی خیلی زود از طریق قضیه هاین بورل درک شد ، زیر مجموعه های همبند از\ mathbb {R} ^{n}(برای n > 1) بسیار پیچیده تر ثابت شد. در واقع ، در حالی که هر فضای فشرده هاسدورف از نظر محلی فشرده است ، یک فضای همبند - و حتی زیرمجموعه همبند به صفحه اقلیدسی - نیازی به اتصال محلی ندارد (به پایین مراجعه کنید).

این امر منجر به تحقیقات گسترده ای در نیمه اول قرن بیستم شد ، که در آن متخصصان توپولوژی مفاهیم بین تغییرات فزاینده ظریف و پیچیده را بر روی مفهوم فضای همبند موضعی مورد مطالعه قرار دادند. به عنوان مثال ، مفهوم همبند موضعی ضعیف در یک نقطه و ارتباط آن با اتصال محلی بعداً در مقاله مورد بررسی قرار می گیرد.

در اواخر قرن بیستم ، گرایش های تحقیقاتی به سمت مطالعه شدیدتر فضاهایی مانند منیفولدها رفت که به خوبی در محلی شناخته شده اند (از نظر محلی همومورفیک فضای اقلیدسی هستند) اما رفتار جهانی را پیچیده کرده اند. منظور از این امر این است که اگرچه توپولوژی نقطه ای اصلی مجموعه های چندمنظوره نسبتاً ساده است (همانطور که بر اساس اکثر تعاریف مفهوم ، منیفولدها اساساً قابل اندازه گیری هستند ) ، اما توپولوژی جبری آنها بسیار پیچیده تر است. از این منظر مدرن ، ویژگی قوی تر اتصال مسیر محلی مهمتر می شود: به عنوان مثال ، برای اینکه فضایی یک پوشش جهانی را بپذیردباید همبند شود و مسیر محلی همبند شود. اتصال مسیر محلی نیز مورد بحث قرار خواهد گرفت.

یک فضا به صورت محلی همبند می شود اگر و فقط اگر برای هر مجموعه باز U ، اجزای همبند U (در توپولوژی زیرفضا ) باز باشند. به عنوان مثال ، چنین نتیجه می گیرد که یک تابع پیوسته از یک فضای همبند موضعی به یک فضای کاملاً قطع شده باید به صورت محلی ثابت باشد. در واقع باز بودن اجزاء آنقدر طبیعی است که باید مطمئن باشید که به طور کلی درست نیست: به عنوان مثال فضای کانتور کاملاً قطع است اما گسسته نیست .

تعاریف و اولین مثالها [ ویرایش ]

بگذارید X یک فضای توپولوژیکی باشد و x نقطه ای از X باشد.

ما می گوییم که X است به صورت محلی در همبند X اگر برای هر مجموعه باز V حاوی X وجود دارد وجود دارد همبند است، مجموعه باز U با{\ displaystyle x \ در U \ subseteq V}به فضای X گفته می شود به صورت محلی همبند آن است که اگر به صورت محلی در همبند X برای همه ایکس در X . [1] توجه داشته باشید که اتصال محلی و اتصال به یکدیگر ارتباط ندارند. یک فضا ممکن است دارای یک یا هر دو این ویژگی ها باشد ، یا هیچکدام.

در مقابل، ما می گویند که X است ضعیف به صورت محلی در همبند X (یا همبند کلاین من در X ) اگر برای هر مجموعه باز V حاوی X وجود دارد یک زیر مجموعه همبند وجود دارد N از V به طوری که X دروغ در داخل کشور، N . یک تعریف معادل این است: هر مجموعه باز V حاوی x شامل یک محوطه باز U از x است به طوری که هر دو نقطه در U در زیرمجموعه همبند V قرار دارد . [2] فضا Xگفته می شود که اگر بصورت محلی ضعیف در x برای تمام x در X همبند باشد ، به صورت محلی ضعیف همبند است .

به عبارت دیگر ، تنها تفاوت بین این دو تعریف این است که برای اتصال محلی در x ما به یک محله از مجموعه های همبند باز حاوی x نیاز داریم ، در حالی که برای اتصال محلی ضعیف در x ما فقط به یک پایگاه همسایه از مجموعه های همبند حاوی x نیاز داریم .

بدیهی است فضایی که به صورت محلی در همبند X ضعیفی به صورت محلی در همبند X . عکس معکوس برقرار نیست (یک مثال متقابل ، فضای جارو ، در زیر آورده شده است). از سوی دیگر ، به همان اندازه واضح است که یک فضای همبند محلی از نظر محلی ضعیف همبند است ، و در اینجا معلوم می شود که عکس این امر صادق است: فضایی که در تمام نقاط خود به صورت ضعیف محلی همبند است ، لزوماً در تمام آن به صورت محلی همبند است. نکته ها. [3] مدرکی در زیر آورده شده است.

ما می گوییم که X به صورت محلی در x همبند است اگر برای هر مجموعه باز V حاوی x یک مسیر همبند وجود داشته باشد ، مجموعه U را با{\ displaystyle x \ در U \ subseteq V}به فضای X گفته می شود به صورت محلی همبند مسیر آن است که اگر به صورت محلی مسیر در همبند X برای همه ایکس در X .

از آنجا که فضاهای همبند به مسیر همبند هستند ، فضاهای همبند به مسیر محلی به صورت محلی همبند می شوند. عکس معکوس برقرار نیست (برخی از مثالهای زیر را ببینید).

اولین نمونه ها [ ویرایش ]

  1. برای هر عدد صحیح مثبت n را ، فضای اقلیدسی\ mathbb {R} ^{n}مسیر محلی همبند است ، بنابراین محلی همبند است. همچنین همبند است
  2. به طور کلی ، هر فضای بردار توپولوژیکی محدب محلی به صورت محلی همبند است ، زیرا هر نقطه دارای یک پایگاه محلی از محله های محدب (و در نتیجه همبند) است.
  3. زیرفضا {\ displaystyle S = [0،1] \ فنجان [2،3]} از خط واقعی {\ mathbb {R}}^{1} مسیر محلی همبند است اما همبند نیست
  4. منحنی سینوسی مکان شناس است یک زیرفضا از یک فضای اقلیدسی که همبند است، اما به صورت محلی همبند نشده است. [4]
  5. فضا \ mathbb {Q} از اعداد گویا وقف با توپولوژی اقلیدسی استاندارد، نه همبند و نه به صورت محلی همبند شده است.
  6. فضای شانه مسیر همبند اما نه به صورت محلی مسیر همبند است، و حتی به صورت محلی همبند نیست.
  7. مجموعه ای بی حد و حصر که دارای توپولوژی کوفینیت است به صورت محلی (در واقع ، بیش از حد همبند ) اما به صورت محلی به هم همبند نیست. [5]
  8. توپولوژی ترتیب واژه نگاری در مربع واحد همبند است و به صورت محلی همبند است، اما مسیر همبند، و نه به صورت محلی مسیر همبند می شود. [6]

نمونه های بیشتر بعداً در مقاله آورده شده است.